книги из ГПНТБ / Попов, В. М. Теплообмен через соединения на клеях

основывается на рассмотрении потока тепла через одну контактную площадку и смежные твердые тела (см. рис. 1-7). Обычно полное термическое сопротивление контакта для такого элементарного канала в условиях вакуума выражается зависимостью вида (1-13).

Из соотношения (1-13) следует, что термическое со­ противление контакта обратно пропорционально тепло­ проводности материала у поверхности раздела. Таким образом, всякое снижение теплопроводности в области непосредственного контакта будет повышать контактное сопротивление для данной геометрии последнего. Следо­ вательно, образование на контактирующей площадке ма­ лотеплопроводной окисной пленки обусловливает повы­ шение контактного термического сопротивления.

При изучении процесса теплопереноса через зону раз­ дела с окисной пленкой можно исследовать элементар­ ный канал с прослойкой, имитирующей окисную пленку с тем, чтобы полученные данные обобщить и реализовать для задачи с реально контактирующими окисленными металлическими поверхностями. Подобный подход к ре­ шению задачи используется при расчете термического сопротивления контакта неокисленных поверхностей. В данном случае влияние теплопроводности и толщины окисной пленки для заданной геометрии и данного основ­ ного металла исследовались в первую очередь на тепло­ вой модели, после чего надежность полученных решений апробировалась путем сравнения с опытными данными, полученными на модели с одной и множеством контакт­ ных точек.

При выборе тепловых моделей для двух сопряжен­ ных окисленных поверхностей наиболее целесообразным представляется в качестве упрощающего предположе­ ния рассматривать термические сопротивления отдельно в области окисленной пленки и основного металла для половины элементарного теплового канала (рис. 4-44,а), приравнивая при этом тепловые потоки и температуры во всех точках вдоль 0 < r < r 0, г= 60. Очевидно, что полное термическое сопротивление стягивания R cт в со­ ответствии с принятой моделью представляется как ре­ зультирующее для последовательно включенных сопро­ тивлений от стягивания линий теплового потока в обла­ сти основного металла Яст.м и окисной пленки R cт .о, т. е. R ct = R ct.м+^ст.о- Проанализируем составляющие правой

дует:

Перейдем к решению уравнения (4-111). Допустим, что функция Т (г, z ) представляет собой произведение двух функций, зависящих только от г и только от г:

то после деления последнего уравнения на GB, разде­ ления переменных и приравнивания полученного выра­ жения числу 'Р2 имеем:

с помощью метода степенных рядов. Решение уравнения (4-151) в общем виде представляется как

B ( r ) = /4 iJ 0 (|3г) +i42Yo(|3r),

где Jo(pr)— функция Бесселя 1-го рода нулевого поряд­ ка; Y0(pr) — функция Бесселя 2-го рода нулевого поряд­ ка, обладающая свойством при г— >-0 величина Yo—>-°о.

Но при этом условии В ( г ) —>-оо и T = G B — *оо. Од­ нако условие Тг^о— *~оо невозможно, так как по условию

Можно показать, что собственные значения J0(^/") являются корнями уравнения J,(finrQl)=0, Из предположе199

ния Т(г, z) = G(z)-B(r) находим выражение -^-— G-^-,

которое после подстановки в (4-148) дает:

Используем рекуррентное соотношение для Бесселе­ вых функций в виде J i(p r)= —Л'оОЗг), которое после подстановки в последнее уравнение дает:

J i( ( V o i) = 0 .

В общем случае функция В для п корней будет иметь вид:

В»(г)=/-,Ле(р*г). (4-154)

Решение уравнения '(4-152) представляется в виде

Подставляя решения (4-153) и (4-155) в выражение

(4-150), находим:

Применяя тригонометрическую формулу преобразо­ вания гиперболического косинуса разности двух углов, приводим выражение (4-156) для п корней к виду

С учетом условий (4-148) и (4-149) последнее урав­ нение представляется как

Рассмотрим T2= G { z ). Из уравнения (4-111) полу­ чаем выражение d2G/dz2= 0, которое после интегрирова­

л о

ния приводится к виду

Граничное условие (4-146) можно представить через разложение в ряд Фурье по функции Бесселя в виде