книги из ГПНТБ / Авдеев, Ю. Ф. Преддверие сказочного мира. (Космос, баллистика, человек)

сильной степени зависят от размеров орбиты, в частности, от большой полуоси, изменяясь пропорционально кубу ее. Напри­ мер, увеличение большой полуоси орбиты в два раза приводит

к возрастанию вековых возмущений в 8 раз, но характер возмущений при этом не из­

меняется.

Очень важный для практи­ ки интерес представляет собой вопрос об эволюции высоты перигея. Исследование этого вопроса показало, что вековое увеличение этой высоты имеет место при расположении пери­ гея во второй или четвертой четвертях орбиты (рис. 35), а вековое понижение этой высо­ ты — при расположении пери­ гея в третьей или первой чет­ верти орбиты. При этом мак­ симум возмущений будет на­ блюдаться, если наклонение

орбиты составляет 90° (к плоскости орбиты Луны или Солнца относительно Земли).

Наряду с этим будет наблюдаться вековое возмущение и других элементов орбиты. Орбита будет непрерывно изменять свою форму, одновременно сложным образом поворачиваясь в пространстве.

Параллельно с вековыми изменениями элементов орбиты спутника, пропорциональными числу оборотов спутника на ор­ бите, будут иметь место так называемые долгопериодические колебания орбиты, связанные с вращением Луны и Солнца вокруг Земли. Эти возмущения носят фактически периодиче­ ский (не вековой) характер и в течение каждого оборота Лу­ ны или Солнца достигают некоторых максимальных значений и затем снижаются до нуля. Наиболее существенную роль иг­ рают долгопериодические возмущения эксцентриситета и вы­ соты перигея, так как возмущение этих величин имеет боль­ шое значение в решении ряда задач, связанных, например, с определением времени существования спутника.

Максимальные амплитуды рассматриваемых долгопериоди­ ческих возмущений в основном определяются высотой апогея и слабо зависят от высоты перигея. Для спутников с высотой апогея более 100000 км максимальная амплитуда колебаний высот апогея и перигея достигает сотен километров.

І5 2

Л и ни и и поверхности Хилла

Конечно же, вопрос о финальном результате полета спут­ ника Земли под влиянием притяжения Луны никак не может быть оставлен без внимания и изучение его, начавшееся со второй половины прошлого века, продолжается до сих пор. Из современных известных исследований, посвященных этому вопросу, можно, например, выделить работу доктора физикоматематических наук М. Л. Лидова «Эволюция орбит искус­ ственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел». Мы также пользовались известны­ ми результатами П. Е. Эльясберга. Эти, как и многие другие исследования, поставлены, если так можно выразиться, на инженерную точку зрения и позволяют дать четкий и одно­ значный ответ на вопрос об эволюции орбит спутников с мак­ симальным учетом возмущающих сил не только от притяжения Луны, но и, скажем, сжатия Земли, притяжения Солнца и др. И в этом состоит величайшая ценность такого рода исследова­ ний, поскольку они направлены на решение именно практиче­ ских задач, выдвигаемых самой жизнью. Однако в небесной механике известны иные, идеализированные пути решения задачи—это определение областей движения материальной точки (в нашем понимании космического аппарата) в грави­ тационном ноле Земли и Луны. .Идеализированные предпосыл­ ки этой задачи состоят в том, что Земля и Луна представляют­ ся в виде материальных точек определенной массы, совер­ шающих полет по круговым орбитам относительно общего для них центра. Это известная ограниченная задача трех тел. Мы уже упоминали, что решение ее в законченных аналитических соотношениях до сих пор еще не найдено. Но для нее известно одно соотношение, которое связывает в виде определенного равенства координаты и скорости космического аппарата в лю­ бой момент движения при данных начальных условиях. Это соотношение еще в прошлом веке было получено известным механиком и математиком Якоби и его обычно называют инте­ гралом Якоби. Использование интеграла Якоби позволило американскому астроному Дж. В. Хиллу в своих исследова­ ниях движения Луны (1877 год) выделить относительно Земли

иЛуны такие области, ограниченные определенными линиями

иповерхностями, куда космический аппарат при заданных начальных условиях заведомо никогда попасть не может.

