книги из ГПНТБ / Смолов, В. Б. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства

Подставляя конъюнкции в явном виде и выполняя преобразо­ вания, находим

Переключательная функция, определяющая группу строк, со­ держащих суммы проводимостей,

2-5. Анализ произвольных РП-схем

Класс последовательно-параллельных схем не исчерпывает всех возможных соединений резисторов и переключателей планарного типа. Примером могут служить мостовые схемы, которые не входят в класс ПРП-схем. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением

40

только таких схем, у которых в каждой ветви может быть включена лишь ПРП-схема. Это ограничение равносильно тому, что мы ис­ ключаем из рассмотрения все схемы, содержащие ветви из одних переключателей. Дальнейшее изложение будет посвящено вопро­ сам анализа таких схем.

Сопротивление ветви, содержащей управляемую РП-схему, мо­ жет изменяться от нуля до бесконечности. Следовательно, Область изменения управляемых сопротивлений (проводимостей) совпадает с областью изменения параметров резисторов, используемых для построения электрических схем. Учитывая это обстоятельство, естественно применить обычные методы анализа электрических схем, используемые в электротехнике, к схемам с переключателями. Заменяя каждое соединение резистора с переключателем некоторым условным элементом, можно получить аналог электрической схемы, которая соответствует РП-схеме. Однако, следуя таким путем, мы прежде всего сталкиваемся с необходимостью введения переключа­ тельных множителей для описания переключателей, соединенных последовательно или параллельно с отдельными подсхемами.

Кроме того, алгебраические преобразования формул, описываю­ щих работу электрических цепей, в большинстве своем основаны на ассоциативности умножения, в то время как это свойство не вы­ полняется для переключательных множителей. Поэтому формула, полученная путем анализа аналога РП-схемы, как правило, допу­ скает несколько схемных интерпретаций в зависимости от порядка перемножения переключательных множителей. Выбор порядка умножения, отвечающего работе заданной схемы, может быть свя­ зан со значительными трудностями. Однако в некоторых случаях правильный выбор, как будет показано ниже, удается осуществить, используя контекст формулы, в которой содержится произведение переключательных множителей.

В качестве общего метода анализа РП-схем не последователь­ но-параллельного типа выберем метод, основанный на преобразо­ вании таких схем. Целью преобразований является приведение схемы к последовательно-параллельному виду. Воспользуемся преобразованием, в основе которого лежит переход от треугольника, построенного из ПРП-схем, к звезде и обратный переход от звезды к треугольнику.

Вначале остановимся на построении схемы звезды, эквивалент­ ной заданному треугольнику. Для. построения воспользуемся экви­ валентными формулами перехода от треугольника с сопротивле­ ниями г12, г13, г23 к звезде, в плечи которой включены сопротивле­ ния гъ г2, г3. Эти сопротивления имеют вид:

У12 + Угз

У\з

41

Подставляя проводимости сторон треугольника, изображенного

Рис. 2-6. Треугольник (а) и эквивалентная ему звезда (б); звезда (в) и эквива-' лентный ей треугольник (г)

в формулы (2-31), (2-32) и (2-33), получаем

42

В полученных выражениях не определен порядок перемножения переключательных множителей в третьем слагаемом знаменателя. Чтобы избавиться от этой неопределенности, проделаем следующие преобразования. Перенесем обратные переключательные множи­ тели в знаменателе формулы (2-34) на основании равенства (2-10) к третьему слагаемому, которое после этого запишется так:

Путем анализа схем, соответствующих этому выражению при различной расстановке скобок, нетрудно показать, что оно незави­ симо от способа расстановки преобразуется к виду:

Каждое плечо звезды представляет собой параллельную схему, параллельно которой включен размыкающий переключатель. Схема звезды, соответствующая заданному треугольнику, приведена на рис. 2-6, б.

Пользуясь формулами преобразования звезды в треугольник:

43

Каждое из найденных сопротивлений представляет последова­ тельную схему, последовательно с которой включен переключатель. Схема треугольника, эквивалентного заданной звезде, приведена на рис. 2-6, г.

Последовательность выполнения преобразований для РП-схем при их анализе рассмотрим на следующем примере. Пусть задана схема, изображенная на рис. 2-7, а. Эта схема не является последо­ вательно-параллельной схемой. Выделим треугольник с узлами 1, 2 и 3, между которыми включены сопротивления

Подставляя эти значения в формулы преобразования треуголь­ ника в звезду и выполняя соответствующие упрощения, получаем:

Рис. 2-7. РП-схема (а) и эквивалентная ей последовательно-параллельная

схема (б), полученная с помощью преобразования треугольника в звезду

Заменяя в заданной схеме треугольник звездой с сопротивле­ ниями, полученными выше, имеем эквивалентную схему, изобра­ женную на рис. 2-7, б. Эта схема является последовательно-парал­ лельной схемой, и выражение для сопротивления относительно ее внешних узлов имеет вид:

Я= — + --------- г - 1------------ •

У4+ *201 _____ }_______|_ _£з_

УЪ + *201

2-6. Основные зависимости, реализуемые РП-схемами

Остановимся на возможности реализации с помощью РП-схем действий умножения и деления. Если переменной, задаваемой дво­ ичным кодом х, соответствует управляемая проводимость

Yx — Уо {х1^ + *222+ . . . -|-x:n_i2” 1- fx n2"),

44

то для того чтобы построить схему, выполняющую умножение на переменную w, которую можно записать так!

