книги из ГПНТБ / Авдеев, Ю. Ф. Преддверие сказочного мира. (Космос, баллистика, человек)

деленные классы. Эти классы включают круговые, эллиптиче­ ские, параболические и гиперболические орбиты. Значит, ког­ д а заданы начальные условия, то последующее движение кос­ мического аппарата будет происходить только по одной из ука­ занных классов орбит и ни по какой другой. Перечисленные классы орбит имеют наглядное геометрическое изображение и поэтому их легко представить в пространстве.

Однако описание геометрических характеристик движения не является самоцелью. На практике очень часто приходится решать вопрос: где находится космический аппарат относитель­ но наблюдателя, расположенного в определенной точке на Зем-

.ле? Для этой цели необходимо уметь описать движение аппа­ рата относительно поверхности (а не центра) Земли, т. е. ука­ зать как бы след его на Земле. Решив эту задачу, далее на­ блюдателю можно дать и направление, в котором в каждый данный момент находится аппарат. Как решают эти вопросы баллистики, вы узнаете из этой главы.

Круговая орбита спутника

Известно, что движение достаточно широкого класса кос­ мических аппаратов происходит по орбитам, близким к круго­ вым. Круговое движение — наиболее простое и его закономер­ ности имеют большую наглядность. Прежде чем начать изуче­ ние кругового движения, необходимо установить условия, при которых оно образуется.

Чтобы получить представление о круговом движении, до­ статочно проделать следующий простой опыт. Возьмите кусок шпагата и к одному из концов его привяжите небольшой груз. Затем, взяв в руку другой конец шпагата, раскрутите грузик вокруг себя. Нить вытянется, и грузик будет описывать окруж­ ность. Это — простейшая модель искусственного спутника Зем­ ли. Здесь грузик выполняет роль летящего космического аппа­ рата, натяжение нити — силу притяжения Земли. Когда гру­ зик вращается вокруг вас, то возникает хорошо известная цент­ робежная сила, которая стремится разорвать нить. Удерживая рукой нить, вы не даете грузику возможности улететь от вас и заставляете вращаться по кругу. Нечто аналогичное происхо­ дит и в космическом масштабе. Когда космический аппарат движется относительно Земли, то силы ее тяготения искривля­ ют траекторию движения, вследствие чего возникают центро­ бежные силы, препятствующие искривлению траектории дви­ жения и направленные в сторону, противоположную направле­ нию притяжения Земли. Круговая орбита образуется именно

92

тогда, когда центробежные силы полностью уравновешены си­ лой притяжения. Переходя от сил притяжения к ускорениям, как это было выполнено выше, мы можем уравнение движения космического аппарата записать в следующей символической форме:

центробежное ускорение = ускорению от притяжения Земли

Как известно, величины центробежной силы или центробеж­ ного ускорения зависят от скорости полета и радиуса орбиты: чем выше скорость движения и меньше радиус орбиты, тем эти величины больше. Океанский теплоход, плывущий по океа­ ну, описывает круговую орбиту, равную радиусу Земли. Воз­ никающие при этом центробежные силы стараются оторвать его от Земли. Однако эти силы достаточно малы, так как ма­ ла скорость движения теплохода. Так, если теплоход плывет со скоростью 30 узлов, то действующая на него центробежная сила составит 0,0003% его веса. При водоизмещении теплохо­ да 100 000 тонн она достигнет 300 кг, т. е. равна весу трех пас­ сажиров и еще некоторого багажа. Поэтому, если вас уверяют, что отплывающий в г. Сочи теплоход загружен полностью, то вы, вооружившись этими данными, можете смело рассчитывать на посадку по крайней мере еще трех человек.

Величины центробежной силы становятся заметнее при по­ лете на сверхзвуковом самолете. Самолет ТУ-144 летает со скоростью 2500 км/час. При этой скорости величина центро­ бежной силы достигает одного процента от веса самолета. Ес­ ли положить вес самолета на Земле равным 150 т, то в «гори­ зонтальном полете» он уменьшится на полторы тонны, т. е. он может нести дополнительно 15 пассажиров.

Еще большее значение центробежная сила имеет при поле­ те гиперзвуковых самолетов. Так, при скорости полета, равной 15 скоростям звука (около 5 км/сек), вес самолета уменьшает­

ся на 40 %• Эти примеры, в частности, свидетельствуют, что увеличение

скорости полета «е просто количественный рост, а качест­ венно новый результат, отражающийся на весовом балансе ле­ тательного аппарата. Именно эти соображения могут наталки­ вать нас на мысль о целесообразности увеличения скоростей

полета.

Но вернемся к полету космического аппарата. Пусть по

Земли. Возникающая при этом центробежная сила будет со­ ставлять 99% от веса аппарата, а неуравновешенным останет­

93

ся только 1% его веса. За счет воздействия этой небольшой силы космический аппарат начнет медленно приближаться к Земле и пролетит многие тысячи километров, прежде чем упа­ дет на Землю. Но стоит только увеличить скорость полета до. 7,791 км!сек, как центробежная сила сравняется с весом аппа­ рата и он начнет летать вокруг Земли. Такую скорость полета баллистики называют первой космической скоростью.

Ранее уже говорилось о том, что скорость есть принципи­ ально необходимое условие осуществления космического поле­ та. Приведенные простые рассуждения со всей очевидностью показали, что существуют строго определенные жесткие гра­ ницы скорости, ниже которых существование космического ап­ парата не обеспечивается. В качестве такой границы принима­ ется первая космическая скорость —■это скорость, которой дол­ жен обладать космический аппарат, чтобы стать искусствен­ ным спутником планеты и двигаться вокруг нее по круговой орбите. Иногда эту скорость называют также круговой.

Чтобы получить математическую зависимость для круговой скорости, обратимся к уравнению движения. Как известно, ес­ ли какое-либо тело движется со скоростью V по орбите радиуса г, то при этом возникает центростремительное ускорение

1 /2

а —---- .

г

В соответствии с приведенным уравнением движения оно долж­ но быть равно ускорению, обусловленному притяжением Зем­ ли, для которого в первом разделе получено следующее выра­ жение (формула 2):

Приравнивая эти ускорения, получим следующее простое со­ отношение для расчета первой космической скорости:

Напомним, что здесь г — расстояние от центра планеты до космического аппарата (радиус орбиты), Ь0 — гравитацион­ ный параметр планеты, значение которого можно взять из табл. 1.

Первая космическая скорость — это не мировая константа (т. о. постоянная величина), неизменная при всех условиях, как остается, например, неизменным число я, равное 3,14... Как легко видеть из формулы (3), она зависит от массы планеты,

94

относительно которой производится полет (посредством вели­

чины числа bо) и радиуса орбиты (или высоты полета над пла­ нетой).

Напомним основные допущения, которые были приняты при выводе формулы для первой космической скорости:

а) гравитационное поле планеты является центральным, т. е. планета является сферой с однородным распределением ее плотности;

б) притяжение других планет, сопротивление атмосфе­ ры, световое давление, а также действие других сил отсутст­ вует;

в) ускорение силы притяжения планеты направлено всегда к ее центру и его абсолютная величина определяется на осно­ вании закона тяготения Ньютона;

г) масса космического аппарата исчезающе мала по срав­ нению с массой планеты.

Понятно, что перечисленные условия никогда (именно ни­ когда!) не выполняются в реальных космических полетах. Фак­ тические условия полета, например, на орбитах спутника Зем­ ли, могут лишь в какой-то мере приближаться к идеализирован­ ным представлениям и поэтому к полученным по этой теории количественным результатам следует относиться критически и с большой осторожностью. Значения космических скоростей должны рассматриваться как некоторые абстрактные величи­ ны, не отвечающие своему содержанию при перенесении их на реальные условия полета. Действительно, вы можете легко рас­ считать первую космическую скорость полета на малой высоте относительно поверхности Земли. Но в нижних слоях атмосфе­ ры сопротивление воздуха, действующее на двигающийся с космической скоростью аппарат, достигло бы громадной вели­ чины, составляющей несколько тысяч тонн. И никакой двига­ тель не в состоянии преодолеть эту силу. Значит, существование космического аппарата здесь совершенно исключено. На высо­ те 32 км плотность воздуха в 100 раз меньше, чем у поверхно­ сти Земли, и сила сопротивления снизится до десятков тонн. Но это также большая величина. На высоте 100 км плотность воздуха уменьшается уже в 1 000 000 раз, но и там при косми­ ческих скоростях полета сила сопротивления будет измерять­ ся килограммами. Этим также пренебречь нельзя. Значит, что­ бы иметь возможность проводить некоторую аналогию между первой космической скоростью и реальными условиями полета, необходимо забираться все выше и выше. Но здесь, наряду с уменьшением сопротивления атмосферы, все с возрастающим эффектом начнет сказываться притяжение Луны, Солнца и

