книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

Статистические свойства оценок неизвестных параметров мо­ делей движения космических объектов, получаемых при наличии ошибок измерений в опытных значениях координатных функций по рассмотренным выше линейным алгоритмам, в общем случае хуже свойств тех же оценок, получаемых с помощью обобщенно­ го критерия оптимальности оценок р(<?). Однако при некоторых условиях эти свойства могут быть достаточно близкими. Вопрос о возможности применения линейных алгоритмов к решению за­ дач оценки параметров при наблюдении с ошибками значений координатных функций должен решаться отдельно в каждом конкретном случае. Решение может быть принято на основе сравнительного анализа статистических характеристик оценок ' неизвестных параметров, получаемых по линейному и по нели- . нейному алгоритмам. Эти характеристики могут быть либо рас­ считаны аналитически по формулам оценки точности, либо по выборкам оценок при машинном моделировании предстоящего

эксперимента.

Рассмотрим, например, задачу оценки по результатам изме­ рений стационарных параметров линейного регулятора системы регулирования кажущейся скорости (РКС). Закон регулирова­ ния, т. е. уравнение модели линейного регулятора системы РКС, может быть записан следующим образом:

^oc¥ p + 8lAP~ a0^W,T.p.C’ [8.6.21)

где брр=брр( /) — регулирующее воздействие системы РКС, яв­ ляющееся изменением суммарного секундного весового расхода компонентов топлива; 6аУд.р .с= бшд.р.с( /) — рассогласование ка­ жущейся скорости, измеренное в направлении оси чувствитель­ ности датчика рассогласования кажущейся скорости (ДРС); Гос— статический коэффициент усиления системы РКС; а0— постоянная времени регулирования.,

Проводимыми в процессе испытаний синхронизированными' измерениями доставляются значения в дискретные моменты вре­

мени ti (i= l, 2, ..., N) функций б|Лр(/), бцр(0 и 6шд.р.с(0- Оцен­

ке подлежат статический коэффициент усиления а0 и постоянная времени регулирования Т0с.

Нетрудно видеть, что равенствами

¥Р{t)=x{t)\

—84 .p .cW = 5 ? (С;

Тос —- а| , а0— &2

уравнение (8.6.21) работы линейного регулятора системы РКС

приводится к виду

240

Равенство (8.6.22) является частным случаем линейного от­ носительно вектора оцениваемых параметров уравнения модели движения космического объекта (8.1.1), если положить в послед­ нем р = 2 и s = 0. Поэтому решить задачу оценки по результатам измерений параметров линейного регулятора системы РКС мож­ но с помощью либо критерия оптимальности оценок а (а'), опре­ деляемого равенством (8.3.7), либо алгоритма (8.6.18), получен­ ного выше.

Запишем для сравнения оба указанных алгоритма решения поставленной задачи в предположении, что ошибки измерений регулирующего воздействия системы РКС и рассогласования кажущейся скорости равноточны в каждом из измерительных ка­ налов и независимы в совокупности.

В применении к уравнению модели вида (8.6.22) критерий оптимальности оценок а (а') приводит к следующей статистике для вектора оценок:

« H K a 2|f;

® = 1^ 11^2- • • ‘^ л г 1Г;

w x= \ w nwn . . .tt'uvf;

w 2= \ w 2lw22. . .W2N f;

2

UK'= || i a>2|; Id 38, 0 2

0

a Я— наибольший действительный корень уравнения

Введем следующие статистики, упрощающие запись и прак­ тическое применение записанного алгоритма:

241

N

S 1= v Tv = ^ v 2i;

i = 1

Л г

S 2= w r1w 1= ^ (=1

N

S3— w lw 2= V ®2i-; /=i

N

SA= w]v—Sw uVi;

г = 1

N

S s= w lv = '2i w2iv l; t-i

N

5 6 = w lw 2 = 2® ii® «- г=1

С помощью этих статистик векторное равенство (8.6.23) пу­ тем несложных преобразований может быть приведено к следую­ щей системе двух скалярных равенств:

Сравнение (8.6.24) для определения X, входящего в выраже­ ние для т и являющегося наибольшим действительным корнем этого уравнения, с использованием введенных статистик S& (£ = = 1, 2, ..., 6) приводится к следующему каноническому виду:

242

Применение для решения задачи оценки параметров линей­ ного регулятора системы РКС формулы (8.6.16) приводит к сле­ дующему результату:

Нетрудно видеть, что статистики (8.6.25) и (8.6.27) для оце­ нок параметров линейного регулятора системы РКС совпадают с точностью до замены т на N и наоборот. Это указывает на тесную связь между оценками.неизвестных параметров линейной модели космического объекта, получаемыми с помощью крите­

Моделирование на ЭВМ процессов получения и обработки измерительной информации указывает на достаточно хорошее совпадение статистических свойств оценок параметров в рассмат­ риваемой задаче.. Результаты моделирования приведены в табл. 8.6.1.

В этой таблице помещены выборочные математические ожи­ дания и дисперсии оценок Тос и а0 параметров Тос и а0 линейно-

243

тистических характеристик оценок неизвестных параметров, рассчитываемых по этим формулам, обозначены соответственно

I и И.

При моделировании точные значения постоянной времени ре­ гулирования и статического коэффициента усиления системы РКС были приняты следующими:

Рассогласование кажущейся скорости принято в приведенном примере изменяющимся по квадратичному закону в функции времени. Средние квадратические отклонения измеренных значе­ ний от измеряемых величин взяты равными 10% максимальных значений последних. Закон распределения ошибок измерений нормальный.

Анализ данных таблицы показывает, что выборочные стати­ стические характеристики оценок параметров линейного регуля­ тора системы РКС, определяемых с помощью критерия опти­ мальности оценок а (а') и модифицированным методом макси­ мального правдоподобия регрессионного анализа, практически совпадают. Поэтому для этой задачи алгоритм (8.6.27) как более простой предпочтительнее, по-видимому, алгоритма (8.6.25).

Во всех случаях рассмотренные в настоящем параграфе ли­ нейные алгоритмы расчета оценок неизвестных параметров мо­ гут быть применены для определения оценок нулевого прибли­ жения.

§8.7. СПОСОБ СТАТИСТИК ВАЛЬДА

Висследованиях Вальда [40] рассматривается способ опреде­ ления оценок неизвестных параметров модели процесса, имею­ щей вид (8.5.35). В условиях, когда ошибки измерений незави­ симы в совокупности и одинаково распределены в каждом из из­ мерительных или информационных каналов, предлагается

следующий способ определения оценок а и Ь параметров а и Ь. Вводятся вспомогательные статистики:

(8.7.1)

Для удобства число опытных точек N взято четным:

' N = 2т.

244

(8.7.3), являются состоятельными. Большим достоинством этого способа расчета оценок является то, что статистики для их опре­ деления относятся к типу разностных. Это особенно важно, если ошибки измерений имеют сингулярную составляющую.

Большой практический интерес представляет вопрос о воз­ можности распространения способа статистик Вальда на случай многопараметрического оценивания, т. е. когда р> 1 и ^ s > 1. В этой связи необходимо-установить принцип, заложенный в ос­ нову рассмотренных выше статистик, поскольку этот принцип может быть использован при построении аналогичных статистик в многопараметрических случаях оценивания.

Одним из возможных обоснований принципа построения ста­ тистик Вальда может быть следующее.

Поскольку статистика для а есть отношение статистик для

а2 и d\, последние можно представить в виде

тN

Величины Wi и щ могут быть интерпретированы как коорди­ наты опытной точки, полученной при измерении с ошибками ко­

Тогда слагаемым в правых частях равенств (8.7.4) может быть придан следующий геометрический смысл:

245

N

точку L\, являющуюся средней точкой первой половины опытных точек, a w%и г;2— соответственно точку _L2, являющуюся средней точкой второй половины опытных точек (рис. 8.7.1).

