книги из ГПНТБ / Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики

являющуюся текущей градиентной матрицей измеряемой векторфункции скорости, так что для малых отклонений измеряемой вектор-функции скорости

вектор малых отклонении текущих координат и составляющих вектора скорости объекта. Можно выразить Дyc(t) через малые отклонения начальных условий. Так как

где 'Vc(t) — Нс(Т)ф(Т, *о)— начальная градиентная матрица из­ меряемой вектор-функции скорости, элементами которой являют­ ся частные производные измеряемых функций скорости по на­ чальным условиям движения.

3.10.4. Текущая и начальная градиентные матрицы измеряемых вектор-функций положения и скорости

Обобщим результаты рассмотренных выше примеров. Запи­ шем для этого формулы (3.10.38) и (3.10.49) в виде

дr{t)

ill

текущая градиентная матрица измеряемых функций первого рода;

ЧГ(0= Е(/)Ф (/, t0) ~

начальная градиентная матрица измеряемых функций первого рода. Мы пришли, таким образом, к общему результату, полу­ ченному в п. 3.10.1.

§ 3.11. КЛАССИФИКАЦИЯ СХЕМ ИЗМЕРЕНИИ

При решении практических задач могут встретиться две ос­ новные схемы измерений:

—схема косвенных измерений;

—схема прямых (непосредственных) измерений.

Схема измерений называется косвенной, если измеряются не сами оцениваемые параметры q$ (/—1, 2, ..., г), а параметры yi (/=1, 2, ..., т), функционально связанные с ними. В общем случае такая связь является нелинейной. Поэтому можно выде­ лить схему косвенных нелинейных измерений

получающиеся линеаризацией нелинейной схемы (3.11.1) в слу­ чае, когда действительное (возмущенное) движение мало отли­ чается от опорного.

Схема измерений называется прямой (непосредственной), ес­ ли измеряются оцениваемые параметры <7; (/ = 1, 2...... г). Для

112

прямой схемы измерений справедливы следующие соотношения тождественности:

=(*=1, 2 ,..., т\ j = 1, 2 ,..., г; т = п). (3.11.3)

Прямая схема измерений (3.11.3) всегда линейна. Приведен­ ные выше схемы измерений являются непрерывными. Однако во многих случаях измерения являются дискретными. Для дискрет­ ных измерений нелинейная и линейная схемы косвенных измере­ ний имеют вид

г /^ ) = г/п = М ? , </);

Г_

а схема прямых дискретных измерений представляется зависи­ мостью

количество моментов измерений на интервале [О, Т\. Будем счи­ тать в дальнейшем, что в момент /* для /-то измеряемого пара­ метра yi может быть получено одно измерение. Поэтому общее число измерений, полученных на интервале [О, Т], равно M — Nm.

рис. 3.11.1. Помимо основных схем измерений, могут быть также смешанные, включающие сочетание рассмотренных основных.

Схемы измерений

Рис. 3.11.1. Классификация схем измерений

Гла в а IV. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Летный баллистический эксперимент может проводиться в различных условиях. Для характеристики этих условий введем понятие условия проведения эксперимента. Под условиями про­ ведения эксперимента в общем случае будем понимать совокуп­ ность предварительных сведений о математических моделях дви­ жения космического объекта, ошибках измерений и оцениваемых параметрах. Это, в частности, класс и конкретный вид исполь­ зуемой в задаче априорной модели движения, способ комбина­ ции ошибок измерений с измеряемыми функциями и статистиче­ ские свойства ошибок, априорная информация об оцениваемых параметрах. Априорные сведения о моделях движения нами рас­ смотрены в гл. II. Цель настоящей главы — проанализировать условия проведения эксперимента, т. е. рассмотреть возможные ошибки измерений и их влияние на конечный результат, а также вид и способы задания информации об ошибках и оцениваемых , параметрах. Заметим, что полный и возможно более точный анализ условий проведения эксперимента имеет важное значе­ ние при решении задач экспериментальной космической баллис­ тики. Результаты этого анализа используются при выборе кри­ терия качества решения и статистического метода обработки ре­ зультатов измерений и, следовательно, существенным образом влияют на свойства оценок параметров.

