книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

Рассмотренные свойства оптимальности'остаются справедли­ выми и в этом случае.

Как указывалось в § 5.3, между условной оптимальностью бейесовских оценок и оптимальностью оценок максимального правдоподобия не существует постоянного отношения подчине­ ния, т. е. существует вопрос о целесообразности учета априор­ ной информации. В заключение параграфа рассмотрим влияние учета априорной информации об оцениваемых характеристиках на примере задачи анализа движения 6 (§ 1.3). Модель инстру­ ментальных ошибок ньютонометра с постоянной ориентацией оси

между собой и распределены по нормальному закону с задан­ ными параметрами:

Ошибки измерений предполагаются независимыми между со­ бой, распределены по нормальному закону с заданной диспер­ сией и неизвестным математическим ожиданием:

о,).

В данных условиях оценки инструментальных ошибок могут быть найдены по методам как максимального правдоподобия (ММП), так и максимальной апостериорной вероятности (ММАВ). В первом случае оценки находятся по формуле (6.1.9):

170

N

■ 2 P i'hiz i

1=1

.V /=1Pi'hiZl

2 P i\r,z i

1= 1

а во втором — по формуле (6.2.8):

Д6Б

Kkb

AvB

«Б

Л'

V Pi'hi*i

1 = 1

N

2 М*!*/ 1=1

TV

2

1=1

TV

2 Мш,-*/

1= 1

В табл. 6.2.1 приведены результаты расчетов по данным ал­ горитмам при различных условиях проведения измерений.

Таблица 6.2.1

Сравнение данных таблицы с моделируемыми значениями оцениваемых величин: Л6 = 0,3 • 10"3, Д& = 0,2-10“3, Av = = —0,6-К)-3, со = —0,5-КЗ'5 показывает, что учет априорной ин­ формации статистического характера об оцениваемых характе­ ристиках может как улучшать, так и ухудшать качество оценок. Это зависит от условий проведения измерений, мощности выбор­ ки и характера самой априорной информации. Очевидно, необхо­ димо тщательно анализировать все эти факторы, чтобы правиль­ но решить вопрос о целесообразности учета априорной информа­ ции в процессе проведения баллистического эксперимента.

§ 6.3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Примерами детерминированных динамических'моделей явля­ ются уравнения возмущенного движения центра масс космиче­ ского объекта в оскулирующйх элементах (2.1.21); динамиче­ ские уравнения движения космического объекта относительно центра масс (2.2.8); некоторые зависимости системы управления. Линейная многомерная динамическая модель имеет вид

где x(t) по-прежнему является н-мерным вектором параметров -движения; к—/7-мерным вектором постоянных характеристик мо­ дели движения; А (к, I) является квадратной матрицей п-го по­ рядка н d (к, t)—«-мерной вектор-функцией времени и характе­ ристик модели движения.

Уравнения (6.3.1) задают нелинейную связь между парамет­ рами движения и характеристиками движущегося объекта. В теории оценивания вид именно этих связей существенно влияет на алгоритм решения задачи. Более простой является динамиче­

172

Линейная динамическая модель может быть преобразована в конечную аналитическую. Действительно, решение системы (6.3.2) линейных дифференциальных уравнений записывается в виде

где матрица фундаментальных решений Ф(^, t0) находится из уравнения

координатных функций, получим зависимость для измеряемой функции

которая описана в § 6.1. Отсюда видно, что параметры линейной динамической модели при условиях опыта типа '(6.1.4)—'(6.1.5) оцениваются точно так же, как в § 6.1. Однако следует иметь в виду, что получение зависимости (6.3.6) связано с необходи­ мостью решения системы уравнений (6.3.5). Кроме того, вектор оцениваемых параметров q в данном случае включает в себя начальные условия движения, которые не входили в него при рассмотрении аналитической модели.

В случае когда величина шага дискретности измерений At позволяет с достаточной точностью заменить непрерывную мо­

173

дель движения (6.3.2) конечно-разностной,

лсг+1= л:,-4-Д^(Л-Л7' + А ^ ) (г= 0, 1,~. .., N — \), (6.3.7)

получение дискретного аналога решения (6.3.4) сводится к по­ следовательности алгебраических операций.

Полагая последовательно i = 0, 1, ..., N—1, получим

х^ = ( Е -(- Д( A q) Л"о—{—Д

х2 = (Е-\- AMi)ati + tdD{k — {E -f- tdAx){E-j- дМ0)л:0-р

+(Я + дМОдШоХ + Д/DiX;

Xn — (E -j- AtAjv-i)- • -(E-J- AtA0) x Q-|-[(£"-(- AtA/v—i)• • .(E -}- Д/Л^Х

Обозначим матрицу, умножаемую на вектор х0 в t-м равен­ стве, через Ф (/,-_ь to). Матрицу, умножаемую на вектор X, обоз­ начим через Г(^»—1, to). Тогда можно записать

Введем r-мерный совокупный вектор характеристик q и соот­ ветствующую ему вектор-функцию ф(/). Тогда полученная сис­ тема уравнений в матричной записи будет иметь вид

где Чг=1Фу|.

Таким образом, опять приходим к задаче, рассмотренной в §6.1. Как было показано в этом случае, оценка вектора неиз­ вестных параметров, определяемая по методу максимального правдоподобия или по методу условного математического ожи­ дания,

174

§ 6.4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Линейная динамическая модель, как показано в предыду­ щем параграфе, приводится к конечной аналитической модели, поэтому учет априорной информации о векторе оцениваемых параметров принципиально производится так же, как в § 6.2.

Рассмотрим усложненную динамическую модель, а именно — линейную динамическую стохастическую модель вида

я-мерной вектор-функции £(/), умноженной на скалярный белый шумД(/) гауссового типа.

которая может быть получена из первоначальной модели путем дополнения ее системой дифференциальных уравнений для по­

стоянных параметров к, Х= 0 и расширения n-мерного вектора параметров движения до (п + р) -мерного вектора параметров состояния.

Модель движения (6.4.2) уже не может быть преобразована в конечную аналитическую модель в том смысле, как в преды­ дущем параграфе. З-адача оценивания параметров приобретает здесь новый смысл. Если для детерминированной динамической модели движения задача оценивания начальных условий движе­ ния и характеристик объекта эквивалентна задаче оценивания параметров движения на любой момент времени, то в случае динамической стохастической модели (6.4.2) знание начальных условий движения не дает возможности получить интегрирова­ нием параметры движения на любой момент времени.

Пусть для дискретных моментов времени наблюдения t{ (х=

где переходная матрица Фг = Пфяг(^г) IJ и вектор \(ti) связаны со­ ответственно с матрицей Л* и вектором £* из уравнения (6.4.2) приближенными соотношениями

175

Ошибки измерений независимы, не смещены и распределены по нормальному закону:

Пусть, кроме того, о векторе начальных условий л:0 и векторе случайных возмущений ■6'= (й[, ..., ФЛ-) имеетсяаприорная ин­ формация

В данной постановке необходимо оптимально оценить пара­ метры движения на любой момент времени измерения ti. Оценка

x(ti) может быть получена с учетом измерений гь ..., г,, накоп­

фильтрации измерений и обозначается через л*,•/,•, во втором — в

результате сглаживания измерений и обозначается лу-д- .Эти

оценки не совпадают между собой, за исключением ■момента времени tN.

Л В большинстве случаев оценка X i,n строится с учетом оценки Xiji, т. е. решается сначала задача фильтрации, а затем произ­ водится сглаживание. Будем искать оценки лунаилучшие в смысле метода максимальной апостериорной вероятности. В со^ ответствии с выражениями (6.4.5) —(6.4.7) запишем плотность вероятностей совместного распределения векторов х0, h и #:

-|-Л1ЯЛ + * т/>**]),

няхо?ятгКаИЛ °,!!еТ0ДУ максимальной апостериорной вероятности нияхД(6 4 3) У 0ВИЯ минимУма критерия (6.4.8) при ограниче-

х 7+1= Ф,-*г- + Т&о-

176

Для учета ограничений введем совокупность неопределенных векторных множителей Лагранжа <у0, s N, размерность кото­ рых совпадает с размерностью вектора х, и новый критерий

J V -1

В результате получаем задачу на безусловный экстремум крите­ рия (6.4.9). Система экстремальных уравнений запишется в виде

непосредственно следуют соотношения

с помощью которых случайные возмущения из дальнейшего рассмотрения могут быть исключены.

Преобразованная с учетом равенств (6.4.11) система уравне­ ний (6.4.10) имеет вид

B l l ( х 0— т Хо)— ®Ss0= 0 ;

**й — ф о * о — ^ oT oY oSq = 0 ;

—P& z i + So — ф1«1= 0»

P1\^ n \'n X n p n \ n Zn -j- ■SyV_ i 0,

5^ = 0.

177

Объединяя подобные члены и изменяя порядок операций, за­ пишем уравнения:

x 0 = B Xo<S>ls0 + m Xo;

Система уравнений (6.4.12) представляет собой двухточеч­ ную граничную задачу. Условия на границах определены пер­ вым и последним уравнениями системы.

Двухточечная граничная задача в общем случае может быть решена методом «машинной пристрелки». Однако для линейной динамической модели можно построить рекуррентную процеду­

ру определения оценок фильтрации Хщ, а затем решить задачу сглаживания. Уравнения (6.4.12) являются исходными для по­ лучения фильтра Калмана. Фильтр Калмана и конкретный при­ мер его использования изложены в гл. X.

§ 6.5. ОЦЕНИВАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ МОДЕЛИ

Под неопределенной моделью движения космического объек­ та будем понимать вектор параметров движения, связь которого с вектором характеристик модели движения и состав самого вектора характеристик являются неизвестными. В этом случае модель^ полностью определяется выбором системы координат, в которой рассматривается движение. С подобными моделями приходится иметь дело в аварийных ситуациях, а также при оценивании движения неопознанных управляемых объектов.

Для простоты предположим, что модель измерения является непосредственной, так что каждую составляющую вектора пара­ метров движения x(t) можно оценивать в отдельности.

Пусть на интервале [О, Т] в дискретные моменты времени ti измеряется какая-то составляющая вектора параметров движе­

Из выражений (6.5.1) и (6.5.*2) следует, что плотность веро­ ятности выборки z~- \\z\, ..., 2jvIIt записывается в виде

_ 1 '

р{г1х)={2кщ) 2 |Р |2 ехр | - - у ( г -х)'Р{г —-jc)J . (6.5.3)

178

В соответствии с методом максимального правдоподобия оценивать неопределенную модель необходимо по минимуму по­ казателя экспоненты в выражении (6.5.3):

N

(6.5.4)

i - \

О функции x(t) в данном случае нет никаких сведений, по­ тому единственным способом решения задачи является фор­ мальная аппроксимация. Чтобы выбираемая формальная мо­ дель была удобной с точки зрения ее оценивания и дальнейше­ го анализа, необходимо предъявить к ней ряд требований. Потребуем, чтобы формальная модель измеряемого сигнала бы­ ла достаточно простой, непрерывной и дифференцируемой функ­ цией времени. Этому может удовлетворить решение в виде ка­ кого-либо ряда

по линейно независимой на интервале наблюдения [О, Г] системе функций {ф3-(01- Проще всего для этой цели использовать ортонормированные системы функций. Предположим, что с доста-

точной точностью x(t) описывается конечным разложением вида (6.5.5). Тогда задача оценки формальной модели (6.5.5) по кри­ терию (6.5.4) сводится к выбору системы функций {^(У)}, к определению степени аппроксимирующего полинома г и к вы­ числению оценок неизвестных коэффициентов а, (у = 1, ..., г).

При выборе системы функций надо стремиться к тому, чтобы эта система соответствовала физической сущности исследуемого процесса. Например, если параметр движения x(i) является мо­ нотонной функцией времени, то в качестве функций {ф^/)} це­ лесообразно взять также монотонные функции времени. Этому

179