книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

ный анализ моделей, заключающийся в оценке невырожденно­ сти модели и затрат машинного времени на интегрирование. Не­ вырожденной моделью называют такую, которая допускает определение полной системы параметров движения во всей обла­ сти их возможных значений. Нарушение этого свойства свиде­ тельствует о том, что правые части хотя бы одного из уравнений модели терпят разрыв второго рода при некоторых значениях параметров и модель движения становится вырожденной по ка­

движения центра масс. Невырожденными из этих моделей являются модели в прямоугольных системах координат. Незави­ симо от характера системы (невращающаяся или вращающая­ ся) и выбора начала координат каждая из них позволяет опре­ делить полную систему параметров движения. Свойство невы­ рожденности для таких моделей не нарушается, если в процессе решения задачи осуществляется переход от одной опорной пря­ моугольной системы координат к другой, аналогичной по харак­ теру с первой. Объясняется это изометричными свойствами пря­ моугольных систем координат, и в этом смысле модели движе­ ния в таких системах являются эквивалентными.

Из моделей движения в оскулирующих элементах невырож­ денными являются модели с использованием лагранжевых эле­ ментов Q, cos i, k, a, h, М\ или q\, pb h\, k\, М2, а и модель с эле­ ментами сь с2, Сз, Ai, Л2, A3, х а0. Этим же свойством обладают модели, построенные на использовании различных канонических элементов орбиты. Модели в оскулирующих элементах, где ис­ пользуются введенные ранее кеплеровы элементы орбиты, вы­ рождаются при е->0 или при i-*-0, что указывает на нецелесооб­ разность применения этих моделей для круговых и почти круго­ вых экваториальных и наклонных орбит.

Модели движения в криволинейных системах координат яв­ ляются эквивалентными в случае совпадения опорной плоскости этих систем с плоскостью невозмущенной орбиты. Причем мо­ дель движения в сферической системе теряет свойство невырож-

д е н н о с т и при я , а модель в цилиндрических координатах

всюду невырождена.

Проанализируем теперь модели движения относительно центра масс. В данном случае это удобнее сделать на основании анализа свойств линейного преобразования кинематических уравнений каждой модели. В модели движения (2.2.12) с ис­ пользованием углов Эйлера определитель матрицы Аэ~1 линей­

ного преобразования равен ----- . Это приводит к вырожден-

s i n &

40

ности модели при 6-Ю и 6—>-я. При интегрировании уравнений этой модели приходится либо обходить указанные особые точки путем изменения шага, либо переходить к новой системе отсче­ та в моменты, когда угол 6 близок к нулю или 180°. В модели движения с использованием направляющих косинусов матрица -Л0>1 линейного преобразования является ортогональной, ее опре­ делитель равен ±1. По это означает, что модель (2.2.14) являет­ ся невырожденной в принятом выше смысле. Однако при инте­ грировании уравнений этой модели необходимо обращать вни­ мание на соблюдение свойства ортогональности матрицы Л0д, так как оно может нарушаться за счет ошибок численного инте­ грирования и возможного влияния ошибок измерений в случае, когда результаты измерений используются для формирования

направляющих косинусов или параметров Родрига — Гамильто­ на позволяет снять вырожденность, свойственную угловым пе­ ременным. Помимо этого, отказ от угловых переменных приво­ дит к проведению лишь алгебраических операций при интегри­ ровании.

Перейдем к предварительной оценке затрат машинного времени на интегрирование дифференциальных уравнений раз­ личных моделей. Ограничимся кратким рассмотрением трех ме­ тодов расчета возмущенного движения космического объекта: численное интегрирование системы дифференциальных уравне­ ний в прямоугольных системах координат, в оскулирующих эле­ ментах и в криволинейных координатных системах. Использо­ вание оскулирующих элементов в качестве переменных интегри­ рования на маловозмущенных участках движения ввиду медленного изменения оскулирующих элементов во времени дает возможность увеличить шаг интегрирования и, следовательно, сократить затраты машинного времени. При этом выигрыш во времени по сравнению с решением задачи в прямоугольных си­ стемах координат может доходить до трех раз и более. Однако правые части моделей движения в оскулирующих элементах, как правило, сложнее правых частей моделей движения в прямо­ угольных системах, что снижает указанный выигрыш во време­ ни. В этом случае помимо вычислений, требуемых для расчета правых частей уравнений в прямоугольных координатах (т операций), необходимо произвести вычисление на заданное время некоторых дополнительных величин (I операций). Обо­ значим через п\ количество шагов на данном участке движения при численном интегрировании дифференциальных уравнений в прямоугольных координатах, а через «2 — количество шагов при

41

«объекта под действием гравитационных и аэродинамических сил

ямоментов. В этом случае к числу возмущений можно отнести:

—отклонения от номинальных значений постоянных, харак­ теризующих гравитационное поле Земли;

—отклонения от стандартных значений параметров, харак­ теризующих состояние атмосферы;

—отклонения от номинальных значений главных централь­ ных моментов инерции объекта;

—отклонения от расчетных значений аэродинамических ко­ эффициентов.

В общем случае перечисленные отклонения изменяются со временем. Некоторые из них зависят от параметров движения. Для удобства анализа движения указанные отклонения могут быть представлены степенными разложениями по времени или параметрам движения. Тогда к возмущениям относят уже не изменяющиеся отклонения, а постоянные коэффициенты упомя­ нутых разложений. При анализе движения объекта в плотных слоях атмосферы, в частности, на участке спуска с орбиты, счи­ тают, что коэффициенты аэродинамических сил и моментов за­

Поэтому отклонения аэродинамических коэффициентов от при­ нятых при расчетах на ограниченных участках траектории рас­ сматривают как случайные функции числа М и угла а. Эти функ­ ции можно представить степенным разложением вида

;где сш тн — расчетные (номинальные) значения коэффициентов.

