книги из ГПНТБ / Смолов, В. Б. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства

Действительно, выражению (2-20) соответствует схема, в кото­ рой параллельно проводимости Y и переключателю ср (х) присое­ динен переключатель %(х). Замыкание переключателя %(х) делает проводимость схемы равной бесконечности, независимо от положе­ ния переключателя ср (х) . Если же % (х) = 1, то проводимость схемы определяется положением переключателя ср (х). Но %(х) является импликантой ср (х), и поэтому при любом наборе значений пере­ менных а, на котором %(а) = 1, функция ср (а) также должна быть равна единице. Следовательно, проводимость рассматриваемой

схемы определяется только проводимостью переключателя %(х), что и доказывает справедливость равенства (2-22).

С помощью аналогичных рассуждений доказывается и второе утверждение. Если %(х) является импликантой функции ср (х), то справедливо равенство

(7й Н “хУМ-

Описанные преобразования могут быть использованы для умень­ шения числа переключателей, входящих в схему. Последователь­ ность преобразования рассмотрим на примере формулы (2-20).''

Вначале, пользуясь равенством (2-10), припишем множитель —

*3

первому слагаемому правой части (2-20), т. е. умножим все члены знаменателя на х3. Выпишем отдельно второе слагаемое знамена­ теля:

*3

V s + гь

Перенося х3 в знаменатель, получаем выражение

+г* + гь

хя ^ х3

Приписывая затем множитель 1/х2, согласно равенству (2-10), третьему слагаемому знаменателя (2-20), получаем это слагаемое в виде:

r 3x i j

31

Таблица 2-2

Преобразования ПРП-схем

32

_ * i

.откуда после перемножения находим: 1_______

*2 ( 1 + Г%Х2Х2

*1

поскольку Х 2х 2 — 0 .

Переписывая преобразованные выражения в знаменатель и пе­ ремещая обратно переключательные множители, получаем выра­ жение

которое является эквивалентным исходному. Этому выражению соответствует схема, изображенная на рис. 2-1, б.

Рассмотрим еще один пример. Пусть требуется преобразовать выражение

*1Ух + х%Уг

Схема, соответствующая этому выражению, состоит из четырех переключателей и двух резисторов. Вначале, применяя равенство (2-10), перепишем выражение следующим образом:

которое может быть реализовано схемой с двумя переключателями и одним резистором.

Перейдем теперь к задаче синтеза ПРП-схем. Основной формой задания работы ПРП-схем является таблица, поэтому примем ее в качестве исходной формы задания для синтеза. Общую задачу синтеза схемы для произвольной таблицы разобьем на несколько частных задач. Вначале рассмотрим построение схемы для таблицы, у которой в каждой строке содержится либо нуль, либо сумма про­ водимостей, либо одна проводимость. Покажем, что такую таблицу можно реализовать с помощью параллельной схемы.

Для синтеза нам потребуется специальная переключательная функция [7, 11], называемая элементарной конъюнкцией и обозна­ чаемая следующим образом:

К5(х) = х ° ^ . . . х°пп.

Элементарная конъюнкция представляет собой такую переклю­ чательную функцию, зависящую от п переменных-, которая равна нулю на всех наборах за исключением одного, который совпадает

с набором о, определяющим расстановку знаков инверсии над пере­ менными, образующими конъюнкцию. Следовательно, чтобы по­ строить элементарную конъюнкцию, равную единице на заданном наборе о, необходимо расставить знаки инверсии над переменными согласно компонентам заданного набора.

Двоичному набору о поставим в соответствие десятичное число j (а), которое вычисляется по следующей формуле:

/ Й = 2 2 " ^ ,

*=1

34

сумму (2-26) на обратный переключательный множитель 1/со (х), мы получаем выражение, которое обращается в бесконечность только на заданных наборах:

из параллельной схемы с переключателем, управляемым функцией

со (х), который включен параллельно внешним узлам схемы. Пользуясь дуальными преобразованиями из равенства (2-27),

получим аналитическое описание, соответствующее таблице, опре­ деляющей сопротивление

где Cjs является сопротивлением или суммой сопротивлении.

В качестве примера построим схему, заданную табл. 2-4. Этой таблице, согласно выражению (2-25), без учета строк с бесконеч­ ным сопротивлением, можно поставить в соответствии зависимость:

R' — К2(Гх Г2) + К3Г1 4“ К6(г1+ Г-2 4“ гз) 4' R 74 1 4~ Тз)-

Раскроем скобки и осуществим перегруппировку членов:

R ' — ХхХ2 (х3гх 4-x3 r4 4" ХхХ2 (x3 rj 4- х3 г4 4-

4" Х2 Х3 ( Х ХГ2 4- ХхГ2) 4- ХхХ2 (х3 г3 4- х3 г3).

