книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики
.pdfДля получения кинематических уравнений спроектируем уг ловые скорости б, v, ф на оси связанной системы. Получим
1 |
<> |
0)! |
0 |
1 |
Л , - |
V |
|
( 2.2. 10) |
0)2 = |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
0)3 |
|
9 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
coscp |
sin 8 sin cp |
0 |
|
|
Л э = — sin cp |
sin 8 coscp |
0 |
(2.2. 11) |
|
0 |
cos 8 |
1 |
|
|
Рис. 2.2.2. Взаимное положение опорной инерциальной и связанной систем коорди нат
Разрешая уравнения относительно угловых скоростей б, v
и ф, получим систему кинематических уравнений, обращенную по отношению к системе (2.2.10),
l
8 |
= А 7г- U>2 |
(2.2. 12) |
V |
||
|
l |
|
|
1 |
|
9 |
U>3 |
|
где Аэ~1— матрица, обратная матрице Лэ:
|
cos ср |
— sin cp |
0 |
|
А -Э1 |
Sin (р |
COS cp |
0 |
(2.2.13) |
|
sin 5 |
sin Ь |
|
|
|
— sin cpctg 8 |
— COS cp ctg 8 |
1 |
|
BO
Система (2.2.12) является первой формой кинематических уравнений. Как видно, она представлена выражениями произ водных эйлеровых углов через угловые скорости.
2.2.3. Вторая форма кинематических уравнений
Помимо углов Эйлера, параметрами ориентации могут быть направляющие косинусы ац0'1 (г = 1, 2, 3, /= 1, 2, 3), являющиеся элементами матрицы А 0,\ перехода от связанной системы коор динат к инерциальной. Тогда вторая форма кинематических уравнений может быть представлена выражениями производных направляющих косинусов через угловые скорости, а именно:
|
^0,1 — ^0,1 ' |
||
|
Л .1=1 а !/|; |
||
|
|
а ?!1 Й121 а°гз1 |
|
:ь |
ll |
а ^ 1 а°21 аЦ |
|
о |
|||
|
|||
(2.2.14)
(2.2.15)
asi1 а°32
А шопределяется выражением (2.2.7).
2.2.4. Третья форма кинематических уравнений
Иногда удобно вместо углов Эйлера и направляющих коси нусов определять ориентацию космического объекта в простран стве составляющими кватернионов, к которым относятся пара метры Родрига — Гамильтона £о, £i, £2, £3. Эти параметры удов летворяют соотношению
Со+С?+С2 + Сз=1. |
(2.2.16) |
Модель движения с использованием параметров Родрига — Гамильтона имеет вид
1
и а>1
|
= — |
А с |
1 |
(2.2.17) |
||
С2 |
а>2 |
|||||
|
2 |
|
|
|||
и |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
со3 |
|
||
i 0= |
- ± |
^ |
, |
|
||
где о) = в>1-\г &>2соз;
п
,
£= ?1+£2 + £з; |
|
|
||
|
Со |
-С з |
С2 |
(2.2.18) |
II |
Сз |
Со |
-С ! |
|
|
- с 2 |
Cl |
Со |
|
31
2.2.5. Модель движения Эйлера — Пуансо
Если кинетическая энергия вращения космического объекта значительно больше работы возмущающих сил, то в уравнении (2.2.2) можно принять М =0. Тогда вектор К момента количе ства движения объекта будет постоянным по величине и направ лению. Выберем это направление за ось SK новой опорной си стемы координат S K 1K2 K и рассмотрим по отношению к систе
Рис. 2.2.3. Взаимное положение опорной системы
-координат, связанной с вектором кинетического
момента, и связанной системы
ме S K 1K2K вращательное движение объекта. Оси связанной си
стемы |
направим по главным центральным осям инер |
|||
ции объекта, а их положение по отношению к |
системе |
S K 1K2 K |
||
зададим |
углами Эйлера бь, vft, |
(рис. 2.2.3). |
Углы |
б*, v&, tpk |
вводятся аналогично углам б, v, ф, определяющим ориентацию триедра осей Sxi1^ 1^ 1 в опорной системе Oxix2x3. Поэтому все кинематические соотношения, полученные выше с использовани ем углов б, v, ф, справедливы для новой тройки углов б*, vft, ф&.
