книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

Здесь уместно отметить, что для регулярной ошибки %i(t) ко­ нечного разложения (г<оо) вида (4.2.1) или (4.2.2) может и не существовать. В случае представления hi(t) разложением (4.2.1) или (4.2.2) параметры сингулярной ошибки (в первом случае ко­ эффициенты Cik, во втором — случайные величины yth) могут быть найдены на этапе предварительной обработки измерений. Тогда исключение сингулярной ошибки из результатов измере­ ний даст величину

(4.2.3)

свободную (частично или полностью) от такой ошибки. Можно также, используя разложения (4.2.1) и (4.2.2), находить пара­ метры разложения сш или у» в процессе решения задачи опре­ деления и анализа движения. Тогда упомянутые параметры включаются в число оцениваемых наряду с параметрами движе­ ния или характеристиками *. Очевидно, что использование разложений (4.2.1), (4.2.2) или других возможно тогда, когда имеется информация, дающая возможность применить указан­ ные разложения. В дальнейшем будем считать, что измерения, содержащие грубые ошибки, исключены из полученной выборки.

§4.3. ИНФОРМАЦИЯ ОБ УСЛОВИЯХ ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Под информацией об условиях проведения измерений пони­ мается следующая совокупность сведений:

—способы комбинации ошибок измерений с измеряемыми функциями;

—статистические свойства ошибок измерений.

Эта информация может быть полной, неполной или вообще отсутствовать. Под полной информацией понимают такую, ко­ торая содержит исчерпывающие данные об ошибках измерений. Неполная информация свидетельствует об отсутствии некоторых данных об ошибках. Например, может быть известен способ ком­ бинации ошибок с измеряемыми функциями, но неизвестны ста­ тистические свойства этих ошибок. Или известно, что ошибки измерений коррелированы, но неизвестны характеристики этой корреляции. Отсутствие информации свидетельствует о том, что в результате эксперимента получены лишь измеренные значения функций параметров движения и никаких сведений об ошибках измерений нет.

Возможны нестатистические и статистические способы опи­ сания ошибок измерений. Нестатистические способы применяют­ ся тогда, когда об ошибках измерений имеются весьма ограни-

* Помимо рассмотренного, существуют и другие пути разработки схем измерений и использования статистических методов, инвариантных по отноше­ нию к сингулярной ошибке.

120

ченные сведения. Здесь могут иметь место два случая. Первый из них характеризуется структурной неопределенностью ошибок. В этом случае может быть задана норма ошибки, определяемая как верхняя грань множества абсолютных значений ошибки на интервале измерений [О, Т]

Второй случай характеризуется структурной определен­ ностью ошибки. В этом случае ошибка может быть представле­ на разложением вида (4.2.1) или (4.2.2). В последнем разложе­ нии yih следует считать теперь неизвестными постоянными коэф­ фициентами разложения.

Статистические способы описания ошибок применяются при достаточно высоком уровне знаний структуры ошибок и законо­ мерностей их изменения на интервале наблюдения [О, Т]. Сово­ купность ошибок hi(t) (1=1, 2, ..., m) для данного состава изме­ рений может быть представлена вектором ошибок измерений

М*)

hm{t)

Первый из статистических способов описания ошибок заклю­ чается в разложении вектора (t) на математическое ожидание

M[h (^)] и центрированный случайный вектор h (t) и в описании

о

последнего функционалом плотности вероятностей p[h(t)] (при произвольном законе распределения ошибок, т. е. законе, от­ личном от нормального) или матрицей корреляционных функций B°h (^ь h) (при нормальном законе). В приведенной записи кор­

реляционных функций ti и t2— моменты времени, для которых определяется корреляционная связь. Рассматриваемый способ описания ошибок можно представить в следующем виде:

°h(t)—>• B°h(t, ^( — нормальный закон распределения ошибок. По определению

Диагональными элементами b(t\, t2)u матрицы корреляцион­ ных функций В \ (t1} t2) являются автокорреляционные функции,

121

рений, нестационарен, то матрица корреляционных функций за­ висит от t\ и i2. Для стационарного случайного процесса имеет место только зависимость матрицы корреляционных функций от

временного сдвига x ~ t 2—1\ между рассматриваемыми точка­ ми, т. е.

характеризует корреляционную связь ошибок измерений с уче­ том математического ожидания M\h(t)}, то она обычно назы­ вается матрицей ковариационных функций.

Второй статистический способ описания ошибок состоит в представлении h (t) каноническим разложением. Для этого вна­

чале h(t) представляют суммой (4.3.3), а затем h (t) разлагают на координатные неслучайные функции со случайными некорре­ лированными коэффициентами

где hk(t) векторы, состоящие из некоторых координатных не­ случайных функций; у& случайные не коррелированные меж­ ду собой коэффициенты с заданными дисперсиями o2h, т. е.

Указанные способы представления h (t) используются в тео­ рии случайных функций. Первый из них, распространенный на случай дискретных измерений, применительно к представлению суммарной ошибки в виде (4.1.9) находит применение и в экс­ периментальной космической баллистике. В случае представле­ ния суммарной ошибки измерений разложением (4.1.9) исчерпы­ вающей характеристикой этой ошибки для непрерывного време­ ни наблюдения является функционал плотности вероятностей p[h(t)], а для дискретного времени наблюдения — функция плот-

ности вероятностей р[А (Ь), h (t2), ..., h(tN)]. Здесь A(f,), h{t2),...

...,и (fjv) нужно понимать в векторном смысле, как совокупность ошибок измерений, полученных в момент времени U (/=1, 2,

•••> N) для заданного состава измерений, т. е.

122

Построение упомянутых зависимостей для произвольного за­ кона распределения коррелированных ошибок измерений сопря­ жено с большими трудностями. Для этого необходимо привле­ кать теорию распределений и многомерный статистический анализ. В случае некоррелированных измерений эта задача не­ сколько упрощается, поскольку справедливо соотношение

т

где П — знак произведения.

В подавляющем большинстве случаев ошибки измерений име­ ют нормальное или достаточно близкое к нему распределение. Поэтому при обработке результатов измерений гипотеза о нор­ мальном распределении ошибок принимается в качестве основ­ ной. Это оправдано тем, что источниками ошибок являются мно­ гочисленные случайные факторы, которые, действуя в совокупно­ сти, приводят к упомянутому распределению. Функционал плот­ ности вероятностей в случае нормального распределения ошибок непрерывных измерений определяется функцией математическо­

а вместо матрицы корреляционных функций вводится корреля­ ционная матрица, которая для совокупности всех М измерений имеет вид

123

нимающие место на главной диагонали, являются дисперсиями ошибок измерений

6V, —D v.

Корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали, т. е. by — b^, и поэтому часто заполняется не вся корреляционная матрица, а лишь ее половина:

bмм

Для симметричной матрицы справедливо равенство

Кроме того, свойство симметричности дает возможность за­ писать

Заметим также, что корреляционная матрица является поло­ жительно определенной. Для попарно некоррелированных оши­ бок измерений корреляционная матрица является диагональной:

Для удобства построения алгоритмов обработки результатов некоррелированных измерений вместо корреляционной исполь­ зуют весовую матрицу Р, связанную с корреляционной соотно­ шением

что означает, что произведение обратной весовой матрицы и не­ которого коэффициента сто2 дает корреляционную матрицу некор­ релированных измерений. Из (4.3.18) следует

°v

Персия эталонного измерения или дисперсия единицы веса. Веса измерений обратно пропорциональны дисперсиям оши­

бок измерений. Они могут быть известны с точностью до посто­ янного множителя сто2, который сам оценивается по данным из­ мерений наряду с компонентами вектора q. Дисперсия эталон­ ного измерения используется как характеристика точности решения задачи. Если, например, по данным измерений найдена кривая, характеризующая движение космического объекта на

получаем так называемую взвешенную остаточную сумму квад­ ратов. Деля эту сумму на М—п (где п — число оцениваемых параметров кривой), получаем дисперсию эталонного измерения

Плотность вероятностей многомерного нормального распре­ деления коррелированных дискретных измерений записывается в виде

ратная корреляционная матрица;Л— совокупный вектор ошибок измерений, элементами которого являются разности измеренных значений измеряемых функций и их математических ожиданий

h т— транспонированный вектор с теми же элементами.

Для попарно некоррелированных измерений переход от выра­ жения (4.3.22) к новой'записи плотности вероятностей заключа­ ется в использовании соотношений (4.3.18). Тогда получим плот­ ность вероятностей многомерного нормального распределения дискретных измерений в виде

) 125

Заметим, что если сингулярная ошибка представлена разло­ жениями (4.2.1) или (4.2.2), определена и исключена при пред­ варительной обработке измерений, то приведенные выше зависи­ мости характеризуют распределение измерений, содержащих регулярную ошибку.

§4.4. ИНФОРМАЦИЯ ОБ ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРАХ

Вряде задач может быть задана предварительная информа­ ция об оцениваемых параметрах. Такая информация включает совокупность сведений об оцениваемых параметрах, полученных по данным расчетов, стендовых, заводских, лабораторных или

летных испытаний, предшествующих данному летному экспери­ менту.’ Предварительную информацию об оцениваемых парамет­ рах обычно называют априорной. Иногда априорную информа­ цию необходимо учитывать наряду с информацией, полученной в данном летном эксперименте. Это может привести к получению более оптимальных оценок, к увеличению интервала времени между последовательными контролями движения космического объекта, к более целесообразному использованию предыдущих определений движения, к увеличению длительности прогноза движения при сохранении той же точности. Как и для ошибок измерений, исчерпывающие данные об оцениваемых парамет­ рах q могут быть заданы в общем случае априорной плотностью вероятностей p(q). Необходимо заметить, что оцениваемые па­ раметры всегда дискретны. Кроме того, задание априорной ин­ формации о параметрах q в виде плотности вероятностей пред­ полагает, что они являются случайными величинами. Поскольку совокупный вектор оцениваемых параметров

126

относительно главной диагонали, что означает

{в - у = в ~ \

Сучетом введенных обозначений для нормального закона распределения коррелированных оцениваемых параметров мно­ гомерная априорная плотность вероятностей по аналогии с (4.3.22) записывается в виде

Здесь дисперсия эталонного измерения введена в выражение для весов pqj с целью получения аналогии в записи весовых матриц Р и Pq, что приводит к аналогичной по сравнению с (4.3.23) записи плотности вероятностей априорного распределе­ ния для некоррелированных параметров

где | Рq| — определитель весовой матрицы.

Априорная информация может иметь как статистический, так и нестатистический характер. В последнем случае она может быть задана в виде системы равенств и неравенств.

127

§4.5. КЛАССИФИКАЦИЯ УСЛОВИЙ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Условия проведения летного баллистического эксперимента разнообразны. Поскольку сочетание этих условий существенно влияет на ход решения задач определения и анализа движения и, в частности, на выбор критерия качества решения и статисти­ ческого метода обработки результатов измерений, полезно оста­ новиться на их общей классификации. В основу такой классифи­ кации (рис. 4.5.1) положим три характерных признака:

Рис. 4.5.1. Классификация условий проведения эксперимента

закон распределения ошибок_измерений (нормальный, про­ извольный, т. е. отличный от нормального);

способ комбинации ошибок с измеряемыми функциями

(аддитивный, мультипликативный, аддитивно-мультипликатив­ ный) ;

— вид измерения (дискретное, непрерывное).

Руководствуясь этими признаками, выделим следующие че­ тыре схемы измерений:

— нормальную аддитивную;

128

—ненормальную аддитивную;

—нормальную неаддитивную;

—ненормальную неаддитивную.

Характерным признаком нормальной аддитивной схемы яв­ ляется аддитивная смесь ошибок измерений с измеряемой функ­ цией и'нормальный закон распределения ошибок. Для непрерыв­ ных измерений схема представляется в виде

и полностью характеризуется математическим ожиданием оши­ бок nih(t) и матрицей корреляционных функций Bh(t\t2). Для дискретных измерений схема имеет вид

hi(ti)= Zi{ti)— ul{q,ti) (1= 1, 2, .. ., т; i = \, 2, .. ., N) (4.5.2)

и характеризуется математическим ожиданием trih(ti) и корре­ ляционной матрицей Вп. В ненормальной аддитивной схеме спо­ соб комбинации ошибок измерений с измеряемой функцией предполагается аддитивным, а закон распределения ошибок из­ мерений— произвольным. При этом общий вид схемы непрерыв­ ных (4.5.1) и дискретных (4.5.2) измерений сохраняется. Одна­ ко в данной схеме исчерпывающей характеристикой условий проведения эксперимента для непрерывных измерений является функционал плотности вероятностей p[h (t)], а для дискретных измерений — функция плотности вероятностей (или просто плот­ ность вероятностей)

Р{.Ь) = P[b{h\ А&).

Характерным признаком нормальной неаддитивной схемы яв­ ляется нормальный закон распределения ошибок измерений и отличная от аддитивной комбинация ошибок с измеряемой функ­ цией. К этим комбинациям относятся мультипликативная и адди­ тивно-мультипликативная ошибки. Рассматриваемая схема не позволяет в общем случае разрешить связь измеряемой функции, результата измерений и ошибки относительно последней. Пред­ ставим эту схему для непрерывных измерений выражением

Исчерпывающими характеристиками условий проведения экс­ перимента в данной схеме в случае непрерывных измерений яв­ ляются mh(tf и Bh(tu t2), а в случае дискретных измерений m.h(ti) и Bh (г= 1, 2, ..., N). В ненормальной неаддитивной схеме предполагается отличный от нормального закон распределения