Корреляционной матрицей B q случайного вектора д*, |
по оп |
ределению, является матрица вида |
|
|
B q= M [ h f b g * T], |
|
(7.6.1) |
которая может быть получена из равенства |
(7.5.7). Умножив его |
почленно на равенство вида |
|
|
f i g , z*)= — %g*TQT (д, |
z*), |
(7.6.2) |
являющееся транспонированным по отношению к (7.5.7)', по лучим
f i g , г*)f { g , z*)=Qig, г ' ) Ф П г (д, г*). |
(7.6.3) |
Отсюда с точностью до членов высших порядков малости сле
дует, что |
|
. M[f(q, z * ) f ( q , z*)} = Q(q)M[bq*bf\QT(q). |
(7.6.4) |
Введем следующее обозначение: |
|
G{g) = M [ f { g , z * ) f ( g , г*)]. |
(7.6.5) |
Элементы матрицы G(g) представляют собой математиче ские ожидания произведений различных компонент векторной функции f{ g, z*)\
g„= M[ fii Q , |
г*)]. |
(7.6.6) |
Нетрудно видеть, что матрица G[g)— симметричная. С по мощью введенной матрицы G(g) выражение для корреляцион ной матрицы оценок B q может быть записано из (7.6.4) следую щим образом:
T ^ Q - ^ J O ^ I Q 1^ ) ] - 1. |
(7.6.7) |
Из формулы (7.6.7) следует, что для расчета корреляционной матрицы вектора оценок необходимо в общем случае. знание точного значения вектора оцениваемых параметров д. По смыс лу задач экспериментальной космической баллистики это зна чение неизвестно ни до опыта, ни после его проведения. Оценку
B q корреляционной матрицы B q можно получить, если вместо точного значения вектора оцениваемых параметров д подставить
в (7.6.7) его оценку д , полученную при обработке опытных дан ных:
(7.6.8)
Рассмотренная методика получения корреляционной матри цы оценок является достаточно простой и универсальной и дает вполне приемлемые для практического использования резуль таты.
Гл а в а VIII. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ НАЛИЧИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ В ОПЫТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ
1
В предыдущей главе было получено общее выражение для функции правдоподобия в задачах оценки параметров моделей движения космических объектов при наличии ошибок измерений в опытных значениях координатных функций. Функция правдо подобия была записана при достаточно общих предположениях о виде модели движения космического объекта и о законе рас пределения случайного вектора ошибок измерений. По этой при чине результаты предыдущей главы могут рассматриваться как основа для получения конкретных алгоритмов решения задач оценки параметров, встречающихся в практике эксперименталь ной космической баллистики.
Большой класс задач оценки параметров составляют такие, в которых вектор оцениваемых параметров входит в уравнение модели движения космического объекта линейно. Такие модели движения являются в экспериментальной космической баллис тике основными. В большинстве случаев к ним путем линеари зации могут быть приведены и нелинейные модели. Важное преимущество линейных моделей движения заключается в том, что для оценки их параметров могут быть получены сравнитель но простые алгоритмы, очень часто конечные.
Рассмотрению алгоритмов оценивания параметров такого класса моделей движения космических объектов посвящена на стоящая глава. Здесь, как и в предыдущей главе, полагаем, что опытные значения части координатных функций содержат ошиб ки измерений, поэтому основой для получения этих алгоритмов является общее выражение для функции ,правдоподобия, полу ченное в этой главе.
Вектор ошибок измерений принят распределенным по нор мальному закону с нулевым вектором средних значений и изве
стной корреляционной матрицей. Такое допущение об условиях эксперимента является в экспериментальной космической бал листике общепринятым и здесь принимается без дополнительных
обоснований.
Кроме алгоритмов оценивания параметров модели движения космического объекта, основанных на применении к решению задач оценки параметров при наличии ошибок измерений в опытных значениях координатных функций метода максималь ного правдоподобия, в настоящей главе обсуждаются и некото рые другие алгоритмы. Эти алгоритмы основаны на модифика ции алгоритмов оценивания параметров при точно заданных значениях координатных функций. Рассматривается также воз можность применения для оценки параметров моделей движения космических объектов способа статистик Вальда.