Тогда в соответствии с рис. 2.2.3 составляющие |
вектора К по |
осям связанной системы запишутся уравнениями |
|
К\ = К sin lk sin cpft; |
|
К\ — К sin \ coscp*; |
(2.2.19) |
К \ = К cos bk. |
|
32
Из |
уравнений (2.2.19) для диагональной матрицы |
инерции |
|
(2.2.5) |
получаем |
|
|
|
cos8a= - ^ - u4; |
(2.2.20) |
|
|
hi |
“i |
( 2. 2.21 |
|
■'22 |
Ц |
|
|
|
||
Чтобы вычислить угол Vfc, обратимся к уравнениям (2.2.12). Из второго уравнения Ихмеем
Vf t = -------------------------------(о| sin <fk + <л\COS 9ft . |
( 2.2. 22) |
sin 5ft |
|
Но из соотношений (2.2.19), с учетом того что
k \ = j , A \ K \ = J rA \ k I=--j 3A , |
(2.2.23) |
следует
sin |
/п |
1 |
cos 9>ft x |
•f 22 |
11 |
-соь |
К s i n 5ft |
||
|
J<. s i n |
Bft |
|
Тогда
1 0)2- (2.2.24)
h\ (“l)2 + -f22(“2)2
(2.2.25)
Ju W F + ^ H F
Отсюда видно, что vs>0. Это свидетельствует о возрастании угла прецессии. Часто можно предполагать, что /ц = / 22- В этом случае из третьего уравнения системы (2.2.8) получаем
/ 33шз= 0 |
и шз= |
ct>3o = |
const. |
|
Поэтому на основании (2.2.20) |
|
|
|
|
cos 8ft= |
cos 8ft0 = |
—— |
«да, |
(2.2.26) |
|
|
К |
|
|
где 6йо—const.
Равенство (2.2.26) означает, что угол между продольной осью объекта и вектором кинетического момента во все время движения остается постоянным. Кроме того, из уравнения
(2.2.25) при /ц = / 22 имеем
v’ft= — — const |
(2.2.27) |
7п
и
(2.2.28)
где Vfco — начальное значение угла прецессии для t —t0.
Из последнего уравнения системы (2.2.10) запишем
= «зо 1 |
■яя = const |
(2.2.29) |
|
J п |
|
и |
|
|
<Ра |
|
(2.2.30) |
где фм — начальное значение угла чистого вращения |
для t = t0. |
|
Как следует из полученных соотношений, при невозмущенном движении динамически симметричного космического объекта от носительно центра масс продольная ось вращается с постоянной
0 |
Х-, |
|
|
Ь |
|
|
|
|
о |
|
|
Рис. 2.'2.4. Движение Эйлера — |
Рис. 2.2.5. |
Ориентация |
|
|
Пуансо |
вектора |
кинетического |
|
|
момента в |
опорной си |
|
|
стеме координат |
|
угловой скоростью вокруг неизменного направления вектора мо мента количества движения К ■Угол бл между этим вектором и продольной осью постоянен. Кроме того, объект вращается во
круг продольной О С И |
С П О С Т О Я Н Н О Й угловой |
скоростью ф й (рис. |
||
2.2.4). Такое движение, являющееся регулярной прецессией, |
на |
|||
зывают движением |
Эйлера — Пуансо. Для |
этого |
движения |
су |
ществует определенное соотношение между б*, |
и ф*. Из урав |
|||
нения (2.2.29) имеем |
|
|
|
|
Тогда
34
отк у д а |
|
<P* = vft |
(2.2.31) |
2.2.6. Модель движения в оскулирующих элементах
Если вектор К момента количества движения определить мо дулем К и двумя угловыми координатами и Оь. в опорной си стеме Ох1X2X3 (рис. 2.2.5), то элементы К, % ak, bk, vA, срА для невозмущенного движения остаются постоянными при заданных начальных условиях. При возмущенном движении относительно центра масс указанные элементы будут медленно изменяться во времени. Поэтому совокупность этих элементов удобно выбрать в качестве оскулирующих элементов возмущенного движения.
