книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

ний, записанным так, что оно в явном виде содержит вектор оце­ ниваемых параметров. Поэтому для рассматриваемой задачи оценки параметра q кривой 5 функция правдоподобия имеет вид

следует заметить, что нормирующий коэффициент k как постоян­ ная величина от q' не зависит.

Значение q варьируемого параметра функции правдоподобия при котором функция правдоподобия L(q') принимает наиболь­ шее значение, принимается за оценку максимального правдопо­ добия неизвестного параметра q кривой 5 :

L (q) = max L (q').

{<?'}

Функция правдоподобия (7.2.14) записана для случая нали­ чия в эксперименте одной лишь опытной точки, т е для ^ = 1 При проведении нескольких пар измерений функция правдопо­ добия может быть записана из выражения для совместной плот­

ности вероятности всей измерительной информации, полученной при измерении координат N точек на кривой S.

Если условия эксперимента таковы, что ошибки измерений координат последовательных точек £* на кривой 5(г=1 2 N) статистически независимы, функция правдоподобия будет’иметь вид произведения N правых частей равенства (7.2.14) записан­

ной л ЛЯ каждой из 0ПЬ1™ых точек. Получить функцию правдодо ия при статистически зависимых в совокупности ошибках

измерении можно было бы путем перехода от полной плотности ероятности результатов измерений координат о д н о й т о ч к и на кривой 5 к полной плотности вероятности результатов измерений координат N точек на кривой S(W >1). Но это вызовет в общем случае большие трудности. щ ш

Бозвращаясь от задачи оценки параметра кривой 5 к оценке

стаРтиоовРятьМчДеЛИ Движения космического объекта, можно конатировать, что по изложенной методике может быть построена

функция правдоподобия в том случае, если по условиям экспери мента ошибки измерении связаны лишь изохронной статистическо„ зависимостью. Изоканальные и перекрестные Lppe™ ци„„ ые связи между ошибками измерений эта методика построения функции провдоподобия достаточно просто учитывать неТозво

Подобным же образом может быть построена функция прав­ доподобия и в задачах оценки параметров модели движения космического объекта общего вида. В этом случае моделГдви жения космического объекта может быть интерпретирована как уравнение кривой в многомерном (p + s + 1-мерномГпрос^ан-

200

стве.' Дальнейшие рассуждения аналогичны приведенным выше для задачи оценки одного параметра модели движения космиче­ ского объекта, содержащей одну ординату и одну координатную функцию, поэтому здесь не рассматриваются.

§ 7.3. ФУНКЦИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ПРИ СТАТИСТИЧЕСКИ ЗАВИСИМЫХ В СОВОКУПНОСТИ ОШИБКАХ ИЗМЕРЕНИЙ

Рассмотрим методику получения функции правдоподобия в задачах оценки параметров модели движения космического объ­ екта вида (7.1.1). Будем полагать, что условия эксперимента соответствуют § 7.1, т. е. ошибки измерений могут быть в сово­ купности статистически зависимыми. Очевидно, что при этих предположениях необходимо иметь такую методику получения функции правдоподобия, которая позволила бы учитывать не только изохронные, но и изоканальные и перекрестные корреля­ ционные связи между ошибками измерений.

Анализируя процесс получения функции правдоподобия в ус­ ловиях отсутствия изоканальных и перекрестных корреляционных связей между ошибками измерений, убеждаемся в том, что тре­ бование статистической независимости ошибок измерений в по­ следовательных точках реализуется только на этапе перехода от функций правдоподобия, соответствующих отдельным опыт­ ным точкам, к функции правдоподобия, соответствующей множе­ ству из N опытных точек. При построении функции правдоподо­ бия для каждой из N опытных точек это требование „не является существенным.

В то же время можно заметить, что функция правдоподобия для каждой опытной точки позволяет учитывать все возможные корреляционные связи между ошибками измерений при получе­ нии опытных значений ординаты и координатных функций моде­ ли движения в один фиксированный момент времени. -Отсюда следует, что если всю измерительную информацию рассматри­ вать как совокупность координат одной единственной опытной точки в N (р-1- 1) -мерном пространстве, то все корреляционные связи между ошибками измерений могут быть учтены.

Для дальнейшего изложения будем использовать матричную символику. При этом векторы будут представляться в виде одно­ столбцовых матриц (матриц-столбцов).

Вектор измерений?, характеризующий положение единствен­

Равенство (7.3.1) представляет вектор z в коагулированной форме. Подвекторы v и w вектора измерений г содержат своими компонентами полученную при проведении эксперимента измери­

201

тельную информацию. Так v — подвектор вектора г , имеющий своими компонентами измеренные значения щ в точках ^ орди­ наты модели движения космического объекта x(t), a w — под­ вектор вектора измерений z, компонентами которого являются измеренные значения в точках ti координатных функций

модели движения космического объекта l\(t), £г(0> •••> £р (0- Это может быть представлено следующей записью:

Вектор z представляет'собой измеренное значение вектора £, компонентами которого являются точные значения в точках U ординаты модели движения космического объекта x(t) и ее ко­ ординатных функций h(t), l2(t), ..., l P(t):

С=11* т ГГ;

X = I х {х 2.

