книги из ГПНТБ / Смолов, В. Б. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства

это обстоятельство учитывается подстановкой суммарных коэф-

Степень аппроксимирующего полинома может быть повышена за счет использования в цепях обратных связей операционных усилителей линей­ ных и квадратичных цифровых управляемых сопротивлений (0 — ЦУС).

На рис. 6-7 изображена схема полиномиального аппроксиматора, позво-

4

ляющая получить полином 4-й степени и тлх— ^ А ф 11 на одном операцион- fc=o

ном усилителе.

Токовый квадратичный элемент ТКЭ, включенный во входную цепь

операционного усилителя ОУ, обеспечивает изменение тока, выходящего из

узла а по зависимости вида / а = £/0 (а0 + афЗ + а202)- Сопротивление Rao

цепи обратной связи ОУ изменяется в зависимости от кода. 0 по закону квад­ ратичного полинома:

где 60, bly b2 — постоянные коэффициенты, определяемые величинами от­ носительных сопротивлений сх и с2:

где постоянные коэффициенты Aj (j = 0,4) определяются параметрами ре­

зисторов входной цепи и цепи обратной связи ОУ.

6-2. Дробно-рациональные цифро-аналоговые аппроксиматоры

В тех случаях когда полиномиальная аппроксимация не обеспе­ чивает заданных характеристик цифро-аналогового функциональ­ ного преобразования (точность, габаритно-весовые показатели, стоимость, надежность и т. д.), следует проанализировать возмож­

Пп

Q (Х )= 2 AkX k! 2 BkX k, так чтобы коэффициенты Ak, Bk послед- fe=i k=\

ней удовлетворяли заданной ошибке на всем диапазоне изменения аргумента [Хнач, Х кон]:

150

/ = 0, 1, 2, . . . , tn-j- я -f-1, j

где Е — амплитуда ошибки ет (X,).

Эта система не имеет единственного решения, но проектиров­ щиков интересует решение, не имеющее полюсов на интервале [Хнач, Хкон]. Такому решению наиболее часто соответствует наи­ меньшее из всех возможных по абсолютной величине значение Е, поэтому ноль является хорошим начальным приближением. Иссле­ дованию сходимости при различных вычислительных схемах ал­ горитмов решения системы (6-31) посвящены многие математиче­ ские работы [2, 36], в которых алгоритм сводится к двухступенча­ тому итерационному процессу. На первом этапе («внутренняя ите­ рация») методом итерации по известным приближениям для крити­ ческих точек решается система (6-31). На втором этапе находятся экстремумы г1к кривой ошибки em(X) = F (X) — Q (X), прини­ маемые за новые приближения для критических точек.

Вработе [36 ] доказано, что сходимость итерационного процесса определяется удачным выбором начальных приближений в крити­ ческих точках.

Вприложении к работе [80] приводится программа на языке АЛГОЛ-60 дляЦВМ«Минск-22»,составленная поалгоритму

151

Таблица 6-4

Дробно-рациональные аппроксимации тригонометрических функций

152

будут совпадать с заданной точностью. Как было отмечено ранее,

удобно принять Е0 = 0.

В табл. 6-4 приведены аппроксимации ряда элементарных функ­ ций F (X), полученные по алгоритму Фрезера и Харта.

Рациональные приближающие дроби Q (X) могут быть обра­ зованы прежде всего при помощи пассивных схем (рис. 6-8, а), содержащих по аналогии с известными потенциометрическими [55] или широтно-импульсными [61] схемами цифровые линейные

Рис. 6-8 . Пассивные схемы ДРА

Приближающая рациональная дробь, воспроизводимая пассив­ ными схемами, имеет взаимосвязанные коэффициенты Ак, Вк, и поэ'тому возможности ее применения весьма ограничены. Так, на-

153

Схема 6-8, в пригодна для воспроизведения секансной функции:

однако подобные схемы легко выполняются с применением цифро­ вых параллельных управляемых резисторов ( 5Д-ЦУП). Более широкие возможности с точки зрения класса воспроизводимых за­ висимостей имеют активные схемы ДРА.

Одна из возможных активных схем, изображенная на рис. 6-9,

154

в цепь обратной связи. Полученная рациональная дробь четвертой степени (т = 4, п = '4) имеет более широкие возможности для аппроксимации элементарных функций, однако, как и ранее, ко­ эффициенты А/, B j являются взаимосвязанными. Для обеспечения взаимонезависимых коэффициентов А/, В/ любого знака исполь­ зуется универсальная схема ДРА [60] на рис. 6-10, содержащая три операционных усилителя ОУ1, ОУ2, ОУЗ и два токовых квад­ ратичных элемента ТКЭ1, ТКЭ2\ напряжения f/x—Ue задаются при помощи линейных потенциометров ЛП1—ЛП6. Сопротивления Д х—Re служат для задания расчетных значений коэффициентов рациональной дроби. Очевидно, что токи / х и / 2, проходящие по квадратичным токовым цепям, равны:

155

156

Расширение функциональных возможностей схемы рис. 6-10 осуществляется путем введения в схему пассивных цифро-анало­ говых делителей напряжения и суммирующих ОУ.

Схеме рис. 6-10 присуще свойство многофункциональности, заключаю­ щееся в возможности получения различных аппроксимирующих зависимо­ стей РВых = UeF (0) за счет автоматического включения соответствующих

номиналов постоянных проводимостей без изменения структурных связей блоков.

В качестве примеров ниже приводятся схемы некоторых тригонометри­ ческих дробно-рациональных преобразователей, использующих аппрокси­ мирующие зависимости, приведенные в табл. 6-4.

Пример 6-1. Тангенсный множительный цифро-аналоговый преобразо­ ватель, реализующий зависимость UBHX — £/Bxtg (л0/2) путем ее аппрокси­

мации рациональной дробью

1,7949

t/вых — Uв 1,147 — 02 (6-47)

с ошибкой

157

описывающей равновесное состояние схемы рис. 6-1 2 .

Схема содержит три операционных усилителя и имеет постоянные вход-, ную и выходную проводимости.

Пример 6-3. Тангенсный множительный цифро-аналоговый преобразо­ ватель, воспроизводящий функцию

Рис. 6-13. Схема для воспроизведения функции тангенса

при помощи аппроксимирующей зависимости

описывающей равновесное состояние схемы рис. 6-13.

158

При | 0 | < 0,95 ошибка аппроксимации ие превышает 1%, схема имеет

5 — 20 — 02

которая при 0 < 0 < 1 обеспечивает ошибку 6тах < 0,17%.

Схема, воспроизводящая рациональную дробь (6-55) в виде корня неяв­ ной функции

изображена на рис. 6-15.

Пример 6-5. Арксинусный множительный цифро-аналоговый преобразо­

159