Иногда вместо угловых скоростей Vk и <р& прецессии и чистого вращения можно рассматривать углы v,t и ф/1( изменяющиеся в регулярной прецессии линейно во времени. Часто элемент бд за меняют из1, а угол 6* определяют затем по формуле (2.2.26). Как и в случае движения центра масс, для установления изме нения оскулирующих элементов возмущенного движения отно сительно центра масс составляют систему дифференциальных уравнений в оскулирующих элементах. Для колебательного дви жения это особенно необходимо, так как при интегрировании обычных уравнений возмущенного движения приходится выби рать шаг интегрирования порядка 0,1—0,01 с, а для уравнений в оскулирующих элементах этот шаг может быть существенно увеличен. Одна из возможных моделей движения в оскулирую щих элементах имеет вид [10]
|
К = (ЛК sin r|ft |
yi<f3 cos Цй) sin zk-\- M 2cos ak\ |
|
|
|
%= - |
■(Mi cos Vk— M3 sin r)ft); |
|
|
|
К s i n |
|
|
|
4 |
= ~jr [{M i sin % -f M3cos л*) cos — M 2sin oA]; |
|
||
|
Л |
|
|
|
= — — b 7Г { - M 1 [ctg 8ft (COS T)ft Sin vft -f sin % cos vft cos as)+ |
||||
-f ctg Gk COS л*] + м 2sin ak clg Sfe cos vft + |
M3[ctg Ьк(sin \ sin |
- |
||
|
— cosiiftCOS0ftcosvft)-)-ctg3Asin r)K]j; |
(2.2.32) |
||
<P*= |
m3 — vft cos 8* + Л* (sin v* sin bk sin a*— cos bk cos зД + |
|||
|
|
+ oft cos vft sin 8,; |
|
|
|
шз = —— (ДД1<21з1-\-Л42а-2з |
M 3alz); |
|
|
|
*33 |
|
|
|
cos 8fe= ^ i - (03,
К
2* |
35 |
где Мь М2, М3 — составляющие возмущающего момента по осям Опорной инерциальной системы координат; о^з0,1, а2з0,\ Язз0,1 — направляющие косинусы, выраженные через углы va, 6а, Ца и ov Выражения для них легко получить путем перемножения двух матриц А 0,к и А к ,ь из которых первая является матрицей Перехода от системы SKiKiK к опорной системе Ох\Х2Хз, а вто
рая — матрицей перехода от связанной системы осей
к системе S K 1K2K. Отметим, что, помимо рассмотренных моде лей движения объекта относительно центра масс, на практике используются и другие модели. Например, все кинематические уравнения могут быть записаны относительно вращающейся опорной системы с учетом соотношения (2.2.9), а динамические уравнения могут быть представлены проекциями векторной мо дели (2.2.1) на оси опорной невращающейся системы. Увеличить число моделей можно за счет применения других параметров ориентации и, в частности, составляющих вектора конечного по ворота или параметров Кейли — Клейна, являющихся комплекс ными комбинациями параметров Родрига — Гамильтона.
§ 2.3. МОДЕЛИ РАБОТЫ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА
Система управления движением космического объекта пред ставляет собой комплекс устройств, обеспечивающих такое из менение управляющих воздействий, при котором действительное движение достаточно близко к требуемому. В состав системы управления входят:
—чувствительные элементы, вырабатывающие информацию
отекущих параметрах движения космического объекта;
—преобразующие устройства, формирующие команды управ ления в соответствии с информацией, выдаваемой чувствитель ными элементами, и с принципами управления, используемыми в данной системе;
—исполнительные органы, создающие управляющие воздей ствия в соответствии с командами управления, формируемыми преобразующими устройствами.
