Variant_12
.docВариант 12
1)Разложить в ряд Фурье функцию , заданную с помощью графика. Построить график суммы полученного ряда Фурье и записать 4 первых ненулевых члена этого ряда.
Функцию на графике можно представить в виде:
Разложим функцию в ряд Фурье с периодом: , где:
Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:
2) в точках разрыва: .
2) Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, определенную на заданном интервале.
Продолжим функцию нечетным образом до периода :
Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:
2) в точках разрыва: .
Вариант 12
3) Решить задачу Штурма – Лиувилля. Найти собственные функции, проверить их ортогональность. Разложить функцию в ряд по собственным функциям.
Задача Штурма – Лиувилля для y(x): .
Решение ищем в виде:
Характеристическое уравнение
1) - кратный корень.
Общее решение имеет вид: ,
Граничные условия:
2)
Общее решение имеет вид: Граничные условия:
Т.к. - тривиальное решение.
3)
Общее решение имеет вид: Граничные условия:
;
Система собственных функций .
Проверка на ортогональность собственных функций
Система собственных функций ортогональна.
Разложим в ряд по собственным функциям :
Согласно теореме Стеклова функцию можно разложить в ряд Фурье: ,
где
Значит
Вариант № 12
4) Решить задачу о свободном колебании струны длины м с заданными краевыми условиями ; . Вычислить приближённое отклонение середины струны при сек, используя для этого первые три ненулевых слагаемых в разложении в ряд функции . Положить .
Решение
Будем искать решение уравнения свободных колебаний струны , удовлетворяющее однородным граничным условиям: и начальным условиям , представимое в виде произведения.
Подставляем его в исходное уравнение
Отсюда
Следовательно: Граничные условия
При имеем задачу Штурма – Лиувилля для X(x): .
Решение ищем в виде: Характеристическое уравнение
1) - кратный корень.
Общее решение имеет вид:
Граничные условия:
2) , где - действительное число
Общее решение имеет вид:
Граничные условия:
Т.к.
3) , - действительное число
Общее решение имеет вид:
Граничные условия:
Если
При этом пусть С2=1, тогда , при .
Этим же значениям соответствуют решения уравнения , имеющие вид:
Частное решение уравнения свободных колебаний струны:
Общее решение имеет вид:
Начальные условия Значит
Разлагаем в ряд Фурье по синусам на промежутке : Сравнивая ряды, видим:
Общее решение представится в виде:
Приближённое отклонение середины струны в момент времени to =1:
Вариант № 12
Вывести уравнение теплопроводности для тонкого ограниченного стержня, боковая поверхность которого теплоизолирована: сформулировать возможные типы краевых условий.
Определить температуру в произвольной точке х стержня в произвольный момент времени t - функцию u(x,t) в общем виде, при заданных краевых условиях, если начальные условия заданы функцией u(x,0) = f(x); решить задачу для заданной функции f(x); определить приближенно температуру стержня в точке xo в момент времени to (мин.), взяв три первых ненулевых члена ряда Фурье.
Типы краевых условий:
а) концы стержня теплоизолированы ,т.е. ,
б) левый конец стержня теплоизолирован, а правый поддерживается при нулевой
температуре, т.е.
в) правый конец стержня теплоизолирован, а левый поддерживается при нулевой
температуре, т.е., .
Коэффициент а2 температуропроводности: медь - 11.2 ∙ 10-5;
сталь - 1.27 ∙ 10-5;
алюминий - 8.80 ∙ 10-5.
Условия задачи
f(x) = , ,
f(d) = ,т.е. x=d точка разрыва
тип краевых условий – в
материал- алюминий
xo = , to = 50
Решение
Ищем решение уравнения теплопроводности с начальным условием:
u(x,0) = f(x) = и граничными условиями: в виде u(x,t) = X(x)T(t).
Подставляем его в исходное уравнение X(x)T′(t) = а2 X″(x)T(t).
Отсюда
Следовательно: Граничные условия
При имеем задачу Штурма – Лиувилля для X(x): .
Решение ищем в виде:
Характеристическое уравнение
1) - кратный корень.
Общее решение имеет вид:
Граничные условия: - тривиальное решение
2) , где - действительное число
Общее решение имеет вид:
Граничные условия:
Т.к. - тривиальное решение.
3) , - действительное число
Общее решение имеет вид:
Граничные условия:
Если
При этом пусть С1=1, тогда , при .
Этим же значениям соответствуют решения уравнения , имеющие вид:
Частное решение уравнения теплопроводности:
Общее решение имеет вид:
Начальные условия =
Разлагаем f(x) в ряд по собственным функциям :
Сравнивая ряды, видим:
Общее решение представится в виде:
Приближённое значение температуры стержня в точке xo = в момент времени to = 50: