книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

требованию удовлетворяют, в частности, степенные полиномы

{т = 0, 1,...),

показанные на рис. 6.5.1.

Если x(t) имеет колебательный характер, то можно восполь­ зоваться тригонометрическими полиномами

«]>„(*)= sin ~ m t (m = 0, 1,...),

поведение которых показано на рис. 6.5.2.

Если x(t) имеет колебательную и монотонную составляющие одновременно, то можно воспользоваться полиномами Ле­ жандра

Из рис. 6.5.3 видно, что полиномы Лежандра обладают как тем, так и другим свойствами.

Предположим, что каким-то образом выбрана система поли­

Теперь уточним число членов в разложении (6.5.5). Это за­ дача об установлении наличия регрессии данного порядка, ко­ торая в корреляционном анализе решается с помощью последо­ вательной процедуры проверки гипотез [40]. Здесь рассмотрим

Оолее простую методику проверки степени'аппроксимирующего полинома, предложенную в работах [15, 46].

180

Пусть в соответствии с методом наименьших квадратов най­ дены оценки коэффициентов aj. Тогда оценка функции

*00 = 2 Bj'bV)

j-1

содержит методическую (за счет ограниченного числа членов разложения) и случайную (за счет случайности оценок коэффи­ циентов разложения) погрешности. Так как с увеличением числа членов первая погрешность убывает, а вторая возрастает, то су­

ществует в некотором смысле оптимальная степень г аппрокси­ мирующего полинома (рис. 6.5.4).

Будем искать этот оптимум по критерию минимума следую­ щей меры погрешности:

p{t).

Функция - p( t ) является весовой функцией ошибок измерений; ее значения в дискретные моменты времени U совпадают с веса­ ми p i в выражении (6.5.2).

составляющие методической погрешности r \(t)= x ( t)— x(t). Оценки aj (/=1, ..., г), содержащие только случайные погрешно­ сти измерений, имеют вид

а ^ а - С - ^ Р г ) , .

где >j= (Tl1, . . . , Л^) —вектор методических ошибок. Введя обозначение

A = C- V /> i|,

получим следующее выражение для меры погрешности (6.5.7):

181

°л- — l | - K ( i O l / ' ~ 2 a r ( a - f А )- {- М [ ( а - f A ) T ( # + ^ ) ] —

= \x{t) I\ - 2а та + АТД + М [<а')т (а)]

или, если перейти к центрированным случайным величинам

О—

a. = a,j — a,j,

В последней формуле первые два члена характеризуют собой методическую ошибку представления x(t) конечным рядом (6.5.5), третий член является следствием этой ошибки и дискрет­ ности измерений,последний

M [ a ra \ = § a Tap(a)dQ(a)

2(a) .

характеризует случайные ошибки измерений. Для его вычисле- >

о

ния необходима плотность вероятностей вектора а.

В § 6.1 показано, что плотность вероятностей вектора оценок в линейной задаче при рассматриваемых условиях опыта может быть записана в виде

обладает следующим свойством:

M [ a a '] = a l C - 1.

Нетрудно заметить, что

М [ a Ta] = Sp М [ a a T] ,

где Sp — след матрицы.

Отсюда находим значение последнего члена в выражении

Исследование (6.5.11) на экстремум затруднительно. Найдем сначала приближенные выражения для последних двух слагае­ мых в формуле (6.5.11), имея в виду, что для элементов матри-

182

Здесь Д/—шаг по времени измерения и с«р — погрешности вычислений соответствующих интегралов по обобщенной форму­ ле трапеций.

Считая, что функция x(t) является достаточно гладкой и объем выборки намного превосходит число оцениваемых коэф­

фициентов, пренебрежем величинами сяр. Тогда получим

С~Х= ЫЕ.

Для ДТД можно записать

ДТД = чW C _V /> ij = 2 8У> j=l

где 8у —погрешности того же порядка, что и сяр.

Произведенные оценки дают возможность записать погреш­ ность аппроксимации в виде

Приравнивая к нулю результат численного дифференцирова­ ния выражения (6.5.12)

4 ( г ) — 4 (г— 1 ) = — 4 + Д / 4 — О,

получим оптимальную величину коэффициента

Очевидно, что в разложении (6.5.5) необходимо оставлять только те члены, оценкикоторых удовлетворяют неравенству

183

Таким^образом, автоматически определяется оптимальное ко­

Расчеты показывают, что для аппроксимации кажущихся па­ раметров движения космического объекта по-измерениям ньюто­ нометров на участке работы двигательной установки длительно­ стью до 2 мин требуется, например, полином Лежандра не выше 3-й степени.