§ 4.1. ОШИБКИ ИЗМЕРЕНИИ

Каждая из рассмотренных выше измеряемых функций являет­ ся источником информации о движении космического объекта. Для получения этой информации необходимо провести измере­ ние значений функции в некоторые моменты времени t. Измерен­ ное значение функции, как правило, отклоняется от истинного. Это отклонение называется ошибкой измерений. Появление ошибки обусловлено воздействием неучитываемых факторов,

114

имеющих случайный характер. Следовательно, реальный резуль­ тат измерений всегда является реализацией случайной величи­ ны. Для нахождения по результатам измерений оценок парамет­ ров движения и характеристик (параметров модели движения космического объекта) необходимо иметь определенный запас сведений о соответствующей случайной величине. Для этого про­ водят анализ характера ошибок, возникающих при измерениях. Исследования, посвященные анализу ошибок измерений, показы­ вают,. что наиболее конструктивным является способ их описа­ ния, основанный на раздельном анализе факторов, характери­ зующих природу появления ошибок. Такой подход отражает реальные условия работы измерительных средств, которые и оп­ ределяют суммарные ошибки. Различают ошибки трех видов: сингулярные, регулярные и грубые.

Появление сингулярной ошибки связано с ошибкой экспери­ ментатора или специального прибора, снимающего показания, а также наличием неучтенных постоянных или медленно меняю­ щихся факторов, характеризующих условия проведения изме­ рений (изменяющиеся условия распространения радиоволн, ук­ лонение от направления отвеса вертикальной оси измерителя, изменение опорной частоты генераторов, смещение нуля при привязке измерений к единому времени и т. пг). Случайные, мед­ ленно меняющиеся факторы, от которых зависит сингулярная ошибка, изменяются от одного сеанса измерений к другому. В то же время в конкретном сеансе измерений эти факторы дей­ ствуют вполне определенно. Сингулярная ошибка называется также медленно меняющейся или систематической. Заметим, что обычно под систематической понимают ошибку, повторяющуюся и одинаковую во всей серии измерений. Поэтому распростране­ ние наименования «систематическая» ошибка на сингулярную (медленно меняющуюся) является до некоторой степени услов­ ным.

Появление регулярной ошибки связано с воздействием факто­ ров, имеющих флуктуационный характер. Эта ошибка физически возникает в результате прохождения некоторого случайного ста­ ционарного возмущения через измерительную систему. К таким возмущениям относят случайные отклонения условий распро­ странения радиоволн от средних (нормальных) условий, случай­ ные колебания опорной частоты генератора около номинального значения, колебания вертикальной оси измерителя относительно линии отвеса. Регулярная ошибка называется также быстроменяющейся или случайной.

Грубая ошибка связана с резким нарушением условий рабо­ ты измерительных средств при отдельных измерениях. Сюда от­ носятся ошибки, связанные с выходом из строя отдельных узлов или элементов бортовой или наземной аппаратуры измеритель­ ного средства, непредвиденным посторонним вмешательством, грубым просчетом экспериментатора. Если сингулярная ошибка

115

характерна в первую очередь своим медленным изменением или неизменностью в данном сеансе наблюдений, то грубая ошибка присутствует в одном или нескольких измерениях и характерна резким отличием по величине от прочих ошибок.

Необходимо отметить, что с общей точки зрения ошибки всех трех видов являются случайными. Так случайна сингулярная ошибка в серии сеансов наблюдения. Случайны по природе своей и грубые ошибки. Однако к случайным ошибкам относят лишь те, которые имеют нулевое математическое ожидание в данном сеансе наблюдения.

В математическом анализе зависимость между двумя вели­ чинами выражается понятием функции, где каждому допустимо­ му значению одной переменной соответствует одно и только одно значение другой переменной. Такая зависимость называется функциональной. Она не нуждается в опытной проверке. Гораздо сложнее обстоит дело с понятием зависимости случайных вели­ чин, какими являются ошибки измерений. Между случайными величинами, как правило, существует связь особого рода, при которой с изменением одной величины изменяются числовые ха­ рактеристики другой. Такая связь называется вероятностной или стохастической. Существуют показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи. Важнейшими из них явля­ ются коэффициент и интервал корреляции. Эти показатели кла­ дутся в основу признака, по которому отличают регулярную ошибку от сингулярной.

Регулярной ошибкой называют такую, для которой интервал корреляции тк (интервал времени, по истечении которого между ошибками измерений стохастическая связь практически не на­ блюдается) не превосходит времени памяти измерительного средства ^ (т к< 4 ) .

Для сингулярной ошибки коэффициент корреляции суще­ ственно отличен от нуля, а интервал кррреляции значительно превосходит время памяти измерительного средства и соизмерим'

синтервалом измерений [О, Т] (тк^»^п). Вот почему сингулярную

ирегулярную ошибки называют иногда сильно коррелированной

ислабо коррелированной ошибками соответственно.

Обозначим суммарную ошибку измерений l-й измеряемой

.функции через ht{t). Тогда реальные результаты измерений мо­ гут быть представлены в виде

где ut(q, t) — истинное значение измеряемой функции.