В зависимости от принципов получения исходной информа ции для управления движением различают радио-, астро-инер циальные и комбинированные системы управления.
Рассмотрим в качестве примера модель работы инерциаль ной системы управления ракеты-носителя на участке выведения на орбиту для случая регулируемой тяги двигателей [33]. На участке выведения задача управления движением распадается на задачи стабилизации и наведения.
Задача стабилизации (управления движением относительно центра масс) сводится к управлению ориентацией осей ракетыносителя в пространстве. Эта задача решается автоматом угло вой стабилизации, образующим вместе с ракетой-носителем
36
(благодаря |
обратным связям) единую динамическую систему, |
в которой |
ракета-носитель является одним из звеньев. Обычно |
«ориентация на участке выведения осуществляется относительно трех связанных с ракетой-носителем осей координат Sxi1, SX21,
.Sx3‘ по трем каналам: тангажа бт, рыскания крена (враще ния) уь Только один из этих каналов, а именно канал тангажа осуществляет ориентацию относительно программного значения ■0i,Iip. Программы углов рыскания и крена принимаются нулевы ми. Программа изменения угла тангажа может быть задана в виде функции времени t или какого-либо параметра, характери зующего движение, например, в виде зависимости от проекции вектора W кажущейся скорости на продольную ось ракеты-но сителя.
Для коррекции динамических свойств каналов тангажа и рыскания используют обычно двухзвенный дифференцирующий фильтр. В этом случае для каналов стабилизации углов тангажа и рыскания имеем следующие уравнения, связывающие откло нения органов управления с параметрами движения относитель но центра масс:
(2.3.1)
( 2.3. 2)
Для коррекции динамических свойств канала стабилизации утла крена обычно достаточно применения однозвенного диффе ренцирующего фильтра. Поэтому для этого канала имеем урав нение
&к —-^I.kYi + A^.kYi- |
(2.3.3) |
Задача наведения космического объекта |
(управления движе |
нием центра масс) сводится к управлению тремя составляющи ми кажущейся скорости центра масс, а также к управлению раз делением ступеней и отделением в требуемый момент космиче ского аппарата от последней ступени ракеты-носителя. Этот момент выбирается исходя из обеспечения достаточной близости действительных значений всех или части элементов орбиты аппарата расчетным значениям. Указанная задача решается си стемой наведения, включающей три канала для управления про дольной, нормальной и боковой составляющими кажущейся ско рости и каналы для управления разделением ступеней и отде лением космического аппарата. Первые три канала работают с использованием обратной связи. Каналы управления разделени ем ступеней и отделением космического аппарата обратной свя зи не имеют.