Поясним последнее обстоятельство. Мы уже говорили о

том, что баллистиков очень часто волнует вопрос: куда в кон­ це концов улетит космический аппарат, если на него одновре-

1 5 S

тленно действует притяжение Земли и Луны? Например, пусть спутник выведен на круговую орбиту с высотой 30 000 км. Спрашивается, где он окажется, скажем, через месяц, через год, через 1000 или 1000 000 лет, если пренебречь притяжением Солнца, нецентральностью полей Л)ны и Земли и сопротивле­ нием атмосферы? Вот именно этот вопрос и рассматривал в своих исследованиях Дж. В. Хилл. Правда, он не отвечает на вопрос — где конкретно будет находиться космический аппа­ рат спустя определенное время полета, т. е. не называет оп­ ределенную точку пространства его пребывания или какие-ли­ бо характеристики орбиты движения. Им указываются лишь области, в которых может находиться космический аппарат при заданных начальных условиях выведения на орбиту, и об­ ласти, в которые спутник никогда не попадет, как бы долгим ни был его полет. Зная начальные условия, после неслож­ ных математических вычислений можно всегда установить область допустимых движений с помощью определенного кри­ терия.

Линии Хилла удобнее всего рассматривать во вращающей­ ся вместе с Землей и Луной системе координат. Поэтому и

.начальные условия движения необходимо задавать также в этой системе координат. Следуя Хиллу, отметим теперь наибо­ лее характерные области возможных движений космического аппарата, полагая первоначально, что все три тела — Луна, Земля и аппарат — совершают полет в одной и той же плос­ кости.

С л у ч а й 1. Пусть начальные условия движения космиче­ ского аппарата таковы, что он находится на очень большом расстоянии от центра масс системы Земля — Луна, исчисляе­ мом многими сотнями тысяч километров, но имеет малую ско­ рость полета, направленную в любую сторону. (Употребляе­ мые нами обороты «очень большое расстояние», «малая ско­ рость» не выражают точных границ рассматриваемого случая движения, а отражают лишь качественный характер началь­ ных условий. Однако, как это уже указывалось, для них Хилл дает строго определенное значение некоторого критерия, о ко­ тором, не вдаваясь в область математических выкладок, здесь говорить не стоит.) Оказывается, что движение космического аппарата при любых начальных условиях, удовлетворяющих указанным ограничениям, может происходить в бесконечной во все стороны плоскости, за исключением заштрихованной на рис. 36, а области, ограниченной кривой, близкой по своей фор­ ме к окружности. Размеры этой области зависят от начально­ го удаления космического аппарата от Земли и Луны —• чем

.154

Рис . 36. Допустимые области движения космического ап­ парата в ограниченной круговой задаче трех тел. В заштри­ хованных областях полет космического аппарата «запре­ щен».

больше удаление, тем эта область шире. Вход в эту зону кос­ мическому аппарату «запрещен»; в лучшем случае он может просто коснуться ее или даже удержаться на ее краю, но войти внутрь никак не сможет. Законы небесной механики здесь выступают в роли неумолимого стража, не подпускаю­ щего к Земле и Луне космический аппарат ближе некоторого строго определенного расстояния. Но при этом космический ап­ парат совершенно не ограничен в свободе своего перемещения вне запретной зоны. Он может делать бесконечные петли вок­ руг «запретного плода», приближаясь, либо удаляясь от него, или навсегда покинуть его, чтобы больше никогда не возвра­ щаться.

Впрочем, такому характеру движения можно дать прибли­

155-

женное качественное объяснение. Когда космический аппарат находится на очень большом расстоянии от Земли и Луны, то приближенно можно считать, что Земля и Луна как бы пред­ ставляют единый притягивающий центр с массой, равной сум­ ме их масс. И для этой модели можно подобрать начальные условия движения, соответствующие круговой, эллиптической или гиперболической орбите. Они в последующем и определят характер движения космического аппарата относительно за­ претной области. Приведенные соображения будут, очевидно, тем ближе к истине, чем дальше в начальный момент нахо­ дился космический аппарат от Земли и Луны.