Согласно равенству (2-12), каждое выражение в круглых скоб­ ках равно соответствующему сопротивлению, поэтому

R ' = ХхХ2Гх4- ххх2Гх4- Ххх3г2 4-*1 х2г3.

Повторяя преобразование для первых двух членов последнего выражения и выносд общие множители за скобку, находим

R' = Х2{Гх + Х3Г2+ ХхГ3).

36

Функция со (xlt х 2, х3), определяющая строки таблицы с беско­ нечным сопротивлением, имеет вид

со (jfi, х2 x3) = K i\/K s = x1x2x3\/x1x2x3 = x2xs,

а ее инверсия

со {хг, х2, х3) = х2х3 = х2\]х3.

Используя функцию со (хъ х 2, х3), окончательно получаем сопро­ тивление, задаваемое таблицей в виде

R = -1=- (х2 (гг+ Х3Г2+ Xfo)).

Х 2 V х 3

Рис. 2-5. Последовательно-параллельные схемы, построенные по табл. 2-4

и 2-5

Схема, реализующая это выражение, изображена на рис. 2-5, а. В общем случае в строках рабочей таблицы могут быть указаны суммы сопротивлений, проводимостей или их комбинации, а также нулевые и бесконечные значения. Как и в предыдущем случае,

строки таблицы разобьем на группы:

а) строки, содержащие проводимость или сумму проводимостей; б) строки, содержащие сумму сопротивлений; в) строки, содержащие как сумму сопротивлений, так и сумму

проводимостей одновременно; г) строки с бесконечным значением проводимости.

Аналитическое представление таблицы, задающей управляе­ мую проводимость,- будем искать в виде суммы проводимостей пер­ вых трех типов строк, умноженной на обратный переключательный множитель, реализующий бесконечные значения проводимости четвертой группы:

у = (уя+ у 6+ у ъ) - = ^ - .

(О (х)

Функция со (х), входящая в обратный множитель, строится; по правилам, сформулированным ранее для предыдущего случая.

37

Проводимость строк, представляющих собой сумму проводи,

мостей, запишем так:

и

Проводимость строк, представляющих собой сумму сопротив­ лений, вначале представим в виде величины, обратной сопротив­ лению этой группы строк:

S— 1

где /2 — число строк в группе «б», Cjs — сопротивление Д-й строки.

Однако значение приведенного выражения обращается в беско­ нечность на тех наборах, которые не соответствуют строкам, входя­ щим в данную группу, что приводит к неверному воспроизведению значений заданной таблицы. Чтобы исключить влияние бесконеч­

ных значений на общую проводимость, построим функцию %' (х), которая принимает значения, равные единице, на всех наборах, определяющих строки данной группы:

%'{х)=У К,,

i s= 1

Каждая строка, принадлежащая группе «в», может быть пред­ ставлена в следующем виде:

к , ( ь , + ± ) .

где Cj — сумма сопротивлений /-й строки, bj — сумма проводимо­ стей /-й строки.

Тогда проводимость строк группы «в» запишем так:

S = 1

Второе слагаемое проводимости Yc принимает значения, равные бесконечности, на тех наборах, которые определяют строки, не входящие в третью группу. Чтобы исключить влияние этих значе­

33

ний на общую проводимость, построим переключательную функцию

*"(*)= V К/,.

Умножая второе слагаемое проводимости Ys на у" (jc), полу­ чаем проводимость строк, образующих данную группу,

1

Суммируя все проводимости, окончательно получаем:

2 * -

S = 1

Полученная проводимость реализуется ПРП-схемой, состоящей из параллельного соединения: параллельной схемы, двух последо­ вательных схем с последовательно включенными переключателями

Вкачестве иллюстрации описанной процедуры синтеза приве­ дем несложный пример. Пусть требуется построить схему управ­ ляемого сопротивления, работа которого задается табл. 2-5. Эта таблица имеет всего одну строку с бесконечным значением сопро­ тивления, поэтому функция

«(лг1э х2, х3) = Ks = ВДАз = хг\/ х2\/ ха.

Втаблице имеется три строки, сопротивление которых является суммой сопротивлений или просто сопротивлением. Сопротивление этой группы строк

39