книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

2

r * = © \

Системы уравнений (2.1.3) и (2.1.6) являются нелинейными моделями движения центра масс объекта, записанными в общем виде относительно опорных невращающихся и вращающихся систем координат. Общность этих моделей предполагает также наличие в числе управляющих и возмущающих воздействий F двух составляющих. Для первой из них считается известной за­ висимость от параметров движения и времени, для второй эта зависимость может быть неизвестна вообще или известна с неко­ торой степенью приближения, например, задана распределением вероятности.

2.1.2. Модель движения в основной экваториальной системе координат

Переходя к записи конкретных моделей движения центра масс космического объекта, выберем в качестве опорной связан­ ную с центром Земли основную экваториальную систему коор­ динат Ох1X2X3. При равномерном и прямолинейном движении Земли по орбите вокруг Солнца эта система координат является инерциальной. Будем считать, что по условиям решаемой задачи можно ограничиться учетом силы притяжения Земли, аэродина­ мической силы и тяги двигателя. В этом случае модель движе­ ния (2.1.3) примет вид

где г, v — радиус-вектор объекта и вектор скорости в основной экваториальной системе координат; Р, R — тяга двигателя и аэродинамическая сила;^* — вектор гравитационного ускорения, обусловленного несферичностью Земли.

Скалярную модель движения легко получить проектировани­ ем левых и правых частей векторных уравнений модели (2.1.7)

на оси Oxj (/= 1, 2, 3):

тора скорости v по осям основной экваториальной системы;

20

r = V x l + x lj - x l, •и = К'и? + 'У2 + 'Уз;

}j (/=1, 2, 3) — составляющие вектора ускорения

2.1.3. Модель движения в гринвичской экваториальной системе координат

Гринвичской экваториальной системой координат назовем правую прямоугольную систему координат Ох\*х2*х3*, начало ко­ торой помещено в центр Земли, ось Ох3* совпадает с осью враще­ ния Земли, ось Ох\* направлена в точку пересечения меридиана Гринвича с плоскостью экватора. Эта система координат враща­ ется с той же угловой скоростью 0 3, что и Земля. При записи модели движения центра масс объекта в гринвичской экватори­ альной системе координат в уравнениях (2.1.5) и (2.1.4) следует принять:

r 0= 0, w — 0, w = Q3=cons1, е= 0.

С учетом сказанного и принятых в п. 2.1.2 допущений о дей­ ствующих на объект силах модель (2.1.6) примет вид

где

gr** = gr* —Ц3 X (2 3 X г*).

Соответствующую модели (2.1.9) скалярную модель можно записать в виде

„•=Г(„;>ЧМ)ЧЩ)’. (Д)Ч(Д)Ч(^)!,

21

f f (/=1, 2, 3) — проекции ускорения

на оси той же системы.

2.1.4. Модель кеплерова движения

Модель кеплерова движения следует из модели (2.1.7) при допущении, что на космический объект действует лишь одна ос­ новная сила притяжения Земли. Тогда

г 3

Результат проектирования левых и правых частей векторных уравнений модели (2.1.11) на оси основной экваториальной сис­ темы Oxj (/ = 1, 2, 3) представляется системой скалярных урав­ нений

Хл

Н ) — г

Г 3

.. х 2

f t) ~ ~ г

г 3

( 2. 1. 12)

*1 Vi

х2 —

х3

г — \ ^ х \ - J - j cI ; " v = Y

Модель кеплерова движения может быть представлена в ко­ нечном виде. Непосредственное итегрирование уравнений (2.1.12) затруднительно. Интегралы исходных векторных уравне­ ний (2.1.11) проще получить, применяя теоремы о кинетическом моменте и кинетической энергии. Применение теоремы о кинети­ ческом моменте дает векторный интеграл уравнений движения вида

22

положение которой в пространстве не меняется. Абсолютная ве­ личина вектора с определяется по формуле

Объединение интегралов (2.1.13) и (2.1.15) приводит к из­ вестному уравнению траектории космического объекта в плос­ кости, определяемой вектором с,

где обозначения уже оговорены при записи формулы (1.3.2). Для полного описания кеплерова движения в пространстве элементы р и е дополняют другими элементами. К ним можно отнести, на­ пример, долготу восходящего узла П, наклонение орбиты i, ар­ гумент перицентра со*, время прохождения через перицентр т*, Система кеплеровых элементов орбиты, включающая П, i, со*, р. е и тя, не является единственно возможной. Существует большое число других полных систем элементов. Часто вместо фокального параметра р используют большую полуось

вместо большой полуоси в систему включают оскулирующий пе­ риод обращения

3

Wo

а вместо времени т* прохождения через перигей часто использу­ ют значение средней аномалии в заданный момент времени

где to — некоторый заданный момент времени;

23

Ео — соответствующее этому времени значение эксцентриче­ ской аномалии, связь которой с истинной аномалией вы­ ражается формулой

аIT

го объекта по орбите.

Указанные полные системы кеплеровых элементов орбиты не всегда оказываются удобными. Некоторые из элементов этих систем (оь при е->0, П при г->0) теряют физический смысл, что указывает на возможность описания движения объекта в упомя­ нутых случаях меньшим числом параметров. В связи с этим Лагранж для почти круговых орбит предложил использовать систему элементов

Q, i, k, a, h, М х,

где &= ecos<i)x; h = e sin иц; М х = тк~\-М0,

а для»почти круговых орбит, но расположенных в экваториаль­ ной плоскости, системы

J\42=<лжЧ- 2 -j- M0.

