книги из ГПНТБ / Смолов, В. Б. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства

Рис. 2-3. Соединение резистора и переключателя (а), (б); схемы, иллюстрирующие: отсутствие ассоциативности при перемножении прямого и обратного переключательных множителей] (в) и свойства

обратного переключательного множителя (а); эквивалентные схемы (б) и (е) в случае ортогональности функций фх (х) и ф2 (х)

В последнем произведении величину — назовем [обратным

переключательным множителем.

Сопротивление ветви, состоящей из параллельного соединения резистора с сопротивлением г и схемы из переключателей с функцией

20

проводимости cp (х) (рис. 2-3, б), примем равным произведению г у (х). Действительно, если все пути между внешними узлами

всхеме из переключателей разомкнуты, что соответствует значению

Ф(х) — 1, то сопротивление рассматриваемой ветви равно сопротивлению резистора. Если же проводимость схемы из переключате­

лей отлична от нуля, т. е. ф (х) = 0, то независимо от величины резистора сопротивление ветви равно нулю.

Воспользовавшись обратным преобразованием, найдем величину

Многие свойства последовательного и параллельного соедине­ ний резисторов со схемами из переключателей совпадают, поэтому при описании этих свойств обозначим параметр резистора буквой Ь, полагая, что его можно интерпретировать как проводимость при последовательном соединении или как сопротивление при парал­ лельном соединении резистора со схемой из переключателей.

Первое свойство описываемых соединений заключается в том, что величина проводимости сопротивления ветви не зависит от по­ следовательности соединения резистора и схемы из переключате­ лей. Это свойство выражается в коммутативности умножения па­ раметра резистора на переключательный множитель:

Второе свойство состоит в том, что при включении двух схем из переключателей последовательно или параллельно с резистором величина проводимости (сопротивления) такого соединения обра­ щается в нуль независимо от того, в какой из схем все пути между внешними узлами оказались разомкнутыми. Следовательно, резуль­ тат умножения двух или большего числа переключательных мно­ жителей на параметр резистора не зависит от того, в какой последо­ вательности производить умножение — такое умножение обладает свойством ассоциативности:

в произведения входят только прямые или только обратные пере­ ключательные множители. Свойство ассоциативности не сохра­ няется, если в произведения входят прямой и обратный множители одновременно,

( 2 ' 5 )

21

сутствие свойства ассоциативности у такого произведения создает ряд трудностей при преобразовании РП-схем.

Проводимость параллельного соединения ветвей, состоящих из последовательного включения резистора и схемы из переключате­ лей, так же как сопротивление последовательного соединения вет­ вей, представляющих собой параллельное соединение резистора и схемы из переключателей, равна сумме проводимостей (сопротив­ лений) отдельных ветвей. Нетрудно показать, что такая сумма об­ ладает свойствами коммутативности и ассоциативности:

Проводимость (сопротивление) последовательного (параллель­ ного) соединения схемы из переключателей с функцией проводи­

мости ф (х) и подсхемы с проводимостью Y (сопротивлением R), состоящей из параллельного (последовательного) соединения вет­

вей, равна произведению Уф (х) (Яф (х)). Описание рассматривае­ мого соединения может быть выполнено другим способом — путем внесения изменений в функции проводимости каждой ветви.

В случае подсхемы, образованной параллельным соединением ветвей, каждая из которых состоит из резистора и схемы из пере­ ключателей, включенной последовательно с ним, последовательное присоединение схемы из переключателей ф (х) равноценно вклю­ чению такой схемы в каждую ветвь подсхемы. Аналитически такое присоединение может быть выражено с помощью умножения пере­ ключательного множителя каждой ветви на ф (х). Аналогично

присоединение схемы с проводимостью ф (х) параллельно подсхеме с сопротивлением

Г1Ф1 М + Г 2Ф2(х)

может быть учтено путем умножения переключательных^ множи­ телей каждой ветви на ф (х).

