книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

Если в момент t — Q все приборы обслуживания свободны, то на­ чальные значения искомых функций следующие:

Получим решение системы (15.1), состоящей из бесконечного числа связанных между собой дифференциальных уравнений, т. е. найдем явные выражения для вероятностей ЛДО (& = 0, 1, ...). Для этого воспользуемся возможностью преобразования системы (15.1) обыкновенных дифференциальных уравнений к одному диф­ ференциальному уравнению в частных производных относительно производящей функции, определяемой формулой

суммировав результат по всем возможным значениям k, приходим к равенству

Следовательно, система обыкновенных дифференциальных урав­ нений (15.1) эквивалентна следующему дифференциальному урав­

111

Метод решения уравнения (15.4) изложен в § 9. Из сравнения

причем интегральная кривая должна проходить через точку (0, т], £),

Исключив из (15.7) и (15.9) параметр ц, получаем следующее выражение для искомой производящей функции:

Известно, что производящая функция случайной величины X, рас­ пределенной по закону Пуассона, имеет вид

112

Из сравнения (15.10) с (15.11) следует, что случайное число X(t) приборов, занятых обслуживанием требований в момент вре­ мени t, имеет распределение Пуассона. Математическое ожидание этой случайной функции

массового обслуживания с неограниченным числом приборов можно

установившемся режиме функционирования системы, из (15.12) на­ ходим

Вероятность рк того, что обслуживанием занято 6 приборов, при этом определяется формулой

(* = 0 ,1 ,...) . (15.15)

Пример 15.1. При работе электронной вычислительной машины

ее отдельные блоки выходят из строя с интенсивностью два блока

всутки. Эти блоки сразу поступают в ремонт, а на их место ста­ вятся резервные. Математическое ожидание времени ремонта каж­

Согласно (15.12) математическое ожидание числа блоков, находя­ щихся в ремонте в момент t (t в сутках),

лг(^) = 4(1 — e_0'5t).

Искомые вероятности Ps(0 согласно (15.13) рассчитываются с по-‘ мощью равенств:

Вероятность рк того, что при установившемся режиме работы вычислительной машины в ремонте будет находиться одновременно k блоков, определяется с помощью равенства

114

§ 16. СИСТЕМА С ОЖИДАНИЕМ

Система с ожиданием имеет конечное число п одинаковых при­ боров обслуживания и неограниченное число место ожидания, т. е. т = со. Если требование поступает в систему, когда свободен хотя бы один из приборов обслуживания, то оно сразу начинает обслу­ живаться. Когда все п приборов обслуживания заняты, поступаю­ щие требования становятся в очередь и обслуживаются в порядке их поступления по мере освобождения обслуживающих приборов. Требования не покидают очереди, и потому все они обслуживаются.

Число состояний системы с ожиданием бесконечное. Состояние

занято п приборов и ожидает начала обслуживания s требований. Вероятности Рк (t) (k — 0, 1, ...) нахождения системы в различных состояниях являются решением системы обыкновенных дифферен­

бесконечности). Эта система, состоящая из бесконечного числа уравнений, записывается в виде:

(s — 0, l , . . . ) .

Если при t = 0 все приборы обслуживания свободны, то начальные значения искомых вероятностей Рк (/) следующие:

существуют, определяются с помощью равенств (13.39), (13.40) п

(16.5)

115

Поэтому при а < п расчетная формула для вероятности Ро записы­ вается в виде

случае не существует стационарный режим функционирования си­ стемы массового обслуживания с ожиданием. Условие а > п экви­ валентно условию к пц, согласно которому математическое ожи­ дание числа требований, поступающих в систему в единицу вре­ мени, не меньше числа требований, обслуживаемых всеми п приборами в единицу времени. При этом система массового обслу­ живания не имеет возможности обслужить поступающий поток тре­ бований, вследствие чего очередь на обслуживание непрерывно растет и при t-* со становится неограниченной.

При установившемся стационарном режиме функционирования системы, который существует при а < я, любое поступающее в си­ стему требование обязательно обслуживается, а потому вероятность обслуживания Р0бсл— 1- Для математического ожидания числа Y

Пусть Рп.з — вероятность полной загрузки приборов обслужива­ ния при установившемся режиме функционирования системы. Дан­ ная вероятность определяется с помощью равенства

ею

(16.10)

8=0

Учитывая (16.6) при ос < я, получаем

р = ДРп

(1 6 .1 1 )

116

где

Обозначим через Тн.3 случайное время неполной загрузки прибо­ ров обслуживания, т. е. Тн.3— длительность промежутка времени от момента перехода системы из состояния Сп в состояние Cn_j до момента возвращения системы в состояние Сп. Числовые характе­ ристики этой случайной величины, в частности ее математическое

ожидание tH.3, не зависят от наличия очереди'в системе массового обслуживания с ожиданием и потому могут быть определены, как для эквивалентной системы с отказами с п такими же приборами

обслуживания. Чтобы найти tH.3, введем случайное время Гй.з пол­ ной загрузки приборов обслуживания эквивалентной системы с от­ казами. Случайная величина Тп.з является длительностью проме­ жутка времени от момента занятия всех п приборов системы с от­ казами до момента освобождения хотя бы одного прибора. Эта случайная величина будет больше фиксированного значения t, если оставшееся время обслуживания требования любым из п приборов больше t. Так как приборы обслуживания функционируют незави­ симо один от другого, время Тц обслуживания любого требования имеет показательное распределение с параметром р, а время дообслуживания имеет такое же распределение, как и Тti. , то

Из этого выражения следует, что случайная величина Т„.3 имеет показательное распределение с параметром ftp. Следовательно, ма­ тематическое ожидание времени полной загрузки эквивалентной си­ стемы с отказами

k=0 R-

117

Разрешая (16.15) относительно ^н.з, с учетом (16.14) получаем

Для системы с ожиданием случайное время Т„.3 полной за­ грузки приборов обслуживания не совпадает с Гп.з, так как при на­ личии требований в очереди окончание обслуживания любого тре­ бования не означает освобождения прибора обслуживания. Отно­

шение математического ожидания ^п.з случайной величины Т„.3

к сумме ^п.з+^н.з равно вероятности Рп.з полной загрузки прибо­ ров обслуживания системы с ожиданием, т. е. справедливо равенство

Математическое ожидание числа Z требований, ожидающих на­ чала обслуживания, находится с помощью равенства

Отношение z к математическому ожиданию числа требований, поступающих в систему в единицу времени, т. е. к к, равно мате­

матическому ожиданию t0)K времени Тожожидания начала обслужи­ вания (времени пребывания требования в очереди), ’г. е.

Для, длительности ожидания Гож, являющейся основной харак­ теристикой функционирования системы с ожиданием, определим функцию распределения

118

Обозначим через Ps( Гож > t) условную вероятность того, что время ожидания начала обслуживания будет больше t, если в моч мент поступления требования в систему там была очередь из s тре­

ления в систему рассматриваемого требования обслужено I требо­ ваний. По условию требования обслуживаются в порядке их по­ ступления в систему. При наличии очереди из s требований время ожидания начала обслуживания вновь поступающего требования будет больше t, если за это время обслужено нс более s требова­ ний. Следовательно,.

Подставляя (16.26) в (16.25), находим

(16.27)

Тогда

P(T0* > t )

Меняя порядок, суммирования, получаем

п

119