95

других планет. Поэтому область допустимого определения пер­ вой космической скорости лежит не слишком близко к Земле, но и не очень далеко от нее. Обычно ее распространяют от вы­ сот 200 км до нескольких десятков тысяч километров. Но и в этом случае определение допустимо только на относительно небольших участках полета. С течением времени отличия кру­ гового движения от реального будут возрастать и поэтому тео­ рия кругового движения в конце концов приведет к качествен­ но и количественно неверным результатам. И когда мы будем пользоваться этой теорией, то всегда будем иметь в виду, что она соответствует полету космического аппарата только при­ ближенно и на малых отрезках времени. В зависимости от тре­ бований к точности прогноза и высоты начальной орбиты эти отрезки времени могут исчисляться от нескольких часов до суток.

Необходимо также отметить, что круговая скорость для данной высоты полета является однозначной и строго опре­ деленной величиной. Даже самое незначительное изменение скорости деформирует орбиту и она перестает быть круговой, хотя геометрически это отличие может быть и небольшим. Точ­ но так же малые возмущающие ускорения могут незначитель­ но изменять круговую орбиту, и в этих случаях говорят, что движение происходит по почти круговым орбитам.

Проследим характер изменения первой космической скоро­ сти с подъемом на высоту. Как известно, в соответствии с за­ коном всемирного тяготения все тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и об­ ратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Поэтому по мере подъема на высоту сила, с которой тело при­ тягивается к Земле, будет уменьшаться. Например, на высоте 200 км вес тела на 6% меньше, чем у поверхности Земли, на высоте 800 км уменьшение веса достигает уже 20%, а на вы­ соте 2640 км тело становится в 2 раза легче. По этой причине космическому аппарату после подъема на некоторую высоту уже требуется меньшая скорость, чтобы выйти на круговую ор­ биту. Значит, чем выше поднят аппарат, тем меньше величина скорости, необходимой для полета по круговой орбите. Напри­ мер, если спутник поднят на высоту, равную трем радиусам Земли (напомним: радиус Земли равен около 6371 км), то пер­ вая космическая скорость окажется в два раза меньшей, чем у поверхности Земли, и составит всего 3,956 км/сек. Луна — естественный спутник Земли и движется вокруг Земли по поч­ ти круговой орбите со средним радиусом 384 тыс. км. На этом расстоянии от Земли первая космическая скорость составляет

96

1,02 км/сек и примерно с такой скоростью движется Луна от­ носительно Земли.

Таким образом, мы рассмотрели два элемента круговых ор­ бит — радиус и скорость полета. В случае кругового движения эти элементы зависят друг от друга. Задавшись одним из них, с помощью соотношения (3) мы можем определить значение второго элемента. Значит, круговую орбиту можно однозначно характеризовать только одним элементом либо величиной ско­ рости, либо ее радиусом. С этими названными элементами на­ ходится в непосредственной связи третий элемент — период обращения. Периодом обращения космического аппарата, дви­ жущегося по круговой орбите, называется промежуток време­ ни, необходимый для совершения одного витка. Так как длина одного витка равна 2 я г, то, поделив ее на скорость полета, получим формулу для расчета периода обращения

J. _ 2 к г

~~V

Если вместо скорости подставить ее значения из формулы (3), то получим явную зависимость периода обращения от радиуса орбиты и массы планеты:

Отсюда следует, что период обращения тоже является одно­ значной функцией радиуса круговой орбиты: задавшись радиу­ сом, по формуле (4) находим период. Можно решить и обрат­ ную задачу: задавшись периодом обращения, определить соот­ ветствующий ему радиус орбиты.