(7.3.3)

Поскольку все компоненты вектора £ измеряются с ошибка­ ми, полная плотность вероятности вектора г, как показано выше (см.. § 7.2), должна быть записана в виде

Здесь p(z, £) — плотность вероятности вектора г при фикси­ рованном положении измеряемого вектора £. Поскольку вектора содержит всю полученную в опыте измерительную информацию, эта плотность вероятности позволяет учесть все возможные кор­ реляционные связи между ошибками измерений. Функция ср(£) в выражении (7.3.4) — по-прежнему весовая функция, приписы­ вающая различные в общем случае веса различным гипотезам о положении измеряемого вектора £ в области его возможных зна­ чений. Область Z возможных значений измеряемого вектора £ образуется непрерывным множеством векторов, удовлетворяю­ щих своими одноименными по второму индексу компонентами модели движения (7.1.1). Такое определение области Z возмож­ ных значений измеряемого вектора £ позволяет записать следую­ щее соотношение между его подвекторами х и %:

■ * = / ( 5 , Я \

202

отк уд а следует, что в области Z

C=C(S, я).

Последнее равенство позволяет записать выражение для пол­ ной плотности вероятности вектора измерений г в следующем виде:

Функция правдоподобия, соответствующая плотности веро­ ятности вектора измерений z в форме (7.3.5), имеет вид

бия; k — положительный нормирующий коэффициент, не завися­ щий от вектора варьируемых параметров функции правдоподо­ бия i' .

Функция правдоподобия (7.3.6) может служить основой для получения алгоритмов обработки результатов измерений в зада­ чах оценки параметров моделей движения космических объектов при наличии ошибок измерений в опытных значениях координат­ ных функций. Методика записи этой функции правдоподобия является достаточно общей. С ее помощью могут быть учтены все возможные корреляционные связи между ошибками измере­ ний, т. е. изохронные, изоканальные и перекрестные.

При записи функции правдоподобия (7.3.6) не накладывалось никаких ограничений ни на вид модели движения космического объекта, ни на закон распределения ошибок измерений. Поэтому изложенную выше методику можно считать достаточно универ­ сальной. Следует отметить, однако, что функция правдоподобия (7.3.6) записана еще не в окончательном виде. Для приведения ее к виду, удобному для практического использования, необхо­ димо вычислить интеграл по области Z. Успех вычисления этого многомерного интеграла зависит от вида плотности вероятности вектора измерений z, вида модели движения космического объ­ екта, а также вида весовой функции ср(|, q).

§ 7.4. ВЕСОВЫЕ ФУНКЦИИ

Весовая функция введена 'в выражение для плотности веро­ ятности вектора измерений .г для того, чтобы можно было учиты­ вать различную в общем случае возможность получения вектора измерений z при измерении различных векторов £ из области Z их возможных значений. При известной модели движения косми­ ческого объекта измеряемый вектор £ полностью определяется вектором |, компонентами которого являются измеряемые значе-

203

ния координатных функций Поэтому весовая функция ф(^, q) определяет значимость гипотезы \ о положении в области Z измеряемого вектора £. При этом весовую функцию можно запи­ сать в виде, содержащем явно вектор | и вектор оцениваемых параметров q, что и сделано в § 7.3. Весовые функции должны выбираться, как правило, с учетом конкретного вида модели дви­ жения космического объекта, закона распределения ошибок из­ мерений и особенностей проводимого эксперимента. Вместе с тем по поводу вида весовых функций можно высказать ряд предва­ рительных общих соображений.

Поскольку весовая функция в виде <р(|, q) приписывает веса различным гипотезам § о положении в области Z измеряемого вектора £, прежде всего можно ввести такую весовую функцию, которая всем гипотезам о положении измеряемого вектора при­ писывает одинаковые веса. Талую весовую функцию можно наз­ вать равномерной и ввести следующим образом:

Равномерная весовая функция задает одинаковые веса раз­ личным гипотезам о положении измеряемого вектора либо во всей области Z, либо только в части ее. Определение области задания весов этой функцией производится в соответствии с конкретными условиями эксперимента. Учитывается область за­ дания весов при вычислении многомерного интеграла путем на­ значения соответствующих пределов интегрирования.

