книги из ГПНТБ / Смолов, В. Б. Аналого-цифровые и цифро-аналоговые нелинейные вычислительные устройства

i = /. Система функций Радемахера является неполной системой. Естественным ее дополнением является система функций Уолша, которая может быть определена следующим образом. Пусть в дво­

ичном наборе Р = (Pi, Р2, . . . , Р„) Р/ = Р/ = Рг = 1, а остальные компоненты равны 0. Тогда набор р может быть представлен как

Функция Уолша, соответствующая этому набору, определяется как произведение функций Радемахера, индексы которых состав­

ляют набор Р:

<РЙМ = Ф- (*)Ф- М ф - (*)•

Из определения следует, что для наборов р с одной единицей функции Уолша совпадают с функциями Радемахера.

Покажем, что любая функция системы Ф может быть получена с помощью линейной переключательной функции и ее инверсии.

Рассмотрим функции ф- (ж), у которых определяющий набор со-

держит только две единицы. В этом случае

Фр- (x)=(xi—Xt)(Xi—Xj)

или

фр W = (XtXj + X^j) — (XiXj -f xtxj).

В скобках последнего выражения заключены конъюнкции, со­ единенные знаком арифметического сложения. Такая сумма согласно

90

выражениям, приведенным в § 2-1, может соответствовать либо сложению по модулю два, либо дизъюнкции, поскольку произве­ дение слагаемых равно нулю. Независимо от выбора логической операции после несложных преобразований получаем

Предположим теперь, что формула (4-13) справедлива для функ­ ций, определяющие наборы которых содержат I—1 единицу, и покажем, что она справедлива для функций с определяющими на­ борами, имеющими I единиц. Из определения функций Уолша сле­

дует, что функция ф_ (х), у которой набор р имеет / единиц, может

Э

быть получена умножением ф_ (х) с набором, содержащим I— 1 Э'

единицу, на функцию Радемахера с индексом, равным номеру 1-го компонента набора (3, который равен нулю в наборе р':

ф _ (х) = ф „ ( х) Ф;.(х).

Подставляя (4-12) и (4-13) в последнее выражение, получаем

Фр W = ( Ф р ,« - Ф р , (*)) ( х ,-х ,) ,

откуда после преобразований находим

Фр- (х) =(фр-, W ®*/) “ (Чу (х) 0 Xj)

Система функций Уолша является полной ортонормированной системой на отрезке [0, 1 ], поэтому любую функцию F (X), для которой существует интеграл от квадрата этой функции на отрезке [О, 11, можно разложить в ряд Фурье по функциям Уолша:

0

который в дальнейшем будем называть рядом Уолша.

91

Для всякой функции F (X) с интегрируемым квадратом ряд Уолша (4-15) сходится к ней в среднем, причем коэффициенты ряда

убывают с увеличением числа единиц в наборе (J [33].

Пользуясь свойством ортогональности системы функций Уолша, нетрудно получить формулу для определения коэффициентов ряда

где сумма берется по всем наборам а.

Заменяя в (4-15) функции Уолша переключательными функ­ циями, получаем

Коэффициенты ряда (4-17) могут иметь разные знаки, поэтому для моделирования этого ряда РП-схемами нужно так его преобра­ зовать, чтобы все коэффициенты были положительными.

Пусть в разложении (4-17) из 2" коэффициентов s' коэффициен­ тов положительны, a s" — отрицательны. При этом

Раскрывая скобки и объединяя слагаемые с одинаковыми зна­ ками, получаем

в скобки, в виде разности единицы и отрицания функции, то после преобразований получаем

не выполняются, то непосредственное моделирование ряда Уолша РП-схемами невозможно. Однако можно построить схему для функ­

ции Q (х) = F (х) + С, отличающейся от F (х) на постоянную ве­ личину С. При этом значение С должно быть таким, чтобы выпол-

В отличие от' РП-схем, возможность построения пассивного делителя напряжения не зависит от соотношения между коэффи-

92

циентами ряда Уолша. Такой делитель может представлять собой, например, параллельную РП-схему с двухпозиционными переклю­ чателями, которые подключают резисторы либо к + UBX, либо

К

Из определения системы функций Уолша следует, что при фик­ сированном п существует 2” различных функций Уолша. Это оз­ начает, что в разложении (4-17) не может быть больше 2Л членов и что соответствующее число резисторов в схеме не будет превышать

2П. Так как одна из функций Уолша является константой, то число переключателей, необходимое для построения схемы, оказывается на 1 меньше числа сопротивлений. Для того чтобы получить оценки сложности цифровой части преобразователя, рассмотрим способ

построения схемы для системы переключательных функций Ф„ = = {q/ (х)}, с помощью которых могут быть получены все функции Уолша. При п = 1 система <1>1 состоит из двух функций, ср' (х) = О

ср0 (х ) = 0 ,

Ф| (x) = x v

ФзМ = *1® * 2>

ф;( х) = * 2.