Рассмотренные преобразования выражений, описывающиера­ боту РП-схем, показывают, что для таких выражений справедлив закон дистрибутивности, связывающий умножение на переключа­ тельный множитель и сложение:

ф (х) (&1ф! (х) + Ь2ф2 (х)) = 6 ^ (х) ф (х) + 62ф2 (х) ф (х). (2-8)

Дистрибутивность умножения сохраняется для этих выраже­ ний при умножении на произвольный действительный множитель, поскольку такое умножение соответствует пропорциональному из­

22

Параллельное присоединение схемы из переключателей о|> (х)

к подсхеме с проводимостью yy^i (х) + г/2ф2 (х) обращает прово­ димость между внешними узлами такого соединения в бесконеч­

ность на тех наборах переменных х = (х1у х 2, . . . , хт), на кото­

рых ф (х) = 0. Согласно принятому способу описания последова­ тельных соединений, проводимость рассматриваемой схемы может быть записана в виде:

_1__ (</itPi(*) + M>2 (*)) Ф (х)

Величина проводимости такой схемы не зависит от места па­ раллельного присоединения схемы из переключателей, поэтому обратный переключательный множитель может быть отнесен к лю­ бому слагаемому:

Это свойство обратного множителя сохраняется и при последо­ вательном подключении схемы из переключателей к подсхеме с со­

противлением Гх(pi {х) + гафа (х), как показано на рис. 2-3, г, и остается справедливым для нескольких обратных множителей. В об­ щем виде это свойство может быть описано следующим образом:

Описанные свойства позволяют выполнять преобразования ана­ литических выражений РП-схем. Возможности таких преобразо­ ваний рассмотрим на примере простейшей схемы, приведенной на рис. 2-3, д. Аналитическое выражение для проводимости такой схемы имеет вид:

у = г/хфх (*)-I- У/2Ф2 W .

Если в последнем выражении Ф1 (х) = фа (х), то

У= ЧЛх){Ух+Уг)

исхема оказывается равносильной последовательному соединению переключателя и резистора с проводимостью уг + г/2.

Если ф2 (х) = Фх (х), то, используя представление инверсии

переключательной функции ф2 (х) в виде разности 1—фх (х) и под­ ставляя эту разность в выражение для проводимости, получаем

У = Фх W */х + (1 — Ф1(х)) у2

или

23

В последнем выражении разность Ау = у г—у 2 может быть как положительной, так и отрицательной. Отрицательную величину приращения можно интерпретировать как отключение резистора, приводящее к уменьшению общей проводимости схемы. Такое от­

ключение должно происходить при значениях <рх (х) = 1, что рав­ носильно применению размыкающего контакта в схеме. Следова­ тельно, для того чтобы изменить знак приращения, необходимо раз­ мыкающий контакт заменить замыкающим и, наоборот, замыкаю­ щий контакт — размыкающим. Правомерность такой замены легко

доказывается с помощью равенства Фх (х) = 1 — фх (х). Выпол­ няя подстановку этого равенства в формулу (2-12) при условии, что приращение проводимости отрицательно, имеем

У = У2 — (1— <PiW) АУ,

откуда получаем

у = (у2 — Ау) + фх (х) Ау.

Все изложенное выше позволяет сформулировать правило пре­ образования отрицательных приращений, которое может быть вы­ ражено в виде следующего равенства:

Интересно отметить, что равенство проводимостей в различных ветвях рассматриваемой схемы не приводит ни к каким упрощениям.

то схему можно представить в виде последовательного соединения резистора и переключателя, управляемого функцией

где MyL-=rt.

24

Действительно, при любом наборе значений переменных в силу ортогональности системы функций только одна функция ц>к (х) должна быть отлична от нуля, поэтому после подстановки значений переключательных функций в правую и левую части равенства (2-15) получаем Уук= 1'к.