Очевидно, что равномерная весовая функция является край­ ним случаем возможных весовых функций, поскольку с ее по^ мощью неделается практически никаких различий между раз­ ными гипотезами о положении измеряемого вектора из области его возможных значений. Другим крайним случаем возможных весовых функций является, по-видимому, такая, которая припи­ сывает бесконечный вес действительному значению измеряемого вектора в проведенном эксперименте и веса, равные нулю, — всем остальным значениям измеряемого вектора из области его воз­ можных значений. Такой весовой функцией может служить дель­ та-функция с векторным аргументом \ —

Сравнивая введенный здесь вектор' %й с вектором |, введен­ ным ранее равенством (7.3.3), можно сделать вывод, что эти век-

204

торы идентичны. Однако это не так. Вектор | содержит своими компонентами точные значения в моменты времени ti координат­ ных функций но в связи с тем, что все эти значения изме­ ряются с ошибками, предполагается, что этот вектор может быть любым из области его возможных значений. Поэтому компонен­ там вектора ^ в общем случае должна быть отведена роль пере­

менных интегрирования в правой части выражения для функции правдоподобия.

Вектор §6 содержит своими компонентами зафиксированные дельта-функцией точные значения в моменты времени ti коорди­ натных функций £3-(/). Эти значения в области возможных зна­ чений являются единственными. В связи с этим при использова­ нии дельта-функции в качестве весовой возникают дополнитель­ ные трудности, связанные с увеличением вектора оцениваемых параметров. Это увеличение математически является следствием фильтрующего свойства дельта-функции, заключающегося в том, что

оо

— оо

где /( |) — произвольная скалярная функция вектора |.

Это свойство дельта-функции приводит к тому, что функция правдоподобия после интегрирования в правой части будет со­ держать неизвестный вектор компоненты которого подлежат оценке наряду с вектором q параметров модели движения кос­ мического объекта.

Между рассмотренными выше крайними .случаями весовых функций находится класс таких весовых функций, которые раз­ личным гипотезам о положении в области возможных значений измеряемого вектора приписывают различные ограниченные и не равные нулю веса. Из этого класса весовых функций представ­ ляет интерес функция, определяемая равенством

Эта весовая функция гипотезе \ о положении в области Z из­ меряемого вектора £ приписывает вес, равный плотности веро­ ятностей случайного вектора .г* в точке z при расположении центра рассеивания вектора z* в точке £, определяемой векто­ ром \ и моделью движения космического объекта. Исходя из физического смысла весовой функции определяемая равенством (7.4.3) функция может быть названа вероятностной.

По смыслу задачи оценки параметров модели движения кос­ мического объекта вероятностная весовая функция является наиболее корректной из указанного промежуточного класса функций, поскольку она наиболее полно учитывает конкретные условия эксперимента, информация о которых содержится в вы­ ражении для плотности вероятностей ошибок измерений.

205

§ 7.5. СМЕЩЕНИЕ ОЦЕНОК НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ

МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОЕО ОБЪЕКТА

Одним из основных статистических свойств оценок неизвест­

ных параметров является смещение. Оценку q вектора оцени­ ваемых параметров q можно рассматривать как реализацию

случайного вектора q *, случайность которого определяется слу­ чайностью вектора ошибок измерений h*. Смещение вектора оце­ ниваемых параметров определяется как разность между матема­

тическим ожиданием случайного вектора q* и точным значением <7 вектора оцениваемых параметров. При таком определении сме­ щение является вектором той же размерности, что и вектор оце­ ниваемых параметров. Компонентами вектора смещений будут смещения оценок отдельных параметров модели движения кос­ мического объекта.

Выше было указано, что при подстановке в функцию правдо­ подобия вместо вектора варьируемых параметров вектора оце­ нок неизвестных параметров эта функция принимает наибольшее свое значение. Символически это условие можно записать так:

Точи наибольшего значения функции правдоподобия являет­ ся точкой ее экстремума, поэтому равенству (7.5.1) соответству­ ет уравнение правдоподобия вида

XQ')

л = 0. (7.5.2) dq’ q’=q

В общем случае уравнение правдоподобия (7.5.2) векторное. Неизвестным в этом уравнении является вектор q-

Следует отметить, что если равенство (7.5.1) определяет оцен­ ку вектора q однозначно, то уравнение правдоподобия (7.5.2) этим свойством не обладает. Последнее связано с тем, что ра­ венство (7.5.2) справедливо не только для точки наибольшего значения функции правдоподобия, но и для всех экстремумов этой функции, которых в общем случае может быть несколько. По этой причине отыскание оценки вектора неизвестных пара­ метров является задачей отыскания такого корня уравнения правдоподобия, при котором функция правдоподобия принимает наибольшее свое значение. Иначе эта задача может быть сфор­

мулирована как задача • отыскания абсолютного максимума функции правдоподобия.

