§7. Вычисление предела функции в точке
Наиболее универсальным средством
вычисления предела функции f(x)
в точкеaявляется замена
переменной:
.
В результате необходимо вычислить
предел функцииf(t+a)
приt→0. При этом можно
воспользоваться таблицей эквивалентных
функций, см. §4. Обратим внимание, заменаt=x–aустроена таким образом, что приx→a–0t→–0 и вычисляется предел
в точкеt=0 слева, приx→a+0t→+0 – вычисляется предел
в точкеt=0 справа.
Пример.6.Вычислить предел
.
◄
.
Подставляем значениеx=0
в функциюf(x).
Выясняется, что точкаx=0
не принадлежит области определения
функцииf(x)
(деление на нуль), неопределенность вида
,
вычислить можно только предельное
значение функцииf(x)
приx→0.
x→0, замена переменной не
требуется. Аргумент функцииln(1+5x),
(5x) и аргумент функцииsin2x, (2x)
– бесконечно малые величины, (§5),
,
,(9
и 1 §4).
.
Были использованы свойствами предела
(§2).
Ответ:
.
Пример.7.Вычислить предел
.
◄
.
Подставляем значениеx=0
в функциюf(x).
Выясняется, что точкаx=0
не принадлежит области определения
функцииf(x)
(деление на нуль), неопределенность вида
,
вычислить можно только предельное
значение функцииf(x)
приx→0.
x→0, замена переменной не
требуется. Аргумент функцииcos4x,
(4x) и аргумент функцииtg3x, (3x)
– бесконечно малые величины, (§5),
,
,(2
и 3 §4).
Используем формулу
,
3x→0, (9 §4).
Мы воспользовались свойствами предела
(§2) и непрерывностью функций xи (
)
в точкеx=0 (§6). Ответ:
.
Пример.8.Вычислить предел
.
◄
.
Функцияf(x)
непрерывна в точкеx=–1,
.
Ответ:
.
Пример.9.Вычислить предел
.
◄
.
Введем новую переменнуюt=x–(–1)=x+1,
приx→–1t→0,x=t–1.
Ответ:
.
Пример.10.Вычислить предел
.
◄
.
Введем новую переменнуюt=x–π,t→0,x=t+π.
.
Ответ:
.
§7. Вычисление предела функции при X→∞
Наиболее универсальным средством
вычисления предела функции f(x)
приx→∞ является замена
переменной:
.
В результате необходимо вычислить
предел функцииf(1/t)
приt→0. При этом можно
воспользоваться таблицей эквивалентных
функций, см. §4. Обратим внимание, заменаt=1/xустроена
таким образом, что приx→–∞t→–0 и вычисляется предел
в точкеt=0 слева, приx→+∞t→+0 и вычисляется предел
в точкеt=0 справа. Замети,
что практическое применение заменыt=1/xприводит
к трудоемким преобразованиям исходного
вида функцииf(x)
в функциюf(1/t).
Поэтому в практике расчетов заменуt=1/xявно не
проводят. Функциюf(x)
преобразуют таким образом, чтобы
бесконечно большая переменнаяxменялась на обратную к ней бесконечно
малую переменную 1/x,
которая используется при вычислении
предела функции.
Пример.11.Вычислить предел
.
◄
.
Выносим максимальные степениnпод корнями, в числителе и знаменателе
дроби. Получим
.
Ответ:
.
Пример.12.Вычислить предел
.
◄ Неопределенность вида
.
Выносим бесконечно большую величинуxпод корнем.
Ответ:
.
Пример.13.Вычислить предел
.
◄ Неопределенность вида
.
Ответ:
.
Пример.14.Вычислить предел
.
◄ Неопределенность вида
.
Ответ:
.