С л у ч а й 2. Космический аппарат выведен на низкую (с высотой 200—300 км) круговую или слегка вытянутую эллип­ тическую орбиту спутника Земли. Анализ такого движения по­ казывает, что, несмотря на постоянное возмущающее действие Луны, он никогда, ни через год, ни через столетие, ни через века, не выйдет из замкнутой вокруг Земли области, напоми­ нающей собой овал (рис. 36, а). Размеры овала зависят от раз­ меров начальной орбиты космического аппарата и определяют­ ся строгими математическими соотношениями по заданным на­ чальным условиям движения. В течение всего времени поле­ та космический аппарат, словно заключенный в клетку зверь, будет метаться внутри овала, «натыкаясь» на его границу, как на невидимую ограду, и «отскакивая» от нее. Природа построи­ ла довольно жесткое ограничение и оно может служить своеоб­ разной тюрьмой для космических аппаратов. Точно такую же область можно выделить и для спутников Луны, только она бу­ дет скорее похожа на окружность. Необходимо отметить, что, находясь в этих областях, спутник все же не гарантирован от гибели: описывая самые хитроумные траектории, он может в

конце концов столкнуться с Землей или Луной. Однако когда это произойдет — Хилл ответить не мог.

С л у ч а й 3. Начнем теперь постепенно увеличивать разме­ ры орбит спутников Земли и Луны или увеличивать скорость их полета. В результате этого овал, описанный вокруг Земли и близкая к окружности область вокруг Луны начнут увели­ чиваться в своих размерах, «разбухать» и при некоторых зна­ чениях начальных условий коснутся друг друга в точке L{ на линии, соединяющей Землю и Луну (рис. 36, б). Для спутника Земли, по-прежнему ограниченного в своем движении овалом, здесь появляется «лазейка» в точке Ц. Однако проскочить спутнику в эту лазейку не так-то просто. Первая сложность со­ стоит в том, что ему необходимо попасть в нее, а для этого может потребоваться совершить колоссальное количество вит­

.156

ков и петель внутри своей клетки. Вторая сложность обуслав­ ливается тем, что спутник подходит к «лазейке» всегда с ну­ левой (во вращающейся вместе с Землей и Луной системе ко­ ординат) скоростью. Да, да, с нулевой. Какие бы он ни выпи­ сывал кривые, как бы ни метался внутри овала, с какой бы стороны он ни подходил к «лазейке», во всех случаях, до­ стигнув ее, он остановится и будет покоиться, совершая полет вместе с точкой Ly. Но если после этого ему сообщить самую малую, микроскопическую скорость, как он тут же перескочит в область Луны и станет ее спутником. Точно так же обстоит дело и со спутником Луны.

Этот случай полета, как вы уже, наверное, догадались, яв­ ляется самым экономичным, е точки зрения расхода топлива, вариантом полета на Луну. Если стартовать с круговой орби­ ты спутника Земли высотой 200 км (а именно примерно с та­ кой высоты стартуют космические корабли с целью полета к Луне), то скорость отлета космического корабля должна со­ ставлять 10848,90 м/сек. Достаточно уменьшить эту скорость на мизерную величину, например на 1 см/сек, как космический корабль уже никогда не достигнет Луны. Однако, стартуя с этой скоростью от Земли, не следует забывать, что если вы недостаточно точно прицелились и с .первого захода не попа­ ли в «лазейку», то ваш корабль станет спутником Земли и не­ известно, сколько времени понадобится ему, чтобы он сам, без постороннего вмешательства, нашел потерянную лазейку. Но если даже вообразить, что вы, используя фантастически точ­ ные приборы, все же сумели проникнуть через «лазейку», то в дальнейшем полете едва ли будет легче: войдя в зону Луны, спутник начнет двигаться по совершенно неожиданной орбите, не отвечающей вашим намерениям. Вот по этим причинам за­ пуск космических кораблей в сторону Луны с найденным ультраминимальным значением скорости производить нерацио­ нально. Выход из этого положения — увеличение начальной скорости. Но об этом мы будем говорить позже.