В результате перемножения мы получим выражение, представ­ ляющее собой сумму из п х т слагаемых. Это выражение опреде­ ляет параллельную схему. В случае перемножения переменных, представленных трехразрядным двоичным кодом, такое произве­ дение имеет вид:

Yxw — Уо (х,2г -\-л'222 -f- л:323) (ш121 -J- w222-f- ш323) =

= Уо {XxW-j22+ x2Wx23 + x3tiyi24+ xxw22s+ x2w224 + xsw225 -|- + Xjtn^4 + х 2ш325 -f xsw32e).

Число переключателей в схеме, определяемой последним выра­ жением, может быть уменьшено, если записать произведение так:

параллельных схем. Включение подсхем осуществляется переклю­ чателями wlt w2 и w3.

Проводимость, пропорциональную частному от деления пере­ менной w, представленной двоичным кодом, на проводимость Ух, можно получить путем преобразований выражения:

Последовательность преобразований подобных выражений рас­ смотрим на примере для трехразрядных кодов:

последовательных схем с последовательно включенными переклю­ чателями wlt w2, w3. В общем случае для построения схемы, реали­ зующей действие деления, требуется т X п резисторов.

Из сказанного выше можно сделать вывод, что построение схем, выполняющих операции умножения и деления, связано со значи­ тельными затратами элементов.

В заключение отметим, что основными операциями, исполь­ зуемыми в выражениях, описывающих работу РП-схем, являются

45

операции сложения, умножения на ноль, единицу и постоянный коэффициент. Операции сложения и умножения на ноль и единицу реализуются за счет определенного соединения элементов схемы, а умножения на постоянный коэффициент — путем пропорциональ­ ного изменения параметров всех резисторов.

Работа схем, входящих в последовательный и параллельный классы, описывается выражениями, представляющими собой ли­ нейную комбинацию переключательных функций с постоянными коэффициентами. Такие схемы обеспечивают как положительные приращения выходной величины, так и отрицательные приращения при управлении инверсиями переключательных функций. Следо­ вательно, они могут быть использованы для воспроизведения функ­ ций с положительной и с отрицательной первой производной.' Со­ противление параллельной схемы, так же как и проводимость по­ следовательной схемы, позволяет получать обратные зависимости.

Выражения, описывающие работу последовательно-параллель­ ных РП-схем, представляют собой линейную комбинацию переклю­ чательных функций с постоянными коэффициентами и обратных зависимостей. Они обеспечивают воспроизведение функций с лю­ быми сочетаниями знаков первой и второй производных.

Основным ограничением РП-схем является то, что они принци­ пиально могут быть использованы только для воспроизведения по­ ложительных значений заданных величин. Для воспроизведения знакопеременных величин на практике используют обычно дели­ тели напряжения, которым посвящена следующая глава.

Глава т р е т ь я

УПРАВЛЯЕМЫЕ ЦИФРО-АНАЛОГОВЫЕ ДЕЛИТЕЛИ НАПРЯЖЕНИЯ

3-1. Общие сведения

Делители напряжения, используемые для построения цифроаналоговых и аналого-цифровых вычислительных устройств, как правило, представляют собой цепочку, состоящую из двух или большего числа последовательно соединенных резисторов, к внеш­ ним узлам которой подключен источник входного напряжения UBX. В качестве выходного напряжения делителя £/вых используют раз­ ность потенциалов между двумя узлами этой цепочки. Такой де­ литель напряжения называют пассивным. Пассивный' делитель ха­ рактеризуется коэффициентом передачи К, который определяется как отношение напряжений £/ВЬ1Х и t/BX. Следовательно, выходное напряжение делителя является пропорциональным произведению напряжения UBX и коэффициента передачи К- Если для построения делителя использовать управляемые сопротивления в виде ПРПсхем, то получим делитель с коэффициентом передачи, зависящим

46

от управляющего кода К = G(x)-^!1. Делители такого типа на­ зовем управляемыми цифро-аналоговыми делителями напряжения.