Представляет также интерес для описания кеплерова движе­ ния использовать составляющие с\, с%, с3 и Ль Лг, Лз векторов с, Л по осям основной экваториальной системы координат. Помимо рассмотренных полных систем элементов, в небесной механике используются канонические системы элементов орбиты, напри­ мер, система Якоби, Делоне, первая и вторая системы элементбв Пуанкаре [25, 57, 58].

2.1.5. Модель движения в оскулирующих элементах

Для модели кеплерова движения элементы орбиты остаются постоянными. При действии возмущений реальная орбита отли­ чается от кеплеровой. Для удобства исследований возмущенного движения космического объекта каждой точке реальной орбиты можно поставить в соответствие кеплерову орбиту, которая име­

24

ла бы место, если бы начиная с этой точки движение оказалось невозмущенным кеплеровым движением. При этом предполага­ ется, что в рассматриваемой точке реальная и кеплерова орби­ ты имеют общий радиус-вектор г и общий вектор скорости V. Кеплерова орбита, отвечающая данной точке реальной орбиты в указанном выше смысле, называется оскулирующей орбитой, а

ее элементы Q(0 >i(0 >“ 4 0 >/4 0 >£(0 >** (0 , теперь уже зави­ сящие от времени, — оскулирующими элементами орбиты. Для

установления характера изменения оскулирующих элементов при изменении времени t (или какой-либо другой независимой переменной) составляют систему дифференциальных уравнений в оскулирующих элементах. Для указанных выше элементов мо­ дель движения при независимой переменной t имеет вид [57]

Р = 2г / Х;

e — f r smb -\- cos &-]-(e i~ cos ft)— / х;

i = — ■f u cos u\

P

2 = — / sin« cosec i;

/ г,/т>/и — соответственно проекции возмущающего ускорения на продолжение радиуса-вектора г, на трансверсаль в плоскости

25

невозмущенной орбиты и на направление, перпендикулярное плоскости невозмущенной орбиты.

Удобной формой модели в спекулирующих элементах являет­ ся модель вида [2]

где fj (/= 1, 2, 3) — проекции возмущающего ускорения на оси основной экваториальной системы координат; Cj, Aj (j = 1, 2, 3) — составляющие векторов с и Л по осям той же системы.

В число уравнений модели (2.1.22) должно быть включено также уравнение для кинематического элемента; в качестве ко­ торого для эллиптических орбит может быть использовано вре­ мя т* прохождения через перигей, для круговых — время т * прохождения заданного аргумента широты и0.

2.1.6. Другие нелинейные модели движения

Помимо рассмотренных выше моделей движения, распростра­ нены модели в прямоугольных объектоцентрических системах координат (начало этих систем в центре масс объекта) и топоцентрических (начало систем на поверхности Земли). Кроме прямоугольных, используются криволинейные координатные, системы — цилиндрическая и сферическая. Модель (2.1.11) кеплерова движения в цилиндрических кординатах запишется в виде

зуемый этой проекцией с положительным направлением оси Охь

26

§2.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС

2.2.1. Общий вид нелинейных моделей движения

Для записи общего вида модели движения космического объ­ екта относительно центра масс воспользуемся теоремой о момен­ те количества движения

М — главный момент внешних сил, действующих на космический объект.

Движение космического объекта относительно центра масс обычно рассматривается во вращающихся системах координат. Для вращающихся систем вместо уравнения (2.2.1) используют уравнение

где К* — производная момента количества движения во враща­ ющейся системе координат, а оа — вектор абсолютной угловой скорости вращающейся системы координат.

Основная цель экспериментального изучения движения отно­ сительно. центра масс заключается в определении ориентации космического объекта в пространстве. Поэтому в качестве вра­ щающейся системы координат выбирают связанную с объектом

27

систему Sxi:x21x31, начало которой лежит в центре масс косми­ ческого объекта (рис. 2.2.1). Спроектируем векторное равенство’ (2.2.2) на оси связанной системы координат. Предварительно заметим, что проекции К\1, Кзх, К31 вектора К момента количе­ ства движения на оси связанной систе­

мы могут быть представлены в виде

Диагональные элементы матрицы (2.2.4) называются момен­ тами инерции объекта относительно осей связанной системы, не­ диагональные (взятые со знаком минус)— центробежными мо­ ментами инерции. В общем случае составляющие тензора инер­ ции изменяются вместе с изменением распределения массы по отношению к принятой системе осей. Исключением является космический объект как абсолютно твердое тело. Если оси свя­ занной системы совпадают с. главными центральными осями инерции, то матрица инерции (2.2.4) является диагональной:

а элементы 7ц, / 22, / зз называются главными центральными мо­ ментами инерции. С учетом сказанного для космического объек­

та j<aK твердого тела проекции уравнения (2.2.2) на оси связан­ ной системы запишутся в виде

28

ний, получим динамические уравнения движения космического объекта относительно центра масс в проекциях на оси связанной системы

где Aj~l — матрица, обратная по отношению к матрице инерции Aj. К динамическим уравнениям (2.2.3) необходимо присоеди­ нить кинематические уравнения, которые устанавливают связь между параметрами, определяющими ориентацию объекта в опорной системе, и угловой скоростью вращения связанной си­ стемы. При записи кинематических уравнений для вращающих­ ся систем координат необходимо иметь в виду, что абсолютная угловая скорость

2.2.2. Первая форма кинематических уравнений

Рассмотрим наиболее часто используемые кинематические уравнения, являющиеся составной частью любой нелинейной мо­ дели движения космического объекта относительно центра масс. Будем считать, что опорная система координат Ох\ХчХЪявляется инерциальной. Определим положение осей связанной системы относительно инерциальной тремя углами Эйлера (рис. 2.2.2):

—нутации б (О ^ б ^ л );

—прецессии v(0^ v ^ 2n);

—чистого вращения ф(0^ ф ^ 2я ) .

29