Аналогично при п = 3 систему Фз образуют восемь функций,

половина из которых является функциями системы Фг, а другая половина образуется из первой с помощью операции суммы по мо­ дулю два:

ф;( х) = о,

%(x) = xv

%{х) = х1@х2,

Ф2(х) = *2,

Фз(*) = *2®*з-

Фу W = ^ 0 ^ 2Ф *з>

<P5 W = * 1 ® * 3 -

ф; м = * 3-

93

Действуя описанным способом, построим систему функций Ф„,

которая включает в себя все функции системы Ф„_i и 2"-1 функ­ ций, получающихся путем сложения по модулю два функций си­

стемы Фл_1 с переменной хп.

Рассмотренная процедура является основой для построения схемы, реализующей все функции системы Ф^. Такая схема строится итеративным способом путем последовательного увеличения числа

уровней: если уже построена схема Р для системы Фп- ь то, при­ соединяя к каждому выходу этой схемы элемент, реализующий сумму по модулю два соответствующей функции и переменной хп, получаем схему для всех функций

буется две схемы конъюнкции и одна схема дизъюнкции с двумя входами, находим оценку сложности схемы для системы функ­

ций Фп'

L (п) = 3 (2П— (n + 1)).

Для получения всех функций Уолша в схеме преобразователя из функций системы Ф„ необходимо к уже построенной схеме до­ бавить 2" инверторов. Таким образом, окончательная оценка слож­ ности цифровой части преобразователя, моделирующего ряд Уолша, имеет вид:

L(rt) = 2n+2— 3 (л + 1 ).

Полученные оценки сложности справедливы для схем, исполь- • зующих все члены ряда Уолша, что обеспечивает 'точное воспроиз­

94

ведение таблицы заданной функции F (X ). Если же задана точность воспроизведения функции, то, поскольку ряд Уолша сходится к F (X), часть членов ряда, как правило, можно отбросить. В этом случае сложность аналоговой части схемы будет определяться чис­ лом коэффициентов, оставленных в разложении (4-15). Сложность цифровой части схемы будет зависеть не только от этого числа ко­ эффициентов, но и от вида функций Уолша, соответствующих этим коэффициентам. Члены ряда, которые необходимо оставить в раз­ ложении (4-15), а также число членов ряда, необходимое для полу­ чения требуемой точности, зависит в первую очередь от характера аппроксимируемой функции F (X). Поскольку ряд Уолша схо­ дится к аппроксимируемой функции в среднем и коэффициенты его убывают, то для отыскания членов ряда, обеспечивающих тре­ буемую погрешность аппроксимации в, необходимо производить многократный перебор всех коэффициентов с целью отыскания ко­ эффициентов, наибольших по абсолютной величине. Расчет коэф­ фициентов и построение ряда Уолша для воспроизведения заданной функции F (X) связан с большим объемом вычислительной работы. Существенно, что объем вычислительной работы сильно возрастает с увеличением числа разрядов кода. В связи с этим ниже описы­ вается способ построения ряда Уолша с помощью универсальной ЦВМ.

Прежде чем перейти к описанию алгоритма определения коэффи­ циентов и числа членов ряда Уолша, рассмотрим в качестве при­

необходимо использовать ряд Уолша, состоящий из семи членов: sin (hx) = а0— а8Ф8 (х) —а4<р4 (х)— а'2ц>2 (х) —

— 1а[2%2(х)—а[ч[ (х) — а шфш(х),

где коэффициенты ряда а'. = | а. |.

Заменяя в последнем выражении функции Уолша переключа­ тельными функциями согласно соотношению (4-13) и представляя

инверсии переключательных функций в виде ф5 (х) = 1 — <ps (х), после приведения подобных членов получаем:

sin (hx) = a'Q— (flg+ о; + а'2 + а\2+ а\ + а ш) + 2я8ф; (х) +

+ 2а;ф4 (х) + 2a2q>’ (х) + 2 a ^ ; 2 (х) + 2а'{у\ (х) + 2ашФш (х) .

Это выражение может быть реализовано в виде параллельной РП-схемы, поскольку разность а'0 и суммы остальных коэффициен­ тов "ряда положительна.

95

96

Если коэффициенты Уолша расположены в порядке убывания абсолютных величин, то по таблице 6i_i (х) можно построить таб­ лицу ег- (х) следующим образом:

si(x) = si-i(x) — asq>s(x),

то первая таблица ег- (х), в которой ни одно значение не будет пре­ вышать е, будет гарантировать наименьшее число членов ряда Уолша.

Остановимся на вычислении значений функций Уолша в машине. Значение функции Уолша с индексом (3 (s) на наборе а находится

в три этапа. Вначале над векторами р и а производится операция

•поразрядного логического умножения:

Р Д а = и.

Эта операция выявляет значения разрядов набора о, от которых функция ср» (х) зависит существенно. На втором этапе подсчиты­

вается число единиц вектора к, который был получен в результате логического умножения. Последний этап состоит в определении

четности числа единиц вектора к. Если число единиц в к четно, то значение функции Уолша принимается + 1, если же нечетно, то

— 1'.

Т а б л и ц а 4-2

Функции и коэффициенты ряда Уолша, аппроксимирующего sin X ; X £ [0; я/2]