Общим свойством всех пассивных делителей напряжения яв­ ляется то, что они позволяют получить заданный коэффициент пе­ редачи только при работе на постоянную нагрузку. В тех случаях, когда делитель должен работать на переменную нагрузку, к его выходу подключают специальный развязывающий усилитель, об­ ладающий высоким входным и низким выходным сопротивлениями.

Другой способ реализации умножения входного напряжения на коэффициент К, позволяющий работать на переменную нагрузку, основан на применении активного элемента — решающего усили­ теля. Известно, что при включении во входную цепь решающего усилителя проводимости Y ъ а в цепь обратной связи — проводи­ мости У а на выходе получается напряжение

где УУУ 2 = К — коэффициент передачи.

Если в качестве проводимостей Y x и У2 использовать управ­ ляемые проводимости, то получим устройство, коэффициент пере­ дачи которого является функцией управляющего кода. В дальней­ шем решающий усилитель с резисторами во входной цепи и цепи обратной связи в силу традиции, хотя и не совсем точно, будем на­ зывать активным делителем напряжения.

3-2. Делители, использующие управляемые резисторы, пропорциональные коду

Простейший пассивный делитель напряжения, состоящий из двух последовательно соединенных проводимостей, изображен на рис. 3-1, а. Если в качестве проводимости Y x использовать управ­

ляемую проводимость, пропорциональную цифровому коду х,

Полученное выражение показывает, что выходное напряжение не является линейной функцией управляющего кода. Вычисляя про­ изводные для этого выражения, находим, что оно имеет положи­ тельную первую и отрицательную вторую производные.

Используя вместо Y х проводимость, пропорциональную обрат­ ному коду х = хшах X,

Y Z = Y,Оl^max

47

получаем напряжение на выходе делителя

Коэффициент передачи такого делителя представляет собой мо­ нотонную функцию х, обладающую отрицательной как первой, так и второй производной.

Поменяв местами проводимости плеч делителя, т. е. полагая, что Y x = Y 0a и К 2 = Y 0x, имеем

Рис. 3-1. Делитель из двух резисторов (а), с коммутацией UBX (б),

из управляемых сопротивлений (в) и с двумя управляемыми про­ водимостями (г)

Дифференцируя это выражение, находим, что оно имеет отрица­ тельную первую и положительную вторую производные. Из (3-3 следует, что делитель может быть использован для воспроизведения обратной зависимости. Однако применение такой схемы ограничено тем, что с уменьшением величины а падает выходное напряжение.

Заменяя Y 2 проводимостью, пропорциональной обратному коду, находим

Коэффициент передачи делителя имеет положительную как пер­ вую, так и вторую производную.

Формулы для коэффициентов передачи этих делителей имеют такой же вид, каю полученные выше зависимости (3-1) — (3-4).

48

Однако соответствие формул описываемым ими делителям опреде­ ляется иначе.

Оно может быть установлено с помощью следующего правила. Если коэффициент передачи делителя из проводимостей описывается одной из четырех полученных выше зависимостей, то делителю, получающемуся при замене проводимостей на сопротивления, со­ ответствует зависимость с противоположными знаками первой и второй производных. Например, заменяя верхнюю проводимость

Это выражение совпадает с выражением (3-3), а знаки его про­ изводных противоположны знакам производных выражения (3-1), определяющего выходное напряжение соответствующего делителя из проводимостей.

Подключение нагрузки к делителю с одной управляемой прово­ димостью вызывает изменение характера воспроизводимой зависи­ мости, поскольку нагрузка изменяет проводимость одного из плеч делителя. Эти изменения могут быть учтены при расчете парамет­ ров делителя, если величина нагрузки известна заранее. Такой на­ груженный делитель воспроизводит заданную зависимость только при работе на расчетную нагрузку. Подключение постоянной на­ грузки, величина которой отличается от расчетной, приводит к по­ явлению методических погрешностей в работе делителя.

До сих пор мы считали, что функции, воспроизводимые дели­ телем, лежат в первом квадранте. Сейчас остановимся на возмож­ ности отображения этих функций в других квадрантах.

Так, изменение полярности источника входного напряжения делителя приводит к изменению знака выходного напряжения. Это свойство можно использовать для получения зависимостей, симмет­ ричных относительно оси абсцисс.

Если управляющий код представляет собой знакопеременную величину, то условимся, что он изменяется в диапазоне от — хтах

цию делителя симметрично относительно оси ординат во втором квадранте, достаточно осуществить управление переключателями резистора без учета знакового разряда кода. При этом противопо­ ложным значениям кода будет соответствовать одно и то же значе­ ние выходного напряжения.

Для получения нечетной функции на выходе делителя, напри­ мер функции, расположенной в первом и третьем квадрантах, не­ обходимо осуществить управление переключателями резистора без учета знакового разряда и выполнить подключение источника дру­ гой полярности при отрицательных значениях кода. Переключение

49