Наиболее слабым звеном в этом способе оценивания являет­ ся выбор системы функций на основе эвристических соображе­ ний. В случае когда проводится не один, а несколько сеансов измерений параметров движения, принадлежащих к одной и той

же статистической совокупности, можно применить более стро­ гий подход при выборе системы функций.

Рассмотрим модель факторного анализа, где решается задача выбора оптимальной системы аппроксимирующих функций.

§6.6. ОЦЕНИВАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ МОДЕЛИ

СУЧЕТОМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Обратимся к задаче § 6.5, полагая, что на этот раз имеется априорная информация об измеряемой функции, полученная в

результате серии предшествующих испытаний в аналогичных условиях опыта.

Пусть эта информация конкретно имеет вид выборочной кор­ реляционной матрицы 5:

относится к нормальной совокупности с нулевым вектором ма­ тематических ожиданий (принято для простоты) и корреляци­

онной матрицей Bz. Матрица S является случайной. Д ля'даль­ нейшего необходимо знать ее распределение.

6.6.1. Распределение Уишарта

Установим сначала распределение матрицы А, которая свя­ зана с матрицей 5 следующим простым соотношением:

(6.6.2)

184

Рассмотрение начнем с простейшего случая N = 2, когда

/1^ является совместное распределение случайных величин а*п, ап и «22Для установления этого распределения введем новую

между собой [5]. Величина Ь* имеет условное нормальное рас­ пределение с плотностью вероятностей

где Г[-]—-гамма-функция.

-185

Совместная плотность распределения случайных величин Ь*, d* и йц* находится по теореме умножения вероятностей.

В матричных обозначениях эта плотность вероятностей имеет вид

По аналогии с выражением (6.6.8) записывается плотность вероятностей матрицы А произвольного порядка N [5]:

Это и есть распределение Уишарта, или многомерный аналог Т распределения.

186

Обозначив сомножители, не зависящие от матрицы fiz, через /г, получим

Ввиду того что исследование на максимум функции (6.6.10) можно производить с ее логарифмом, запишем

1п/?(А) = 1п&----1 ( п - 1) In | Bz I - 4 - Sp ЯГ1A.

Последняя формула с учетом равенства (6.6.2) преобразует­ ся к виду

6.6.2. Уравнение правдоподобия для факторной модели

В § 6.5 для измеряемого параметра движения x(t) была ис­ пользована формальная модель в виде ряда (6.5.5). Введем в рассмотрение факторную модель

1

в которой функции lj(t) (/= 1, ..., г ) — неизвестные факторные нагрузки, a fj — простые факторы, о которых известно, что

факторных нагрузок {lj(t)} определяется оптимальным образом

С учетом функциональной зависимости случайных величин (6.6.14) и информации о их распределении (6.6.13) и (6.6.15) корреляционная матрица В2 вектора z записывается в виде

187

неизвестная матрица факторных нагрузок.

Для определения матрицы факторных нагрузок применим метод максимального правдоподобия, в соответствии с кото­ рым необходимо максимизировать функцию (6.6.11) по элемен­ там матрицы L. Необходимые условия экстремума записывают­

Для записи уравнений (6.6.17) в развернутой форме установим некоторые правила дифференцирования функций от матриц по параметру. Дифференцируя тождество

BzB J l— E

откуда легко получить правило

Производная от логарифма определителя матрицы записывается в виде

Алгебраические дополнение (5 Д р можно рассматривать как

Применяя правила (6.6.18) и (6.6.19) при дифференцирова­ нии функции (6.6.11), получим

Используя свойства

S p ( 4 + £ ) = S p . A + Sp£;

S p 4 £ = Sp£>l,

справедливость которых легко установить непосредственной про­ веркой, получим уравнения (6.6.17) в виде

чч

( 6. 6. 20)

Можно показать, что левая часть уравнения (6.6.20) являет­ ся элементом /-й строки и г'-го столбца матрицы

LTB 7 1- L rB 7 1S B 7 l,

откуда уравнение*(6.6.20) можно записать в виде

LTB 7 1- L TB 7 1S B 7 1= 0.

Последнее уравнение с использованием выражения (6.6.16) может быть преобразовано к виду [41]

Уравнение (6.6.21) является уравнением правдоподобия для матрицы L и будет использовано в дальнейшем для ее опреде­ ления. Так как факторные нагрузки находятся лишь «с точно­ стью» до преобразования вращения, то с целью получения одно­ значного решения накладывается условие, чтобы матрица

A = LTPL

была диагональной с расположением элементов в порядке их убывания.

Если предположить, что матрица L факторных нагрузок уже вычислена (вычислительная процедура рассмотрена в гл. IX), то значения самих факторов в серии испытаний с номером а мо­ гут быть найдены по методу максимальной апостериорной ве­ роятности. Из постановки задачи (6.6.18) — (6.6.15) следует, что

189