Регулирование продольной составляющей кажущейся скороети 1Кр.к.о (проекции вектора кажущейся скорости W на про дольную ось 5х3! связанной системы координат) осуществляет
37
система регулирования кажущейся скорости (РКС). Исходной информацией для такого регулирования служит результат срав нения действительного значения №р.к.с(£), измеренного на борту ракеты-носителя, и программного значения Wp.„.c,np, рассчитан ного заблаговременно. Сигнал рассогласования
Д ^ Р . К .С ( 0 = ^p.K.c {t) - ^ р .к .с ,п р |
(2.3.4) |
поступает в усилитель-преобразователь системы РКС, откуда после усиления и преобразования подается к исполнительным органам системы. Исполнительные органы воздействуют на из менение секундного расхода массы топлива в соответствии с приближенным уравнением
Дт-^рк.сД ^р.к.сЮ - |
(2-3.5) |
При Д№р.к.с (0 > 0 Ат<0, двигатель |
дросселируется, при |
А№р.к.с(0<0 Д « > 0, двигатель форсируется. Это приводит к из менению тяги двигателя, а затем и скорости движения ракетыносителя. Для улучшения динамических свойств системы РКС могут быть применены известные способы коррекции: введение-
производных Д^р.к.с(0 , Д ^ р.к.ДО от |
сигнала |
рассогласования |
AWp.K.c(t) в управляющий сигнал Д т |
или использование внут |
|
ренней обратной связи по давлению pK.c{t) в |
камере сгорания |
|
двигателя. |
|
WHX кажущейся |
Регулирование нормальной составляющей |
||
скорости (проекции W на программное или действительное на правление оси Sxi1 связанной системы координат) осуществляет система нормальной стабилизации (НС). В наиболее простом, случае управление нормальной скоростью сводится к стабилиза ции нулевых значений нормальной составляющей №н.с(^) и ин теграла по времени от этой скорости. Уравнение отклонения ор
ганов управления для установившегося процесса |
нормальной |
стабилизации имеет вид |
|
8„.с= Кг, „ , с ^ н.с ( 0 + К 2, „,5н.с( * ) , |
(2.3.6) |
t |
|
где sH.c(^) = j^H .c('c) ^ ; |
|
о |
|
т — переменная интегрирования. |
|
Регулирование боковой составляющей Wб.с кажущейся ско рости осуществляется системой боковой стабилизации (БС). Эта
система обеспечивает нулевые значения проекции |
,c(t) |
век |
тора W на ось Дхг1 связанной системы координат |
(при |
непо |
движной установке измерительного элемента относительно кор пуса ракеты-носителя) или на направление, перпендикулярное плоскости пуска (при установке измерительного элемента на гиростабилизированной платформе), и интеграла от этой скорости:
38
:S6.z{ t ) ~ \ W ()X{x)dx. Тогда отклонение органов управления,
6
обусловленное работой системы БС, описывается приближенным уравнением вида
&о.с = tfi, б.сГб.с (t) 4- Кг, б.с^б.с(/)• |
(2.3.7) |
Поскольку управление движением центра масс и относитель но центра масс осуществляется путем отклонения на соответст вующие углы одних и тех же органов управления (канал нор мальной стабилизации системы наведения включает контуры нормальной стабилизации и стабилизации угла тангажа, а ка нал боковой стабилизации — контуры боковой стабилизации и стабилизации угла рыскания), то суммарные углы отклонения
•органов управления найдутся по формулам
8„ = 8т + 8н.с; §„=Л + 5б.с; 8э = §к. |
(2.3.8) |
где 5В, 6Н, 6Э— углы отклонения органов управления высоты, на правления и элеронов.
Рассмотренный выше состав инерциальной системы управле ния ракеты-носителя обеспечивает достаточную близость дейст вительного движения к требуемому. Поэтому автомат управле ния разделением ступеней и отделением космического аппарата может быть существенно упрощен. Работа этого автомата в об щем случае основана на формировании в процессе движения не
которой функции U(Xj, Xj, t)(j= 1, 2, 3) текущих параметров движения в опорной системе координат и на сравнении функции
U(xj, Xj, i) с расчетным значением Uv(t). Функция U называет ся управляющей. Автомат управления разделением ступеней и
отделением космического аппарата от ракеты-носителя |
подает |
соответствующие разовые команды в момент, когда |
|
U (Xj, xj, t) = Up(t). |
(2.3.9) |
Информация для формирования управляющей функции мо жет быть получена от инерциальных приборов, установленных на борту объекта. Ими могут быть, например, три однокомпо нентных ньютонометра, направления осей чувствительности ко торых фиксируются с помощью гироскопов.
§ 2.4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ
Количество различных нелинейных моделей движения косми ческого объекта может быть достаточно большим. Возникает вопрос, какую из них целесообразнее выбрать для использова ния в решаемой задаче. С этой целью проводят предваритель
39