1 Принимаемое здесь допущение справедливо для стационарного режима

•обтекания. В области трансзвуковых скоростей такое допущение может при­ вести к существенным неточностям.

43

Если в разложениях (2.5.2) и (2.5.3) ограничиться линейны­ ми членами, то получим

Ввиду недостаточной изученности зависимости коэффициен­ тов аэродинамических моментов от параметров движения и ог­ раниченных по точности возможностей измерительных средств иногда в разложении (2.5.5) не учитывают члены, содержащие параметры движения, т. е. принимают

Выражения, подобные (2.5.7), используют также для пред­ ставления отклонений всех других характеристик объекта и ус­ ловий полета, не зависящих от параметров движения. Например, для констант, характеризующих нормальное гравитационное поле Земли, считают

Таким образом, в систему возмущений, подлежащих опреде­ лению при анализе движения, включаются постоянные коэффи­ циенты возмущений Xj(/=1, 2, ..., р), где р — общее число ко­ эффициентов.

§ 2.6. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ

Линеаризованные модели движения играют важную роль в задачах экспериментальной баллистики. Такие модели могут быть получены из нелинейных моделей на основе известного прин­ ципа малых отклонений. Принцип (метод) малых отклонений опирается на понятия опорного (невозмущенного) и возмущен­ ного движений. Опорным движением будем называть любое пол­ ностью определенное движение, относительно которого рассмат­ риваются близкие к нему возмущенные движения. Запишем модели опорного движения в общем виде. С этой целью совокуп­ ность изменяющихся во времени параметров движения xu(t) (&=1, 2, ..., п) представим «-мерным вектором1 параметров

1 Здесь и далее вектор и одностолбцовая матрица понимаются в одина­ ковом смысле.

44

движения (фазовых координат)

х п(/)

Введем также р-мерный вектор характеристик модели дви­ жения объекта

М О

компонентами которого являются характеристики объекта, ус­ ловий полета и управляющих воздействий. В общем случае ха­ рактеристики Яj(t) (/ = 1, 2, р) являются изменяющимися во времени величинами. В дальнейшем будем считать, что на рас­ сматриваемом интервале времени [О, Г] переменные характерис­ тики могут быть представлены линейной комбинацией известных функций времени и конечного числа постоянных величин. Поэто­ му вместо переменного вектора X(i) будем иметь дело с посто­ янным р-мерным вектором

При переходе от Я(t) к Я число компонент р может быть изменено и сами компоненты Я3- (/=1, 2, ..., р) могут приобрести иной смысл по сравнению со смыслом исходных характеристик kj(t) (/=1. 2, ..., р). С использованием векторов x ( t ) —x и Я мо­ дели опорного движения могут быть представлены следующей системой уравнений, записанной в нормальной форме:

определяет изменение параметров опорного движения

Х 1= х 1(*), x 2 = x 2{t), . . . , x n=x„{t)

45

во времени. Модели возмущенного движения представим систе­ мой уравнений

где*, X— векторы параметров движения и характеристик воз­ мущенного движения; X, t) — известные функции t , x и X.

Решение системы (2.6.6) при начальных условиях

t — t0, Х 1= * ю , X 2 = ^ 2 0 > • • • > Xn~=XnQ

определяет изменение параметров возмущенного движения

х 1= х : (/), = х 2 ((), . . . , x n = x „ ( t )

во времени. Параметры xh (А=1, 2, ..., п) возмущенного движе­ ния представляются формулами

х j — Xi -j- ДХ];

х п = х п + &х а-

Соответственно характеристики Х3- (/= 1, 2, ..., р), отвечающие возмущенному движению, запишутся в виде

и предположив, что функции fk для всех моментов времени t мо­ гут быть разложены по формуле Тейлора в ряд по степеням от­

дхр.

функций fk по параметрам х,,. и характеристикам Х2, отвечающие опорному движению; Rk — остаточный член разложения.

46

Вычитая из уравнений (2.6.9) уравнения невозмущенного движения (2.6.4) и отбрасывая в соответствии с принципами метода малых отклонений остаточный член разложения, получим линеаризованную модель движения

Запишем для примера линеаризованную модель возмущенно­ го кеплерова движения, принимая в качестве возмущений грави­ тационное ускорение g*, обусловленное несферичностью Земли [см. уравнение (2.1.7)]. Модель опорного движения в данном случае в векторной форме представляется системой

основной экваториальной системы координат Ох\Х%хз. Предвари­

рых являются составляющие перечисленных векторов по осям ос­ новной экваториальной системы.

47

Имеем

Л®=-- - ^ ( 3 * ге,т + Я )Д г+ £*;

Г6

где Е — единичная матрица третьего порядка; егт— транспорти­ рованный вектор-столбец ег.

Систему матричных уравнений (2.6.16) можно свести к одно­ му матричному уравнению

§ 2.7. МАТРИЦАНТ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ

2.7.1. Понятие матрицанта и запись общего решения для однородных линеаризованных моделей

Любую линеаризованную модель движения (2.6.10) можно привести к одному матричному уравнению вида (2.6.17). Это уравнение образует систему линейных неоднородных дифферен­

48

где

Запись общего решения однородного уравнения (2.7.1) удоб­ но сделать с помощью матрицанта. Допустим, что n-раз проведе­ но решение задачи Коши для уравнений (2.7.1) при специально выбранных начальных условиях

и для каждого из столбцов начальных условий получено реше­ ние системы (2.7.1)

Совокупность решений (2.7.3) составляет фундаментальную систему решений. Матрицант Ф(/, ^о) есть квадратная (п Х п ) матрица, составленная из фундаментальной системы решений

или

fnl T„2 Т„з- •?»»

49