Равенство (2-15) подтверждает, что в случае ортогональной си­ стемы переключательных функций, обладающей свойством (2-14), сопротивления схемы, состоящей из параллельного соединения вет­ вей, и схемы, состоящей из последовательного соединения ветвей, совпадают при любом наборе значений управляющих переменных при условии, что резисторы в соответствующих ветвях таких схем одинаковы. Например, сопротивление схемы на рис. 2-3, д равно

сопротивлению схемы на рис. 2-3, е при условии, что срх (х) ср2 (х) = = 0 и <рх (х) V Фз (х) =/=0; такие схемы являются эквивалентными

2-3. Свойства РП-схем. Классы последовательных

ипараллельных схем

Вобщем случае произвольные РП-схемы S x и S 2 назовем экви­ валентными, если при любом наборе значений управляющих пере­

менных сопротивление между внешними узлами схемы равно сопротивлению схемы S 2. Другими словами, схемы эквивалентны, если их работа одинакова. Естественно, что эквивалентные схемы могут иметь разную струк­

тем же значениям управляющих переменных, расположены экви­ валентные сопротивления (проводимости), то схемы, соответствую­ щие этим таблицам, эквивалентны. Нетрудно показать, что рабо-

23

чая таблица схемы, приведенной на рис. 2-1, а, совпадает с табли­ цей схемы на рис. 2-1, б, что и доказывает эквивалентность этих схем.

Для каждой планарной РП-схемы может быть построена дуаль­ ная ей схема. Построение такой схемы может быть выполнено по правилам преобразования электрических схем, которые необхо­ димо дополнить правилами преобразования переключателей. Эти правила заключаются в том, что размыкающий (замыкающий) пе­ реключатель в исходной схеме преобразуется в замыкающий (раз-

Рис. 2-4. Дуальные РП-схемы (а) и (б), параллельная РП-схема

(в), последовательная РП-схема (г)

мыкающий) переключатель в дуальной схеме. Пример построения дуальной схемы приведен на рис. 2-4, а и б.

Основное свойство дуальных схем заключается в том, что ана­ литическое выражение, описывающее проводимость (сопротивле­ ние) дуальной схемы, должно совпадать с выражением сопротивле­ ния (проводимости) исходной схемы. Используя это свойство, не­ трудно сформулировать правило построения выражения для ду­ альной схемы. Для этого нужно только заменить в заданном выра­ жении все сопротивления на проводимости, а проводимости — на

r\ + V x

26

Заменяя сопротивления проводимостями, получаем проводимость дуальной схемы в виде:

(2-17)

Приступая к изучению различных классов РП-схем, в первую очередь остановимся на рассмотрении двух простейших классов схем: последовательных и параллельных.

Определим параллельные РП-схемы следующим образом:

1)резистор с проводимостью у является параллельной схемой;

2)если Р — параллельная схема и ср (х) — схема из переклю­

чателей, то последовательное соединение схем Р и <р (х) является параллельной схемой;

3) если Р х — параллельная схема и Р 2 — параллельная схема, то параллельное соединение схем Р 1 и Р %является параллельной схемой.

Пример параллельной РП-схемы приведен на рисунке 2-4, в. Согласно определению параллельная схема может состоять из параллельных ветвей. В каждую ветвь может быть включен рези­ стор с последовательным переключателем (или несколькими пере­ ключателями). Такие ветви могут в свою очередь объединяться в подсхемы, причем последовательно с каждой такой подсхемой

также может быть соединен переключатель.

Исходя из анализа возможного вида допустимых соединений, можно сделать заключение, что структура параллельных схем должна описываться с помощью скобочных выражений с переклю­ чательными множителями либо в виде суммы таких выражений. Каждое скобочное выражение с переключательными множителями может быть преобразовано с помощью равенства (2-8) к бесскобоч­ ному виду. Следовательно, любая параллельная схема описыва­ ется следующим выражением:

Назовем это выражение нормальной формой последовательной схемы. Например, проводимости схемы, изображенной на рис. 2-4,в, соответствует выражение:

У —(УIхIхi + У2) хз + (Уз + yi) х4>

которое может быть преобразовано к нормальному виду:

У = Угхгх2хз + Узхз + Узх4+ У4Х4-

Перейдем теперь к анализу класса последовательных схем. Схемы, образующие этот класс, должны удовлетворять следующему определению:

27

1)резистор с сопротивлением г является последовательной схе­

мой;

2)если Q — последовательная схема и <р (х) — схема из пере­

ключателей, то параллельное соединение схем Q и ср (х) является последовательной схемой;

3) если Qi — последовательная схема и Q3 — последователь­ ная схема, то последовательное соединение схем Qi и Q2 также яв­ ляется последовательной схемой.

