книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

пения оцениваемых параметров движения от действительных, вызванные отклонениями в начальных условиях, далее работает устойчиво примерно до 100-й секунды, а затем тоже начинает расходиться.

Фильтр Калмана является устойчивым при вполне определен­ ных ограничениях, накладываемых на вычислительные ошибки и ошибки измерения. Неустойчивость фильтра возникает в про­ цессе счета, т .е. алгоритм устойчивый на к-первых тактах счета, на (к+1) такте он становится неустойчивым. Это происходит тем быстрее, чем меньше разрядность машины, чем больше час­ тота счета, чем сложнее алгоритм фильтраций [55].

Многомерные дискретные фильтры с вычислительной точки зрения обладают двумя особенностями':

1)элементы корреляционной матрицы Б,-/г оценок Xi/t с рос­ том числа измерений уменьшаются;

2)алгоритмы расчета матриц Bi+i/i и Bi+i/i+i содержат опе­ рации обращения матричных выражений.

Эти две особенности определяют устойчивость машинного ре­

шения. Одним из необходимых условий устойчивости решения яв­ ляется положительность диагональных элементов корреляцион­

ной матрицы оценок XiU. Элементы В {/* с течением времени уменьшаются и в результате ошибок счета могут оказаться от­ рицательными. Последнее приведет к отклонению оценок от их действительных значений. Вторым необходимым условием устой­ чивости решения является обусловленность обратных матриц. Если обращаемая матрица имеет определитель малой величины, то это вызывает неустойчивость особого рода — задача становит­ ся некорректной.

Задача является некорректной, если небольшие отклонения

висходных данных вызывают сколь угодно большие отклонения

врешении. Некорректные задачи могут решаться с помощью метода регуляризации. Алгоритм для некорректных задач, явля­ ющийся функцией некоторого параметра ё, называется регуляризирующим, если он удовлетворяет следующим условиям:

—решение существует для всех возможных значений исход­ ных данных и всех е > 0;

—решение сходится к точному при e-vO для точных исход­ ных данных.

Следует помнить, что метод регуляризации есть метод при­ ближенного решения, он тем более загрубляет результаты реше­ ния, чем больше параметр е.

Гл а в а XI. ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЛЕТНОГО БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

В гл. I дано понятие о задачах экспериментальной космиче­ ской баллистики и изложена методика решения этих задач. В по­ следующих главах рассмотрены содержание и особенности ос­ новных этапов методики решения. Из изложенного видно, что при решении задач определения и анализа движения космиче­ ских объектов на каждом этапе приходится выполнять ряд тру­ доемких операций по достижению конкретных целей, использо­ вать различные по природе математические методы. В этих ус­ ловиях трудно проследить взаимосвязь этапов решения. Поэтому у исследователя каждый раз может возникать вопрос о правильности полученного решения и его оптимальности.

Ответ на этот вопрос следует искать в теории планирования эксперимента, которая позволяет правильно поставить задачу и установить оптимальное соответствие между задачей и методом ее решения.

При постановке задачи может быть допущен некоторый про­ извол в записи модели движения космического объекта и урав­ нений измерения, в выборе состава измеряемых параметров и критерия качества решения задачи. Однако модель движения должна быть близка в определенном смысле к действительному движению космического объекта; состав измеряемых параметров и точность записи уравнений измерения должны обеспечивать получение достоверной измерительной информации, необходи­ мой для определения и анализа данного движения; критерий ка­ чества решения задачи должен обеспечивать получение оценок с требуемыми предельными свойствами. Таким образом, рамки допускаемого произвола являются вполне определенными. До­ статочными условиями правильности постановки задачи опреде­ ления и анализа движения являются рассматриваемые в этой главе качественные условия адекватности и наблюдаемости сис­

291

темы, состоящей из модели движения и уравнений измерения, и условие состоятельности критерия качества решения задачи.

Некоторые количественные показатели этих условий, а также различные требования, связанные с оптимальностью вычисли­ тельных методов решения задачи, лежат в основе планирования летного баллистического эксперимента. Заметим, что в данной главе рассматривается задача планирования эксперимента при заданной информации об условиях измерений. Эта информация может быть как полной, так и неполной. Задачи, связанные с определением статистических характеристик ошибок измерений и предъявлением точностных требований к измерительным сред­ ствам, ввиду своей специфики сюда не вошли.

Весь процесс планирования и взаимосвязь его этапов иллюс­ трируется на достаточно простом примере задачи определения элементов кеплеровой траектории движения космического объек­ та по измерениям радиовысотомера.

§ 11.1. ОБЩИЕ ИДЕИ И КРИТЕРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ

Основоположниками математической теории планирования эксперимента являются известный английский статистик Р. Фи­ шер и австрийский ученый Д. Нейман. Возникновение теории планирования относится к 40-м годам нашего столетия, а ее бурное развитие началось с 50-х годов.

Планирование эксперимента можно рассматривать как одно из направлений кибернетики. Одной из важнейших теоретических основ планирования следует считать математическую статистику.