Найденная «лазейка» — точка L\ — в небесной механике носит название точки либрации (как мы увидим впоследствии, таких точек в системе Земля — Луна существует несколько). Она имеет строго определенное положение — при расстоянии между центрами Земли и Луны 384 000 км точка либрации L\ находится на расстоянии 58 000 км в направлении к Земле. Ме­ стоположение этой точки обладает любопытным свойством: те­ ло, помещенное в эту точку, будет двигаться вместе с ней до тех пор, пока не подействует малейшая возмущающая сила. Даже небольшое возмущение выведет это тело из равновеско­

157

го положения и оно начнет двигаться либо к Земле, либо к Луне, в зависимости от направления действия возмущения. Значит, точка либрации Lj — точка неустойчивого равновесия. Положение этой точки на линии Земля — Луна или какой-ли­ бо другой пары планет вы можете легко найти и сами: она определяется тем, что действующие на точку силы притяжения планет уравновешиваются центробежной силой при вращении ее вместе с планетами относительно общего для них центра масс.

С л у ч а й 4. Дальнейшее увеличение скорости полета спут­ ника (свыше 10848,90 м/сек при старте с орбиты спутника Зем­ ли, высота которой равна 200 км) или размеров орбиты рас­ ширяет область допустимых движений его и она принимает в плане вид .гантели с неравными грузами на концах (рис. 36, в). «Лазейка» для спутника расширяется и превращается в широ­ кий коридор. Движение спутника будет происходить внутри описанной области; он может побывать у Луны и, обогнув ее, вернуться к Земле, а затем, сделав несколько оборотов вокруг Земли, снова отправиться к Луне. Словом, единственное, что можно утверждать, так это то, что спутник не выйдет из за­ данной области, но где будет находиться в каждый конкрет­ ный момент—неизвестно. Последующее увеличение начальной скорости полета приведет к еще большему «разбуханию» ггнтели и она своим меньшим «грузом» коснется внешней грани­ цы запретной зоны в точке либрации (рис. 36, г). Здесь воз­ никает ситуация, аналогичная только что описанному случаю, а именно: у космического аппарата появляется новая «лазей­ ка», проникнув через которую он может выйти за внешнюю границу и навсегда покинуть Землю. Чтобы достигнуть этой «лазейки», спутнику Земли, стартующему с высоты 200 км, не­ обходимо придать скорость 10849,68 м/сек, которая всего лишь на 78 см'ісек больше скорости достижения точки Lt. Значит, увеличение скорости старта на столь мизерную величину по­ зволит в принципе спутнику улететь от Земли и от Луны. Ко­ нечно, в силу указанных ранее причин отлетать от Земли в бес­ предельное звездное пространство через «лазейку» в точке L2 практически невозможно, хотя бы потому, что никакая система управления ракетой не позволит получить столь высокие точ­ ности выведения. Однако даже относительно небольшое увели­ чение скорости полета всего на каких-нибудь 10—20 м/сек поз­ волит совершить уверенный отлет от Земли со значительно менее жесткими требованиями к точности функционирования системы управления.

Точка Ь2 — это новая точка либрации. Помещенное в ней

158

г

Р и с. 37. Сужение «запрещенных» (заштриховано) областей движения космического аппарата при увеличении началь­ ной скорости полета.

тело будет все время находиться в ней, пока на него не подей­ ствует возмущающая сила, после чего тело либо уйдет в об­ ласть гантели, либо в наружную область. В точке L2 силы при­ тяжения Земли и Луны, как и для точки Li, уравновешиваются

приводит к расширению области допустимых движений спут­ ника. Вместо узкой «лазейки» в точке L2 образуется широкое горло (рис. 37, а), сквозь которое спутник уже легче выйдет наружу и покинет Землю. Правда, это не исключает и того, что он, совершив прогулку в космосе, снова войдет в горло и станет обращаться в компании с Луной и Землей. Наступит,

159

наконец, такой момент, когда возрастание скорости полета спутника при старте его с орбиты спутника Земли (или Луны) приведет к смыканию внутренней и внешней областей допусти­ мых движений спутника слева от Земли в точке L3 (рис. 37, б). Это третья точка либрации, аналогичная точке Ь2. Для ее достижения ракета должна разогнать спутник до скорости 10857,38 м/сек. Если спутник угадает в эти «новые ворота», то он может покинуть Землю, не пролетая мимо Луны. Эти «воро­ та» расположены на расстоянии 380600 км от Земли. Но, как мы уже говорили, лететь через такие ворота невыгодно, по­ скольку требуется крайне высокая точность работы системы управления.