Рис. 8.7.1. Геометрическая интерпретация способа статистик Вальда

Нетрудно видеть, что оценки а и Ъ, определяемые формулами (8.7.2) и (8.7.3), есть не что иное, как параметры прямой, имею­ щей уравнение

х— а%-\- Ъ

ипроходящей через средние опытные точки Ъ\ и Г2:

a = tga = а2

ах

246

Глава LX. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПО ВЫБОРКЕ ИЗМЕРЕНИЙ ФИКСИРОВАННОГО ОБЪЕМА

Уравнения правдоподобия (см. гл. V и VII) в общем случае являются нелинейными относительно оцениваемых параметров. Нелинейные уравнения оценок получаются даже для некоторых видов линейных моделей движения, рассмотренных в § 6.6 и 8.3.

Процесс решения нелинейных уравнений имеет много общего с поиском экстремума некоторой функции. Стратегии поиска экс­ тремума функции можно разделить на два вида: случайные и детерминированные. Поиск, стратегия которого является полно­ стью детерминированной (не содержит элементов случайности) при проведении всех экспериментов по отысканию экстремума, называется детерминированным. Поиск, стратегия которого со­

держит элементы случайности, называется случайным (или ста­ тистическим).

В свою очередь как случайные, так и детерминированные стратегии подразделяются на два вида: пассивные и последова­ тельные. Поиск, в котором стратегия проведения всех экспери­ ментов по отысканию экстремума определяется заранее и не из­ меняется в процессе проведения опытов, будем называть пассив­ ным (непоследовательным). Поиск, стратегия которого строится с учетом использования информации, получаемой в процессе проведения опытов, будем называть последовательным.

Таким образом, имеем следующую классификацию методов поиска:

—пассивные случайные;

—последовательные случайные;

—пассивные детерминированные;

—последовательные детерминированные.

Вэтой классификации методы располагаются примерно в по­ рядке возрастания их эффективности, под которой в данном слу-

248

чае может пониматься время поиска или объем необходимой па­ мяти ЭВМ. В первой группе методов почти не используется ин­ формация о свойствах^ исследуемой функции и информация о самом процессе поиска. Во второй и третьей группах методов соответственно используется информация или о процессе поиска, или о свойствах исследуемой функции. В последней группе ис­ пользуется информация обоих видов. Учет какой-то информации при построении алгоритмов естественно позволяет повысить их эффективность, т. е. сократить время поиска экстремума, но об­ щность алгоритмов при этом также естественно уменьшается, т. е. сужается область их применимости.

В этой главе рассматриваются типичные представители раз­ личных групп методов* которые наиболее полно иллюстрируют проблемы, возникающие при решении нелинейных уравнений оценок. В ряде задач оценивания линейных моделей движения, рассмотренных в гл. VI и VIII, записаны линейные алгебраиче­ ские уравнения оценок. В случае большой размерности вектора оцениваемых параметров решение таких уравнений является не простым делом, поэтому в § 9.5 приводятся некоторые сведения о методах их решения. Изложение каждого метода обычно начи­ нается с одномерного случая и затем дается обобщение на мно­ гомерный поиск. Дается краткая сравнительная характеристика методов.

§9.1. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

Кпассивным случайным методам поиска экстремума функ­ ции относится ненаправленный случайный поиск. Иначе его на­ зывают методом Монте-Карло.

Стратегия поиска этим методом определяется заранее и за­

наименьшее (или наибольшее)

значение из всех возможных. Этим свойством обладают как уни­ модальные, так и многоэкстремальные функции самого общего вида, не обязательно дифференцируемые или непрерывный. Отсюда следует, что область использования метода Монте-Карло почти не ограничена.'

249