§8.1. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ, СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТА
ИОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ
Уравнение модели движения космического объекта, линейное относительно вектора оцениваемых параметров, может быть за писано в следующем виде:
|
|
Р |
|
|
|
|
х (Л= 2 ?А ( 0 + 2 |
Ь + Л (0, ' |
|
(8.1.1) |
где x(t) — ордината |
модели движения; %j(t) и |
— ее |
коор |
динатные |
функции; |
<7j — постоянные |
параметры |
модели |
дви |
жения. |
|
|
|
|
|
Значения ординаты модели движения и координатных функ |
ций lj(t) |
(/= 1, 2, ..., |
р) в дискретные моменты времени U (г'=1, |
2, ..., N) доставляются проводимыми в процессе эксперимента измерениями/а значения в те же моменты времени координат ных функций (/= 1, 2, ..., s) известны точно.
Измеренные значения ординаты модели движения и коорди натных функций tj(t) содержат аддитивные ошибки измерений. Вектор ошибок измерений h* удобно представить в виде матри цы-столбца ciV (p+l) элементами:
, ( 8. 1.2)
где е* — подвектор вектора h*, содержащий своими элементами случайные ошибки измерений, имеющие место при измерении в моменты времени ti значений х* ординаты модели движения x{t):
# II * * |
* 1|т |
1 |
(8.1.3) |
®—I] е1$2. • • £лч| |
а б* — подвектор вектора Н*, содержащий своими элементами случайные ошибки измерений, имеющие место при измерении в те же моменты времени значений координатных функций мо дели движения £ j(0 :
|| 3iT ЗГ i |
- • - |
(8.1.4) |
$*) = 118Л3/2 • • • |
1 |
(/= 1 , 2, |
. .., р). |
Корреляционная матрица Ви вектора h* содержит своими элементами дисперсии ошибок измерений, а также изохронные изоканальные и перекрестные корреляционные моменты связи между ошибками измерений:
В принятых обозначениях выражение для плотности вероят ностей случайного вектора Л*, распределенного по нормальному закону с нулевым вектором средних значений, имеет вид
П |
1 . |
|
/?(A*) = (2 itf Т | 5 ЛГ У ехр(|— -Хк * тВ н 1к ^ , |
(8.1.6) |
где n — N(p+ 1) — размерность случайного вектора Л*.
Вектор q неизвестных* постоянных параметров |
модели дви |
жения удобно разбить на два подвектора: |
|
q = \\aT\bx\\. |
(8.1.7) |
Компонентами подвектора а вектора q являются постоянные параметры модели движения, служащие в ее уравнении множи телями при координатных функциях \j(t) :
а = \ а га2 . . . ар ||т,
а компонентами подвектора & вектора q — постоянные парамет
ры модели движения, служащие |
в ее уравнении множителями |
при координатных функциях |
|
|
& H IM 2 |
М т- |
Компоненты qj вектора q(j=U |
2, ..., р, р+ 1, ..., p + s) связа |
ны с компонентами Cj и bj |
векторов а и Ь следующими очевид |
ными равенствами: |
|
|
Q\— ai> |
Qp+\~bi > |
q |
qp+2 ~ b 2, |
ЯР*=аг |
qP+s= bs- |
В этих обозначениях компонент вектора оцениваемых пара метров уравнение модели движения (8.1.1) примет вид
х + := 2 |
00+ 2 |
+• |
(8.1.8) |
J-1 |
7 = 1 |
|
|
В практике обработки результатов измерений могут иметь место различные частные случаи линейной относительно вектора оцениваемых параметров модели движения (8.1.8). Так, при s = = 0 получается уравнение модели движения вида
* 0 0 = 2 + ^ ’ |
(8.1.9) |
7=1 |
|
характерной особенностью которой является то, что опытные значения всех входящих в нее координатных функций достав ляются проводимыми в процессе эксперимента измерениями и содержат, следовательно, ошибки измерений. При р = 0 модель движения (8.1.8) принимает вид
* + = 2 V 0 ( + |
(8.1.10) |
7 = 1 |
|
Особенностью этого частного случая является то, что значе ния в точках U всех входящих в нее координатных функций из вестны точно. Задача оценки параметров с уравнением модели движения вида (8.1.10) является обычной линейной задачей регрессионного анализа. Эта задача рассмотрена в гл. VI.
Очевидно, что наиболее общей является линейная ’ модель движения космического объекта вида (8.1.8). Частными случая ми алгоритма решения задачи оценки параметров с моделью движения вида (8.1.8) будут алгоритмы решения задач оценки параметров с моделями движения вида (8.1.9) и (8.1.10).
§8.2. ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ
СРАЗЛИЧНЫМИ ВЕСОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Впредыдущей главе было показано, что для получения функ ции правдоподобия необходимо записать плотность вероят ности вектора измерений г. Эта плотность вероятности может
быть получена из выражения (8.1.6) для плотности вероятно стей случайного вектора ошибок измерений h*. Реализация век тора п В проведенном эксперименте может быть выражена че
рез вектор измерений z и вектор измеряемых величин t |
следую |
щим образом: |
1 |
h = z — ls. |
(8 .2 .1 ) |
Подстановка (8.2.1) в (8.1.6) дает выражение для плотности вероятности реализации z случайного вектора г*, т. е. для плот ности вероятности измерительной информации, полученной в проведенном эксперименте:
p{Z, £) = (2я) В , ехр ~ ( г - ф В й 1{ г - Ъ 5.2.2)
Выражение (8.2.2) определяет значение плотности вероятно сти вектора измерений z при фиксированном значении измеряе мого вектора £. Для записи функции правдоподобия необходимо иметь плотность вероятности ведтора измерений z, выраженную
через вектор оцениваемых параметров q |
и вектор |, компонен |
тами которого являются точные значения |
в моменты време |
ни ti координатных функций %j(t). Этого можно достичь, если записать через векторы q и %вектор измеряемых величин
Для выражения вектора £ через векторы q и \ воспользуемся уравнением модели движения в виде (8.1.8). Это уравнение, за писанное для каждого из моментов времени ti, дает следующую систему равенств:
7 - 1 • 7 - 1
*2= 2 ^ 7 2 + 2 & ;V > |
(8.2.3) |
7 - 1 |
7 = 1 |
|
РS
*N = 2 ar)N+ 2
В левых частях равенств (8.2.3) стоят компоненты подвекто ра х измеряемого вектора £. Правые части этих равенств пред ставляют собой выражения компонент подвектора х измеряемо го вектора £ через компоненты векторов и §, введенных ранее, а также вектора ф, который введем равенством
ф = |
II ф! j фг I ■• • [ф*Г, |
' |
(8.2.4) |
где ф;- = I ф;-{ф;2 . . . фду||т- |
(7 = 1,2, . . . , s). |
|
|
Из (7.3.3) следует, что второй подвектор измеряемого векто ра £ равен вектору £ и не зависит от вектора оцениваемых па раметров q .
Для записи вектора £ через векторы q и %введем следующие
матрицы: |
|
A e = \ A \ E Np\, |
(8.2.5) |
5 0= | | Я | О лг*хлгЛ , |
I8-2-6) |
где А — прямоугольная матрица, имеющая Np строк и N столб цов;
а\e n
^а2En
apEN
В — прямоугольная матрица, имеющая Ns строк и N столб цов;
b,EN
N
ENp — единичная матрица порядка Np; Ошх Np — нулевая мат рица, имеющая Ns строк и Np столбцов. В выражениях для матриц Л и В EN— единичная матрица порядка N.