Уравнение правдоподобия может быть либо линейно, либо нелинейно относительно искомого вектора оценок. В первом случае уравнение правдоподобия имеет конечное аналитическое ре-

шение для вектора q , во втором случае конечного аналитическо­ го решения этого уравнения в общем случае нет.

Вектор оценок неизвестных параметров, удовлетворяющий уравнению правдоподобия, может оказаться смещенным относи­ тельно действительного значения. Специальными приемами это смещение может быть частично компенсировано.

Уравнение правдоподобия (7.5.2) определяет связь между

вектором оценок q и полученной в процессе эксперимента изме­ рительной информацией, представляемой вектором измерений Z. Связь между этими векторами в уравнении правдоподобия носит неявный характер. Для дальнейшего изложения уравнение прав­ доподобия (7.5.2) удобно записать в виде

где f ( q , z ) — векторная функция векторов q и z, совпадающая с левой частью уравнения правдоподобия (7.5.2).

Случайные векторы q* и z * также удовлетворяют уравнению

правдоподобия (7.5.3), поскольку случайность вектора q * опре­ деляется в конечном счете его зависимостью от случайного век­ тора z* через уравнение правдоподобия. Таким образом,

По определению, смещение оценки вектора неизвестных пара­

метров есть математическое ожидание случайного вектора бq* такого, что

4 * = q * - q ,

где, как указывалось выше, q* — случайный вектор оценок неиз­ вестных параметров, a q — точное значение вектора оценивае­

мых параметров. Разлагая векторную функцию f{q*,z *) в ряд окрестности точного значения вектора оцениваемых параметров, с точностью до членов высших порядков малости получим

где Q(q, z*) — матрица частных производных от компонент век­

207

Поскольку векторы q * и z* удовлетворяют соотношению (7.5.4), равенство (7.5.5) может быть записано так:

держит членов, учитывающих корреляционные связи между ком­

понентами векторов bq* и г*. Эти члены являются членами выс­ ших порядков малости и в приближенных расчетах могут быть опущены. С учетом допущения (7.5.8) получаем

Формула (7.5.9) определяет смещение вектора оценок неиз­

вестных параметров. Из этой формулы следует, что смещение от­ сутствует, если

В случае когда матрица частных производных Q(q) неосо­

бенная, условие несмещенности вектора оценок q'f является не­ обходимым и достаточным. Неособенность же матрицы Q(q) является необходимым условием существования решения урав­ нения правдоподобия, поэтому всегда имеет место для рассмат­ риваемого класса задач оценки параметров.

Используя полученное выше условие* несмещенности оценок (/.о.Ш), люоое уравнение для получения оценок неизвестных параметров можно преобразовать так, что его решением будет вектор несмещенных оценок. Действительно, пусть уравнению

(7.5.3) удовлетворяет смещенная оценка q вектора q, г. е. функ­ ция / (q, Z) не удовлетворяет условию несмещенности оценок

(7.5.10). Тогда, введя векторную функцию векторов а* и z* ко­ торую мы определим равенством

можно записать уравнение для несмещенных оценок вектора

неизвестных параметров. Очевидно, что таким уравнением яв­ ляется

208

т. е. уравнение (7.5.12) удовлетворяет условию несмещенности оценок (7.5.10).

Из сказанного выше следует, что в случае применения для оценки неизвестных параметров метода максимального правдо­ подобия уравнение правдоподобия должно быть несколько пре­

В заключение отметим, что изложенный способ устранения смещений оценок неизвестных параметров является достаточно общим и может быть использован для преобразования не толь­ ко уравнений правдоподобия, но и любых уравнений оценок, как линейных, так и нелинейных.

§ 7.6. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА ОЦЕНОК НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

Одним из важнейших этапов статистической оценки пара­ метров модели движения космического объекта является оценка точности получаемых после обработки экспериментальных дан­ ных результатов. Достаточно полной характеристикой точности

вектора q, являющегося несмещенной оценкой вектора оценивае­ мых параметров q , может служить корреляционная матрица Bq

случайного вектора q *, реализацией которого в проведенном

эксперименте был вектор q ■

Рассмотрим приближенную' методику получения корреляци­ онной матрицы оценок. Эта методика может оказаться полезной в случае, когда уравнения праводоподобия не имеют конечных аналитических решений, т. е. оценки неизвестных параметров должны отыскиваться численными методами. Кроме' того, эта методика может значительно упростить процедуру оценки точ­ ности результатов, если уравнения правдоподобия хотя и раз­ решимы аналитически, но дают сложные зависимости оценок от компонент вектора измерений.

В предыдущем параграфе показано, что любое уравнение оценок может быть преобразовано так, что его решением будет несмещенная оценка вектора неизвестных параметров q. Поэто­ му будем считать, что уравнение оценок (7.5.3) удовлетворяет условию несмещенности оценок (7.5.10).

209