книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

Гл а в а VII. МЕТОД ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ НАЛИЧИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ В ОПЫТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИИ

Модель движения космического объекта определяет связь между контролируемыми переменными и параметрами модели. Значения контролируемых переменных в ряде точек на интерва­ ле опыта могут быть либо известными точно, либо доставлены проводимыми в процессе эксперимента измерениями. Неизвест­ ные параметры модели подлежат оценке путем статистической обработки результатов измерений.

Уравнение, входящее в модель движения космического объек­ та, записывается обычно так, что одна из контролируемых пере­ менных является его ординатой. В качестве ординаты уравнения выступает, как правило, одна из тех контролируемых перемен­ ных, значения которых в опытных точках получаются путем про­ ведения измерений. Остальные контролируемые переменные об­ разуют совокупность абсцисс или координатных функций урав­ нений модели.

В предыдущих главах рассмотрены методы оценивания параметров модели движения космического объекта в предпо­ ложении, что значения всех координатных функций в дискретные моменты времени известны точно. Такой подход к построению алгоритмов оценивания параметров модели движения космиче­ ского объекта не может быть признан общим, поскольку в прак­ тике решения задач экспериментальной космической баллисти­ ки нередки случаи, когда измерениями доставляются не только опытные значения ординат уравнений модели движения косми­ ческого объекта, но и всех координатных функций или части их. Иными словами, при оценке параметров моделей движения раз­ личного типа (конечных аналитических и динамических) прово­ димые измерения могут затрагивать не только левые, но и пра-

191

вые части уравнений. В этом случае возникает явление мульти­ пликативного влияния ошибок измерений на оцениваемые параметры.

Неучет ошибок измерений в опытных значениях координат­ ных функций может оказать существенное влияние на статисти­ ческие свойства оценок неизвестных параметров модели и за­ метно исказить тем самым картину исследуемого эксперимен­ тально движения.

Настоящая глава посвящена рассмотрению методов оценки параметров моделей движения космических объектов при нали­ чии ошибок измерений в опытных значениях координатных функций.

§ 7.1. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ И СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТА

Для рассматриваемой в настоящей главе задачи оценки па­ раметров входящие в модель движения космического объекта скалярные уравнения целесообразно записать так, чтобы коор­ динатные функции, значения которых содержат ошибки измере­ ний, и координатные функции, значения которых известны точ­ но, можно было рассматривать отдельно. Введя для этих коор­ динатных функций различные обозначения, уравнение модели движения запишем так:

будем называть моделью движения космического объекта. В об­ щем случае уравнение (7.1.1) нелинейно относительно и коорди­ натных функций, и вектора оцениваемых параметров.

Контролируемые переменные x{t), ..., sp(0> Ы О . ••

..., tys(t) являются функциями независимой переменной t. В роли независимой переменной чаще всего выступает время, отсчиты­ ваемое от начала интервала измерений [О, Т].

Опишем схему эксперимента, проводимого с целью определе­

ния оценки q вектора неизвестных постоянных параметров q. Пусть в моменты времени ii (i = l, 2, ..., N) получаются дис­

кретные синхронизированные опытные значения ординаты моде­ ли движения x(t) и координатных функций £ц(/), ..., | p(f). Мо­ менты времени U фиксируются абсолютно точно. Опытная информация, используемая для решения задачи оценки парамет­ ров, накапливается с помощью либо измерительных, Либо информационных каналов. Под измерительными каналами пони­ маются каналы, доставляющие информацию об опытных значе­ ниях контролируемых переменных путем непосредственных из­

192

мерений. В информационных каналах измерительная информа­ ция получается не-непосредственно, а путем преобразования информации, поступающей по измерительным каналам.

Получение опытных значений функций x(t), h(t), •••, (t) сопровождается ошибками, аддитивными по отношению к изме­ ряемым величинам. Опытные значения в точках /,• ординаты и координатных функций модели движения могут быть записаны так:

величины могут рассматриваться как компоненты случайного вектораh*:

вдг, 81 Ь . . . , 8 1 Л Г , . . . , O p i , b.pN}. . , .

Как известно, вектор средних значений случайного вектора ошибок измерений h* определяется наличием сингулярных со­ ставляющих ошибок измерений. Будем полагать, что эти состав­ ляющие отсутствуют и вектор средних значений случайного век­ тора h * равен нулю:

m h = 0.

Дисперсии и корреляционные моменты ошибок измерений об­ разуют их корреляционную матрицу. В общем случае ошибки измерений следует считать коррелированными в совокупности. При этом корреляционная матрица ошибок измерений содержит своими элементами:

—дисперсии ошибок измерений;

—изоканальные корреляционные моменты ошибок измере­

ний;

—изохронные корреляционные моменты ошибок измерений;

—перекрестные корреляционные моменты ошибок измерений. Изоканальные корреляционные моменты характеризуют кор­

реляционную связь между ошибками измерений, имеющими ме­ сто в одном и том же измерительном или информационном ка­ нале в различные моменты времени. Изохронные корреляцион-

ные моменты характеризуют корреляционную связь между ошибками измерений, имеющими место в различных измеритель­ ных или информационных каналах в один и тот же момент вре­ мени. Перекрестные корреляционные моменты характеризуют корреляционную связь между ошибками измерений, имеющими место в различных измерительных или информационныхканалах в различные моменты времени.