Последовательная схема, отвечающая такому определению, при­

ведена на рис. 2-4, г.

Интересно отметить, что последовательные и параллельные схемы связаны дуальным преобразованием, т. е. для любой после­ довательной схемы существует дуальная ей параллельная схема и наоборот. Основываясь на последнем утверждении, можно пока­ зать, что каждая последовательная схема может быть представлена в нормальной форме:

Основной зависимостью, описывающей как работу, так и струк­ туру последовательных и параллельных схем, является линейная комбинация переключательных функций с положительными по­ стоянными коэффициентами. Однако эта зависимость может быть использована для получения как положительных, так и отрица­ тельных приращений проводимости (сопротивления) схемы при изменении управляющего кода. Чтобы показать возможность по­ лучения отрицательных приращений, представим переключатель­

ные функции в выражении (2-18) в виде разности 1 — срг (х). Тогда после простых преобразований получаем:

тт

Если же требуется получить как положительные, так и отрица­ тельные приращения выходной величины от одной схемы, то необ­ ходимо преобразовать только часть переключательных функций в выражении (2-18). При этом схема описывается формулой, имею­ щей следующий вид:

Такая зависимость позволяет в принципе получить 21 положи­

тельных и 2т отрицательных различных значений приращения в схеме.

28

2-4. Класс последовательно-параллельных схем

Другой класс, включающий в себя только что рассмотренные классы последовательных и параллельных схем, носит название класса последовательно-параллельных схем. В дальнейшем сово­ купность таких схем будет называться сокращенно классом ПРПсхем. Последовательно-параллельную схему определим следующим образом:

1)последовательная схема является ПРП-схемой;

2)параллельная схема является ПРП-схемой;

3)если Т является ПРП-схемой, то последовательное соедине­

ние схемы Т и схемы из переключателей является ПРП-схемой;

4)если Т является ПРП-схемой, то параллельное соединение схемы Т и схемы из переключателей является ПРП-схемой;

5)если Т х и Т 2являются ПРП-схемами, то их последовательное соединение также является ПРП-схемой;

6)если схемы Т х и Т 2являются ПРП-схемами, то их параллель­ ное соединение также является ПРП-схемой.

Примеры ПРП-схем приведены на рис. 2-1, а, б и 2-4, а и б. Согласно определению, ПРП-схему можно разбить на подсхемы, которые являются либо последовательными, либо параллельными схемами, и, следовательно, описываются с помощью линейных функций. Присоединяя последовательно или параллельно таким подсхемам переключатели, получаем соединения, которым соот­ ветствуют выражения, представляющие собой произведения линей­ ных функций и переключательных множителей. Представляя по­ добные соединения в виде проводимости для описания их парал­ лельного включения или в виде сопротивлений для описания их последовательного включения, найдем аналитическое выражение для ПРП-схемы. Примерами такого описания схем, изображенных

на рис. 2-4, а и б, являются формулы (2-16) и (2-17).

Если формула, описывающая схему, представляет собой а) ли­ нейную функцию или величину, обратную линейной функции с пе­ реключательными множителями, б) сумму линейных функций и

обратных им величин с переключательными множителями либо в) величину, обратную такой сумме, то назовем такое выражение нормальной формой ПРП-схемы. Нормальная форма описывает как структуру, так и работу ПРП-схемы. Чтобы найти сопротивле­ ние (проводимость) схемы относительно ее внешних узлов, доста­ точно подставить значения управляющих переменных в нормаль­

rtxз + ГЪ

гзх г + '

29