С помощью введенных матриц АЕ и В0 измеряемый вектор £ может быть записан через векторы q , \ и г): следующим образом:
Вектор | входит в выражение для измеряемого вектора £ в- явном виде, компоненты же вектора q — через элементы матриц Ае и В0. Равенство (8.2.7) позволяет записать плотность вероят
ности вектора измерений 2 при фиксированных значениях векто ров q и \\
__п_ _ 1 |
|
р ( г , Ъ, д) = {2п) 2 \ B h\ |
2 Х |
|
Хехр - ± ( z - A U - В Ц у ВТг1{2- |
A l l - ВЦ) |
(8. 2.8) |
Плотность вероятности векторам в виде (8.2.8), подставлен ная в выражение (7.3.6), дает возможность получить функцию правдоподобия в задачах оценки параметров линейной относи тельно вектора оцениваемых параметров модели движения при
наличии ошибок измерений в опытных значениях координатных функций:
|
—JL |
_ 1_ |
|
L{q') = k(2л) 2 |
\B h\ |
2 X |
X ) exp |
(«г ~ ЛИ - £5ф)т |
1(г - |
Ля§ - Bl$) ?(S. |
Z |
|
|
|
(8.2.9)
В выражении (8.2.9) ЖЕ и Во— матрицы АЕ и Во, в которых элементы, являющиеся компонентами вектора оцениваемых па раметров <7, заменены одноименными компонентами вектора варьируемых параметров функции правдоподобия:
а е —. а е \q = q>,
&'т|т;
а' —\а[а'2 *'•= \\Ь'А ■■■*;г-
Параметры а / и 6 / — варьируемые параметры функции правдоподобия. В зависимости от их значений меняется и зна чение функции правдоподобия. Те значения варьируемых пара метров, при которых функция правдоподобия принимает наи большее свое значение, являются максимально правдоподобны ми оценками неизвестных параметров.
Равенство (8.2.9) может быть принято в качестве исходного для получения функций правдоподобия с различными весовыми функциями ф (|, q ).. Подставив в это выражение весовую функ цию конкретного вида и взяв интеграл в правой его части, полу чим функцию правдоподобия, соответствующую взятой весовой функции.
Подстановка в (8.2.9) равномерной весовой функции (7.4.1) приводит к следующему выражению для функции правдоподо
бия: |
|
П ‘ |
1 |
|
|
|
|
|
Lc{q') = k{2n)~T \B h\ ' T X |
|
Х<?с ^ехр[ |
^ |
~ |
— 5оф) d Z,' |
(8.2.10) |
>7 L |
|
|
|
|
где Lc(q') — функция |
правдоподобия, |
соответствующая |
равно |
мерной весовой функции.
Интеграл в правой части (8.2.10) представляет собой много мерный поверхностный интеграл первого типа по поверхности, являющейся гиперплоскостью в N ( p + 1)-мерном пространстве. Для нормального закона распределения вектора ошибок изме рений Л*область Z возможных значений измеряемого вектора g
представляет собой непрерывное множество векторов £, удовле
творяющих своими компонентами равенству (8.2.7). |
Перемен |
ными интегрирования являются компоненты вектора |
При нор |
мальном распределении вектора ошибок измерений пределы ин
тегрирования по переменным интегрирования |
(/=1, 2, |
р; |
t = l, 2, ..., N) |
должны быть взяты от —оо до + оо. |
|
Опустив |
здесь кропотливые выкладки по |
взятию интеграла |
в правой части (8.2.10), запишем выражение для функции прав доподобия в задачах оценки параметров линейной относительно вектора оцениваемых параметров модели движения при наличии ошибок измерений в опытных значениях координатных функций с равномерной весовой функцией. Это выражение имеет вид
П1
Lc (q') = k ( 2 л Г Т I Bh\ Т I А е АЪ 11АеВ н1Ае \ X
X exp |
(г - |
В г4 ) г [Bi;xA \ { A EB-hlA l Y lA EBi;1- Я *1] X |
|
|
Х ( г - З Д } . |
(8.2.11) |
Аналогичным |
образом с использованием выражений |
(7.4.3) |
и (8.2.9) может быть получено выражение для функции правдо подобия в рассматриваемых задачах оценки параметров с веро ятностной весовой функцией. Эта функция правдоподобия имеет вид
Lp{q') = k{2n) %\ B h\ 2 \ а еА те \ AEB ^ A l \ X
X ехр {(г - ВЦУ [ВЙ1А ТЕ(АЕВ ^ А ] ;У 1АЕВ ^ - |
В й t] X |
X ( г - 5 о ф ) 1 , |
( 8 . 2 . 1 2 ) |
где Lp (q) — обозначение функции правдоподобия с вероятност ной весовой функцией.