При решении сформулированной выше задачи оценки пара­ метров модели движения космического объекта корреляционная матрица ошибок измерений будет полагаться известной.

Очевидно, что опытные значения величин Хг и ljit определяе­ мые равенствами (7.1.2), являются в конкретном опыте реализа­

циями случайных в серии опытов величин v* и wji-

* , * * ,

Закон распределения системы этих случайных величин пол­ ностью определяется законом распределения случайного вектора Л*. В рассматриваемых условиях задача определения или анали­ за движения космического объекта может быть поставлена как

задача нахождения оценки q вектора q неизвестных постоянных параметров модели движения этого объекта при известных:

аналитической зависимости между контролируемыми пе­ ременными и подлежащими оценке постоянными параметрами (модели движения космического объекта);

реализациях и Wji случайных величин vi и wji, совокуп­ ность которых образует полученную при проведении эксперимен­ та измерительную информацию;

— значениях ф^ в моменты времени U координатных функций

законе распределения случайного вектора h*.

Схема эксперимента по оценке неизвестных параметров мо­ дели движения космического‘объекта представлена на рис. 7.1.1. На этой схеме КО — космический объект, для которого по экспе­ риментальным данным решается задача определения или анали­ за движения. По отношению к космическому объекту контроли­

измерительных или информационных каналов Дь Д2, ..., Др и г соответственно. Эти значения содержат ошибки измерений би-, б2{,..., бРг и ег-. Значения в моменты времени ti переменных ф ,(/)5’ Фг(0. •••, Ф*(0 формируются в передаточных каналах Оь’

^2, ..., Os и не содержат ошибок измерений. Опытные значения

^1г, W2u..., Wpi, ф1г-, ф2г, ..., фвг И V{ , i~ 1, 2, ..., N КООрДИНаТНЫХ

функции и ординаты поступают в вычислительное устройство (ЬУ), в котором на основании этих данных с использованием

194

модели движения космического объекта вычисляется оптималь­

ная в некотором смысле оценка q вектора q неизвестных пара­ метров. Алгоритм работы вычислительного устройства является предметом рассмотрения в настоящей главе.

Таким образом, сформулированная задача является задачей оценки параметров модели движения космического объекта при наличии ошибок измерений в опытных значениях координатных функций. Относительная общность этой задачи определяется до-

Рис. 7.1.1. Схема эксперимента по оценке параметров модели движения космического объекта при изме­ рениях с ошибками координатных функций

лущением о том, что лишь часть координатных функций контро­ лируется в процессе эксперимента с ошибками, остальные же ко­ ординатные функции известны точно. Это позволяет рассматри­ вать подобные задачи в условиях точного задания значений всех координатных функций как частные случаи задачи, сформулиро­ ванной выше.

Задачи оценки неизвестных параметров могут решаться в ус­ ловиях либо наличия, либо отсутствия априорных сведений о статистических свойствах этих параметров. Учет априорной ин­

формации о векторе оцениваемых параметров принципиальных трудностей не представляет и может быть осуществлен методом максимума апостериорной вероятности. В рамках решаемой за­ дачи будем полагать, что априорная информация о статистиче­ ских свойствах вектора оцениваемых параметров отсутствует.

Оценка q вектора постоянных оцениваемых параметров q должна обладать определенными оптимальными свойствами. Эти свойства должны отвечать общим требованиям к оценкам в статистической теории оценивания. Как показано в гл. V, рядом таких свойств обладают в общем случае оценки неизвестных параметров, полученные с помощью метода максимального прав­ доподобия, применение которого к решению задачи оценки пара­ метров модели движения космического объекта при наличии

ошибок измерений в опытных значениях координатных функций рассматривается ниже.

§7.2. ФУНКЦИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРИ НАЛИЧИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

ВОПЫТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ

(ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ)

Как известно, применение метода максимального правдопо­ добия предполагает построение функции правдоподобия с после­ дующим подбором такой совокупности варьируемых параметров функции правдоподобия, при которой значение этой функции наибольшее. Эта совокупность и принимается в качестве оценок параметров модели движения космического объекта.

Построение функции правдоподобия предполагает знание мо­ дели движения космического объекта, закона распределения ошибок измерений, а также наличие полученных при проведении эксперимента результатов измерений. Для иллюстрации принци­ па построения функции правдоподобия в задачах оценки пара­ метров при наличии ошибок измерений в опытных значениях ко­ ординатных функций рассмотрим следующий простой пример. Пусть модель движения космического объекта имеет вид

Целью эксперимента является определение оценки q неизвестно­ го постоянного параметра q.