Основные характеристики кругового движения — скорость полета и период обращения. При изучении характеристик кру­ говых орбит можно отметить, в частности, один любопытный факт. Пусть высоты орбит спутников Земли и Луны равны 200 км, т. е. их радиусы орбит составляют соответственно 6571 км и 1938 км. Однако, несмотря на то, что радиус орбиты спутника Луны более чем в три раза меньше радиуса орбиты спутника Земли, его период имеет большую величину и состав­ ляет примерно 2 часа 7 минут, тогда как у спутника Земли он равен 1 час 28 минут. Значит, при равной высоте спутник Зем­ ли вращается с большей скоростью, чем спутник Луны. Это объясняется тем, что масса Луны примерно в 80 раз меньше массы Земли.

Д ве задачи

Пользуясь полученными результатами о характере круго­ вого движения, рассмотрим две любопытные задачи, дающие наглядные представления о «чувствительности» круговых ор­ бит к изменению отдельных элементов ее.

З а д а ч а 1. Космический аппарат с помощью ракеты дол­ жен быть выведен на круговую орбиту спутника Земли с вы­ сотой 200 км. На сколько необходимо изменить высоту полета, если после выведения скорость космического аппарата увели­ чится или уменьшится на 1 м/сек?

Расчеты показывают, что при уменьшении скорости на 1 м/сек высоту круговой орбиты необходимо поднять примерно на 1,7 и и при увеличении скорости на 1 м/сек опустить на 1,7 км. Пусть, например, поставлена задача создать круговой спутник Земли с высотой не ниже 200 км при условии, что си­ стема управления двигательной установкой обеспечивает по­ лучение заданной скорости с ошибкой 10 м/сек. А это означает, что после выключения двигателя соответствующая круговая орбита может лежать в диапазоне высот от 183 до 217 км. По­ этому, чтобы оказаться на орбите с высотой не ниже 200 км,

лежать в интервале от 200 км до 234 км в зависимости от зна­ ка ошибки в скорости выведения.

Необходимо отметить, что приведенный расчет носит услов­ ный характер. Дело в том, что полученные качественные ха­ рактеристики ограничены требованием вывода на круговую, а не какую-либо другую орбиту. Но, как уже упоминалось, кру­ говая орбита определяется только одним параметром —• ско­ ростью, высотой или периодом. Значит, если в приведенных расчетах сделано предположение, что скорость ракеты в ре­ зультате выведения на орбиту изменилась на 10 м/сек, то тем самым автоматически предполагается, что соответственным об­ разом должен измениться и радиус орбиты, чтобы она оста­ лась круговой. В действительности же дело обстоит совершен­ но не так.

В процессе выведения на орбиту ошибки системы управле­ ния двигателем могут влиять самым различным образом. На­ пример, в результате пусков отдельные ракеты могут оказать­ ся на одной и той же высоте, но иметь разные скорости или иметь одну и ту же скорость на разных высотах. При этих ситуациях приведенными выше результатами пользоваться нельзя, поскольку они получены из условия, что орбита выве-

98

дения — строго круговая. Полученные количественные соотно­ шения имеют смысл для оценки изменения элементов круговых орбит.

З а д а ч а 2. Два космических аппарата движутся по кру­ говым орбитам ИСЗ. На сколько будут отличаться их периоды обращения при разности скоростей полета в 1 м/сек?

Предположим, что высота орбиты первого из аппаратов со­ ставляет 200 км. Тогда имеем:

при высоте полета 200 км V = 7791 м/сек, Т = 88 мин 25 сек, при высоте полета 300 км V = 7732 м/сек, Т = 90 мин 27 сек. Отсюда получаем: при изменении скорости полета на 7791 —

сти на 1 м/сек соответствует увеличение периода обращения примерно на 2 сек. Учитывая предыдущие результаты, можно также сказать, что увеличению радиуса орбиты на 1,7 км со­ ответствует возрастание периода обращения на 2 сек.

Приведенные данные свидетельствуют о большой «чувстви­ тельности» круговых орбит к изменению ее элементов. Даже относительно небольшое возмущение одних из них вызывает ощутимое изменение других. По этой причине наряду с гро­ мадными космическими скоростями и расстояниями баллисти­ кам приходится одновременно учитывать такие «мелочи», как

кругового движения со всей очевидностью подтверждают, что скорость полета есть принципиально необходимое условие осу­ ществления космического путешествия. Мало того, скорость по­ лета автоматически определяет радиус круговой орбиты. Не достигнув первой космической скорости, космическая прогулка становится невозможной. Каждой круговой орбите соответст­ вует только одна, присущая ей скорость; по одной и той же ор­ бите нельзя лететь с различными скоростями. Поэтому, если вы являетесь пассажиром космического корабля, то не упра­ шивайте космонавта, чтобы он летел быстрее или медленнее на той же самой высоте, в пассивном полете он этого выпол­ нить не может.