Проще всего получается функция правдоподобия L6 (q ') с весовой функцией вида (7.4.2), т. е. с весовой дельта-функцией. После подстановки этой весовой функции в общее выражение для функции правдоподобия (8.2.10) интеграл в правой части получившегося выражения в силу фильтрующего свойства дель та-функции равен подынтегральному выражению, в котором век тор § заменен вектором
L t |
( q |
' , & = & ( 2я) 2 \ B h\ 2 ехр [ - - ^ Ы |
ЕВЙ1АЙ^ ~ |
- ^ ¥ \ |
В |
н 1А}£\ + г ' В н 1А}£ъ + г ' Щ - ф В ъ В й |
' А Е £ ь . (8.2.13) |
Функция правдоподобия L6(#', Is'), определяемая равенством (8.2.13), содержит два вектора варьируемых параметров: q' и %&'■ Вектор варьируемых параметров определяется равенст вами:
& |
si: 562 |
• 15УГ; |
|
|
5/ЛЧ! |
0 = 1 , 2, . . . . |
р). |
?6 j - — О§ 8 Д § 5 / 2 • • • §8. |
|
|
Наличие в функции правдоподобия L6(q',%6') |
вектора варьи |
руемых параметров |в/ |
вызвано |
тем, что при |
подстановке в |
(8.2.9) в качестве весовой дельта-функции область Z возможных значений измеряемого вектора % становится состоящей всего из одного вектора %{,, компонентами которого являются точные зна
чения в моменты времени ^ координатных функций |
По |
этой причине вектор ^ при интегрировании не исчезает, |
а ста |
новится векторным параметром функции правдоподобия. Это означает, что компоненты вектора |а подлежат оценке наряду с компонентами вектора неизвестных параметров модели движе ния Q. За оценку максимального правдоподобия вектора при нимается такое значение вектора варьируемых параметров функции правдоподобия %в', при котором эта функция прини мает наибольшее свое значение, причем варьирование парамет рами q' и \ь должно проводиться одновременно.
§8.3. ОБОБЩЕННЫЙ КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОЦЕНОК
Спомощью каждой, из весовых функций (равномерной, ве роятностной и дельта-функции) получены различные функции правдоподобия, которые могут служить для определения оценки
q вектора оцениваемых параметров#. Уравнения правдоподо бия, отвечающие каждой из полученных функций правдопо добия, имеют в общем случае вид, определяемый равенством
(7.5.2).
Однако для полученных функций правдоподобия уравнения правдоподобия могут быть записаны несколько иначе. Это обус ловлено тем, что функции правдоподобия содержат векторы варьируемых параметров в показателе экспоненты. Чтобы изба виться от экспоненциальной зависимости функции правдоподо бия от вектора варьируемых параметров, необходимо перейти к натуральному логарифму функции правдоподобия. Поскольку натуральный логарифм является монотонной функцией своего аргумента, возрастающей при возрастании последнего, функция правдоподобия и ее натуральный логарифм достигают экстре мальных значений одновременно. По этой причине уравнения
'правдоподобия, отвечающие функциям правдоподобия с векто рами варьируемых параметров в показателе экспоненты, могут