Эксперимент в современных условиях в связи с его возрос­ шей сложностью и- материальными затратами становится объек­ том исследования. Если раньше математическая статистика ис­ пользовалась в работе исследователя только на последнем этапе — при обработке результатов измерений законченного опы­ та, то в последнее время наглядно показано, что эффективность опыта может быть 'значительно повышена, если использовать математическую статистику с самого начала работы эксперимен­ татора.

- Задачу планирования летного баллистического эксперимента можно сформулировать так: каким образом выбрать математи­ ческую модель движения космического объекта, как определить состав и программу измерений и как обработать их результаты с целью определения и анализа действительного движения кос­ мического объекта с требуемой точностью и минимальными за­ тратами.

Планирование эксперимента задает четкую логическую схему и оптимальные условия для всех этапов решения задачи, опреде­ ляет методику решения задачи. Методологическая концепция планирования существенно зависит от вида области науки или техники, к которой принадлежит проводимый эксперимент, и от

292

конкретных особенностей задачи. Однако существуют устойчи­ вые связи между этапами решения большинства задач в какой-то области. При решении задач экспериментальной космической баллистики типичная взаимосвязь этапов представлена на

рис. 11.1.1.

Критерии оптимальности решения задачи в теории планиро­ вания являются более общими, чем критерии оптимальности в теории оценивания, рассмотренные в гл. V и VII. Если в теории оценивания эффективность решения определяется только выбо­ ром статистического метода обработки результатов измерений, то в планировании эффективность, кроме этого, как видно из рис. 11.1.1, определяется еще выбором'модели движения косми­ ческого объекта, составом и программой измерений и т. п.

Рис. 11.1.1. Схема решения задачи определения и анализа дви­ жения

Наиболее естественным является оптимальное планирование на каждом из указанных этапов с точки зрения единого крите­ рия. В качестве такого критерия необходимо выбирать один из важнейших показателей испытываемого объекта. При определе­ нии и анализе движения оценочными критериями чаще всего яв­ ляются надежность или точность прохождения траектории кос­

задачу. Прежде всего следует выяснить, какие из этих парамет­ ров являются существенными.

Предположим, что о векторе параметров имеется полная или неполная априорная информация. Пусть, например, в первом

случае дано

q * ^ N { m q, Bq),

293

гой, — мерой его разброса. Поэтому в качестве показателей влия­ ния удобно выбрать в случае (11.1.1) величины

Легко видеть, что если предварительная информация о раз­ бросе вектора q относительно ожидаемого значения mqотсутст­ вует, то в качестве показателей влияния параметров служат только частные производные.

Разброс критерия р (#) относительно номинального значения P(/«q) в первом приближении характеризуется дисперсией

а относительное влияние каждого параметра определяется вели­ чиной

Если теперь, исходя из требуемой точности решения задачи, задаться малой положительной величиной б, то все параметры

которые удовлетворяют условию

следует считать существенными и включить их в число оценива­ емых параметров.

294

Вся информация о неизвестном векторе существенных пара­ метров q после проведения эксперимента заключена в плотности вероятностей его оценки, которая, вообще говоря, зависит от условий планирования эксперимента. Под условиями планирова­ ния эксперимента здесь понимается выбор модели движения X из заданного множества {Z}, выбор состава измеряемых функ­ ций Уе{У} и программы измерений U^ {U}, а также способа обработки измерений W ^ { W ) .

Введем в рассмотрение множество {Q} сложных элементов Q, представляющее собой прямое произведение указанных выше множеств. Обозначим плотность вероятностей вектора оценки

через pq(q)- Тогда в качестве критерия-оптимальности экспери­ мента можно выбрать вероятность нахождения оценки в задан­ ных пределах:

семейству нормальных распределений, точность вектора опенки можно характеризовать корреляционной матрицей

^ = « M Q ) ||,

элементы которой зависят от плана эксперимента. В этом случае в качестве критериев оптимального планирования эксперимента могут быть использованы различные скалярные характеристики матрицы. В теории планирования распространены следующие понятия оптимальности плана.

Л-оптимальность. План называется Л-оптимальным, если кор­

Этот план минимизирует среднюю дисперсию оценок парамет­ ров,- или величину диагонали прямоугольного параллелепипеда, описанного около корреляционного эллипсоида.

//-оптимальность. План называется D-оптимальным, если ему соответствует корреляционная матрица с наименьшим значени­

Этот план минимизирует обобщенную дисперсию оценок па­ раметров, или объем корреляционного эллипсоида.

295

Е-оптимальность. План называется ^-оптимальным, если мак­ симальное характеристическое число соответствующей ему кор­ реляционной матрицы минимально:

эллипсоида.

Следует заметить, что использование единогоtкритерия пла­ нирования на всех этапах решения задачи часто вызывает неиз­ меримые трудности даже для весьма простых задач. Поэтому под оптимальным планированием иногда условно понимают оп­ тимальное планирование на каждом этапе с точки зрения ра­ циональной системы не зависимых между собой и не противоре­ чащих друг другу критериев.