196

Сформулированная задача имеет следующую простую интер­ претацию. Пусть в прямоугольной плоской системе координат О\х уравнением

задана кривая 5 (рис. 7.2.1). Проводится опыт, имеющий целью

определение оценки q постоянного параметра q кривой S. Опыт заключается в измерении координат

It и Х{ точек £, (i= 1, 2, ..., N), лежащих на кривой 5. Измеряемые координаты выбираются путем задания значений, ti(i = 1, 2, ..., N) переменной t, от кото­ рой координаты £ и х зависят парамет­ рически: £=£(/), x=x(t).

поэтому понятия «вектор» и «точка» могут употребляться рав­ нозначно. Такая смешанная терминология и используется в дальнейшем для удобства изложения.

Измерения сопровождаются ошибками с известными стати­ стическими характеристиками. Пусть при измерении координа­ ты £ точки £ получено ее искаженное ошибкой измерения значе­

Полученная в процессе эксперимента пара w и v измеренных значений £ и х может рассматриваться как пара координат опыт­ ной точки z, соответствующей точке £ на кривой 5. Опытная точ­ ка z определяет вектор z с компонентами w и и:

Вектор z представляет собой измеренное значение вектора £ и может быть определен как реализация случайного вектора z*, вектор средних значений которого при центрированных ошибках измерений совпадает с вектором £, т. е. в этом случае

где А *—случайный вектор ош ибок измерений коорди н ат точки

Плотность вероятностей случайного вектора ошибок измере­ ний обозначим p(h*).

Используя равенство (7.2.7), запишем плотность вероятностей случайного вектора г*, которая в соответствии со смыслом этого

равенства будет зависеть от вектора £. Действительно, из (7.2.7) следует, что

т. е. плотность вероятностей-вектора г* зависит от вектора £,

компонентами которого являются координаты I я х точки, лежа­ щей на кривой 5.

Равенство (7.2.7) записано в предположении, что ошибки из­ мерений аддитивны по отношению к измеряемым величинам. При другом способе комбинации ошибок измерений и измеряемых ве­ личин равенства (7.2.7) и (7.2.9) запишутся в виде

г*=г*(!;, Л*);. h*=h*{z\ ?).

Цепочка равенств (7.2.10) будет иметь уже более сложный вид, поскольку при ее записи необходимо будет использовать выражения для плотности вероятностей функции случайного век­ тора. Однако крайние члены этой цепочки запишутся в общем

виде так же, как и в рассматриваемом случае, т. е. будут совпа­ дать с крайними членами в (7.2.10).

Плотность вероятности реализации .S’случайного вектора z* получим путем подстановки в выражение для плотности вероят­

ностей случайного вектора z* вместо вектора z* его реализа­ ции Z-

быть получена одна и та же опытная точка z с координатами w и V. Указанная окрестность точки £ определяется в общем случае условиями эксперимента и законом распределения ошибок изме­ рении. Можно сказать, что источником случайного события, за­ ключающегося в получении опытной точки г с координатами w и v, может быть любая точка на кривой 5 из некоторой окрест­ ности точки £. По этой причине в соответствии с правилом сложе-

198

ния вероятностей полная плотность вероятности реалазиции г случайного вектора z f может быть записана в виде криволиней­ ного интеграла первого типа:

(7.2.12)

где AS — указанная окрестность точки £, a k — постоянный по­ ложительный коэффициент, нормирующий функцию плотности вероятностей.

В (7.2.12) ф (£ )— весовая функция, отражающая тот факт, что в общем случае не все точки кривой S могут с равным осно­ ванием полагаться источником появления в эксперименте опыт­ ной точки 2. Возможные конкретные виды функции ф(£) рас­ смотрены ниже. Здесь скажем только, что для той точки кри­ вой S, относительно которой с наибольшей уверенностью можно сделать предположение, что именно при измерении ее координат получена опытная точка г, т. е. именно эта точка является источ­ ником появления опытной точки z, значение весовой функции должно быть большим, чем для любой другой точки на кривой S. По этой причине функцию ф ( £ ) можно трактовать как весовую функцию гипотезы £ о положении на кривой 5 точки, координаты которой измеряются в данном опыте.

В соответствии с изложенным весовой функцией ф ( £ ) опреде­ ляется та окрестность точки £ на кривой 5, по которой берется криволинейный интеграл первого рода при вычислении полной плотности вероятности реализации z случайного вектора г* . По­ этому можно считать, что интегрирование в правой части (7.2.12) должно проводиться по всей длине кривой S, определяемой кон­ кретными условиями эксперимента, учитываемыми весовой функ­

Здесь плотность вероятности реализации z случайного векто­ ра z * уже в явном виде содержит оцениваемый параметр q, поэтому выражение (7.2.13) может быть использовано для записи функции правдоподобия. По форме записи функция правдоподобия совпадает с выражением для плотности вероят­ ности полученных в процессе эксперимента результатов измере-

199