Почему спутн ик не падает на Землю?

Такой вопрос можно услышать часто. Качественный ответ на него можно получить с помощью следующего мысленного зскперимента. Давайте предположим, что на Земле есть гора высотой 200 км и вы взобрались на ее вершину. Бросайте ка­ мень с вершины горы. Чем сильнее вы размахнетесь, тем даль­ ше будет лететь камень. Вначале он будет падать на склоне горы, затем у ее подошвы и, наконец, точка его падения скро­ ется где-то за горизонтом. Конечно, мы предполагаем, что вы обладаете поистине геркулесовской силой (чему, разумеется, немало способствовал чистый горный воздух). Вы можете ка­ мень бросить и так, что он упадет на противоположной сторо­ не Земли и даже у подошвы горы, но с другой стороны, обле­ тев Землю. Еще небольшое усилие и камень, облетев Землю, просвистит над вашей головой, превратившись в своеобразный бумеранг. И вот теперь свяжите полет камня с вопросом — а почему спутник не падает на Землю.

Приведенный мысленный эксперимент показывает, что спут­ ник беспрерывно падает на Землю. Не удивляйтесь, именно па­ дает и старается соприкоснуться с поверхностью Земли. В чем дело? Давайте предположим, что Земля имеет форму шара, иоле ее центральное и полет спутников происходит непосред­ ственно над ее поверхностью, скажем, на высоте один метр. Теоретически такое допустить можно. На рис. 21 через ОА обо­ значен радиус круговой орбиты спутника. Пусть в некоторый момент спутник находится в точке А и скорость его полета на­

100

тяжения Земли, настолько поверхность Земли за счет сфе­ ричности «отойдет» от прямой линии. Образно говоря, спутник

•беспрерывно как бы старается достичь поверхности Земли, а поверхность Земли, изгибаясь, убегает от него. И этот процесс продолжается в течение всего полета, в результате чего спут­ ник никак не может достичь поверхности Земли. Впрочем, па­ радоксальность этого явления не удивительна, ему можно най­ ти приличную «земную» аналогию. Вспомните опыт, когда рас­ сматривалось вращение грузика на вытянутой веревочке. В процессе вращения вы беспрерывно с помощью веревочки притягиваете грузик к себе, а он тем не менее никогда не до­ стигает вашей руки и вас это совершенно не удивляет. Нечто аналогичное происходит и в космическом масштабе: сила при­ тяжения Земли есть та самая веревочка, которая удерживает спутник и заставляет его вращаться вокруг Земли.

А все-таки она вертится

Мы познакомились с тремя основными характеристиками кругового движения — периодом обращения, скоростью и ра­ диусом орбиты. Пользуясь этими определениями, попробуйте ответить на следующий вопрос:

м о ж н о ли з а п у с т и т ь и с к у с с т в е н н ы й с п у т н и к

ет центральное поле тяготения, влияние всякого рода возмуще­ ний отсутствует и что спутник может быть выведен на круго­ вую орбиту.

Скоропалительный ответ может быть таким: невозможно, поскольку спутник обязательно движется, а не стоит на месте, а поэтому он рано или поздно скроется из наших глаз, уйдя за горизонт. Что ж, в этом доля правды есть: спутник действи­ тельно беспрерывно движется и наличие определенной скоро­ сти есть первопричина его существования. Но это не все. В по­ ставленном вопросе есть такие слова «...висел над вашей го­ ловой». Значит, вы находитесь на Земле и вместе с нею совер­ шаете вращение вокруг ее оси, хотя,по вашему представлению, вы находитесь в покое. Но космические масштабы заставляют мыслить иными, не «земными» категориями. Вспомним Галилея и его знаменитые слова: «А все-таки она вертится!» Об этом забывать нельзя. Однако, не учитывая именно это обстоя­ тельство, и дан отрицательный ответ.

При решении задачи мы сталкиваемся с новыми, простран-

101