Три указанные точки Lit Ьъ Ь3 — это так называемые пря­ молинейные точки либрации, поскольку они расположены на одной и той же прямой, проведенной через центры Земли и Луны. Общая характеристика для них — неустойчивость по­ ложения находящихся в них тел. В реальной системе Земля — Луна — Солнце без использования специальных корректирую­ щих двигательных установок в них нельзя удержать космиче­ ский аппарат. Правда, для поддержания искусственного равно­ весия потребуются небольшие ускорения, и в этом, может быть, заключается заманчивая идея использования этих точек для решения практических задач.

С л у ч а й 6. При дальнейшем нарастании начальной ско­ рости горловина у точки либрации L3 (как, впрочем, и у точки L2) будет расширяться, а области, не доступные спутнику ни при каком направлении начальной скорости, будут сжиматься (рис. 37, в). Спутник может удалиться от Земли практически по любому направлению, поскольку запретные для него обла­ сти все более и более сжимаются. Наконец, когда скорость спутника на орбите около Земли с высотой 200 км достигнет 10858,54 м/сек, эти запретные области сожмутся в точки L3,

называемые треугольными точками либрации. Ввиду особых свойств этих точек остановимся на них несколько подробнее.

Местоположение точек либрации L4 и L5 найти очень про­ сто. Они всегда лежат в плоскости орбиты движения Луны от­ носительно Земли и образуют с центрами Луны и Земли рав­ носторонние треугольники (рис. 37, г). В процессе вращения Земли и Луны относительно общего для них центра масс рав­ носторонние треугольники, в вершинах которых расположены точки либрации, тоже вращаются вместе с этими телами. Под­ робный математический анализ выявил одну чрезвычайно лю­ бопытную особенность этих точек: они являются устойчивыми. Иначе говоря, если космический аппарат расположен не в са­

160

мой точке и (или Ь5), а на некотором небольшом расстоянии от нее и имеет относительно этой точки небольшую скорость, то с течением времени он никуда не уйдет от точки либрации, а будет двигаться в некоторой окрестности ее.

Еще до недавнего времени изучение движения в окрестно­ сти устойчивых точек либрации носило чисто теоретический ин­ терес, на основании которого было сделано предположение,что вблизи этих точек в системе Земля — Луна также скаплива­ ются какие-то космические тела. Высказанное предположение подтвердилось: в марте — апреле 1961 года астроном Краков­ ской обсерватории К. Кордилевский после многолетних поис­ ков обнаружил два космических «облака», по-видимому, со­ стоящих из метеорной пыли, в районе точки либрации L4. Че­ рез некоторое время подобные «облака» им были найдены в районе точки либрации Ьь.

Независимо от существования естественных объектов в ок­ рестности устойчивых точек либрации возможен также вывод искусственных тел, космических аппаратов или станций, при­ чем такая задача во многих чертах будет сходна с задачей перелета на орбиту спутника Луны. В обоих случаях космиче­ скому аппарату сначала сообщается скорость, необходимая для достижения желаемой точки, после чего осуществляется торможение с целью обеспечения «захвата».

Космический аппарат, помещенный в одну из точек либра­ ции, может быть использован для ряда целей. Одна из целей — уточнение отношения масс Земли и Луны по наблюдениям дви­ жения такого космического аппарата с Земли. Это утвержде­ ние основывается на том, что периодичность движения его бу­ дет зависеть только от отношения масс Земли и Луны. Другая цель заключается в том, что космический аппарат, расположен­ ный достаточно далеко от Земли и Луны, может быть исполь­ зован для изучения солнечной и космической радиации или как ретранслятор при осуществлении радиотелефонной и телеви­ зионной связи между отдельными пунктами на Земле.

Другие возможности использования космических аппара­ тов, помещенных в устойчивые точки либрации, заключаются в том, что они могут служить в качестве промежуточных стан­ ций при дальних перелетах и для изучения Земли. Часто для этой цели предлагают использовать Луну. Но ввиду отсутствия тяготения в точке либрации потребуются меньшие расходы топлива для остановки пролетающего корабля или, наоборот, отлета его, чем на Луне.

Но самые любопытные возможности применения точек либ­ рации — устройство в них космических «складов». Ввиду их