Из (4.1.1) видно, что в общем случае ошибка измерений не­ линейным образом связана с измеряемой функцией. Примером нелинейной связи является распространенная в практике муль­

116

типликативная ошибка, т. е. такая, которая умножается на из­ меряемую функцию. В этом случае

где kh— некоторый коэффициент, размерность которого обратна размерности ошибки.

Более простым и распространенным способом комбинации ошибки измерений и измеряемой функции является линейная связь. Такая ошибка складывается с измеряемой функцией и, как уже отмечалось, называется аддитивной:

Большая разновидность комбинаций ошибок с измеряемой функцией получается после предварительного разделения сум­ марной ошибки hi(t) на сингулярную hi(t) и регулярную %;(/) составляющие. Тогда аддитивные ошибки могут иметь вид

z i{t)— ui{q, /) + М О + М /);

При обработке результатов измерений используются зависи­ мости между измеренным zi(t) и истинным Ui(q, /) значением измеряемой функции и ошибкой измерений hi(t), разрешенные относительно последней.'Проще записать такую зависимость для аддитивной суммарной ошибки (4.1.3):

И7

В общем случае нелинейной связи (4.1.1) разрешить эту за­ висимость относительно ошибки измерений не всегда возможно. Чаще принимают допущение об аддитивности ошибок. Счита­ ют также, что сингулярная и регулярная составляющие суммар­ ной ошибки связаны аддитивно:

на рис. 4.1.1.

Рис. 4.1.1. Составляющие суммарной ошибки измерений

§ 4.2. ВЛИЯНИЕ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИИ НА КОНЕЧНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ

Одна из основных задач обработки измерений состоит в вы­ делении полезной информации о движении космического объекта по измеренным с ошибками значениям функций параметров дви­ жения. При этом влияние сингулярной и регулярной составляю­ щих суммарной ошибки на точность решения различно. Пусть, например, измеряется наклонная дальность до геосинхронного спутника Земли из подспутниковой точки, находящейся на эква­ торе. При невозмущенном движении такого спутника результаты каждого измерения в моменты времени ^ должны быть равны высоте орбиты спутника (Я = 35800 км). Если имеет место син­ гулярная ошибка в измерениях дальности, математическое ожи­ дание которой не равно нулю, то конечный результат (высота спутника) будет отличаться от истинного на величину этой ошиб­ ки. Накапливая достаточно большой объем выборки измерений N, мы не получим точного решения задачи даже в случае посто­ янной сингулярной ошибки. Поэтому если от сингулярной ошиб­ ки не удается избавиться на этапе предварительной обработки результатов измерений или непосредственно в процессе решения задачи, то она будет вносить в решение неизвестное системати­ ческое смещение оценок, которое не теряет своего значения с уве­ личением объема выборки N.

118

Регулярная ошибка в каждом сеансе измерений имеет нуле­ вое математическое ожидание М[%;(^)]= 0. Поэтому такая ошиб­ ка может явиться причиной только случайного отклонения реше­ ния от истинного. Величина этого случайного отклонения может быть уменьшена за счет увеличения объема выборки N. Наличие в результатах измерений грубых ошибок существенно искажает результат. Грубые ошибки учитывать заранее невозможно. С ни­ ми приходится бороться в процессе проведения измерений. Если же этого сделать не удается, то при известном общем характере распределения сингулярной и регулярной ошибок путем приме­ нения специальных критериев грубые ошибки исключают на эта­ пе предварительной обработки результатов. Для ликвидации или уменьшения систематического смещения оценок за счет син­ гулярной ошибки целесообразно исключить эту ошибку из ре­ зультатов измерений. Выше было сказано, что сингулярная ошибка в конкретном сеансе наблюдения проявляется вполне определенно. Поэтому ее можно оценить по данным измерений на любом временном интервале ее существования, принадлежа­ щем интервалу измерений [0, Т]. Чтобы найти сингулярную ошибку (или убедиться в ее отсутствии), обычно используют ре­ зультаты определения измеряемых функций по данным «эталон­ ных» (на порядок более точных по отношению к анализируемо­ му средству) измерительных средств. Так, например, при опре­ делении сингулярных ошибок измерений угловых координат радиолокационными станциями можно воспользоваться данными оптических измерительных средств — кинотеодолитов. Эталонные значения измеряемых функций можно получить также на основе статистической обработки результатов измерений всех измери­ тельных средств, привлекаемых для слежения за движением кос­ мического объекта на интервале [0, Т]. В этом случае можно на­ деяться, что такая обработка существенно уменьшает влияние сингулярных ошибок каждого отдельного средства. Для нахож­ дения частной реализации сингулярной ошибки можно восполь­ зоваться представлением этой ошибки линейной комбинацией

ортогональных полиномов Чебышева

где фk(t) — известные координатные функции; уik — неизвестные случайные величины..

119