Вобщем случае математическая постановка задачи оптималь­ ного планирования имеет много общего с постановкой задачи отыскания экстремума функции на каком-то множестве элемен­ тов, подчиняющемся заданной системе ограничений.

Взависимости от способа достижения экстремальной точки различают статическое и динамическое планирование. В стати­ ческом планировании процесс достижения экстремальной точки планируется заранее, а в динамическом — во время прохождения эксперимента.

Взависимости от рода элементов множества различают ана­ литическое и комбинаторное планирование. В аналитическом планировании элементы множества могут принадлежать функ­ циональному или векторному пространству, а в комбинатор­

ном— они строятся специальным образом из нулей и единиц.

В зависимости от вида ограничений плана различают линей­ ное и нелинейное планирование. В линейном планировании огра­ ничения представляют собой систему линейных уравнений, в не­ линейном — нелинейных.

При решении задач экспериментальной космической баллис­ тики приходится иметь дело со всеми перечисленными разновид­ ностями планирования.§

§ 11.2. НАБЛЮДАЕМОСТЬ'

Прежде чем переходить к планированию по определению и анализу движения космического объекта по одному из критериев (11.1.7) — (11.1.10), рассмотрим одно важное условие, которое необходимо соблюдать при согласовании модели движения с из­ меряемыми функциями.

При совместном рассмотрении модели движения космическо­ го объекта и измеряемых функций возникает вопрос существова­ ния и единственности решения задачи определения вектора оце­ ниваемых параметров по вектору измеряемых параметров. Этот

296

вопрос имеет не столько математическую, сколько практическую ценность, так как в практике баллистического космического экс­ перимента уравнения движения и уравнения измерения' часто могут быть не согласованными между собой.

Условие, при котором существует единственное решение за­ дачи определения и анализа движения, называется условием на­ блюдаемости. Термин «наблюдаемость» был введен Р. Калманом. Им же получены критерии наблюдаемости для линейных систем. В ряде работ, к настоящему времени немногочисленных, описаны критерии наблюдаемости для нелинейных систем. В дан­

свойство модели движения и измеряемых функций. Определение. Система Х=У, составленная из уравнений дви­

жения и уравнений измерения на интервале времени [О, Т], на­ зывается наблюдаемой, если между множеством фазовых траек­ торий {*(/)} и множеством измеряемых функций {y(t)} сущест­ вует взаимно однозначное соответствие.

Проиллюстрируем это определение на простых частных слу­ чаях.

С л у ч а й 1. Пусть движение объекта описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений

если для дифференциальных уравнений выполнены условия тео­ ремы существования и единственности решения. Таким образом,

=1,..., п) существовали и были непрерывными на интервале [О, Т].

Сфизической точки зрения действительное движение косми­ ческих объектов реализуется всегда единственным образом, од­ нако модель, описывающая это движение, может вырождаться. Например, как замечено в гл. II, модель движения космического объекта относительно центра,масс, записанная с использованием углов Эйлера, может быть вырожденной. Вырожденной является модель движения в оскулирующих элементах для экваториаль­ ных орбит.

297

Из уравнений видно, что y{t) однозначно определяется через x(t). Для существования же обратного однозначного соответст­ вия между x(t) и y(t) необходимо, чтобы выполнялись условия теоремы существования неявных функций

yl— ul(xu . .. , х п; t) — 0 ( /= 1 ,..., п).

Таким образом, для наблюдаемости достаточно, чтобы Яко­

был невырожденным на интервале [О, Т]. Это условие необходи­ мо соблюдать при выборе состава измеряемых параметров и на­ значении характеристик модели измерения. Известно, например, что положение космического объекта в прямоугольной системе координат определяется однозначно по измерениям дальностей с трех измерительных пунктов в любой момент времени. Однако если измерительные пункты расположены в плоскости орбиты, то задача не решается.

В рассмотренных случаях размерность фазового пространст­ ва и пространства измерения была одинаковой. Это не обяза­ тельно.

С л у ч а й 3. Пусть движение объекта описывается системой

а измеряется только один l-й параметр

У1 = Щ { х 1, . .. , х п\ t).

Предположим, что для дифференциальных уравнений выполг няются условия теоремы существования и единственности реше­ ния. Тогда измеряемый параметр yi = yi{x........xn0; t), зависящий от п начальных условий, при некоторых предположениях можно рассматривать как решение какого-то обыкновенного дифферен­ циального уравнения и-го порядка

298

может быть приведено к системе уравнений в форме Коши

П

ес=1

Поскольку исходное уравнение и полученная система эквива­ лентны между собой, то между их решениями существует взаим­ но однозначное соответствие

Следовательно, вместо уравнений движения и уравнений из­ мерения мы можем рассматривать систему функций, построенных следующим образом:

У ^ ) = Щ л ( х о- • х п ; *);

и для наблюдаемости, как было показано в случае 2, достаточно, чтобы Якобиан

был невырожденным на интервале [0, Т].

299