Variant_12
.docВариант 12
1)Разложить в ряд
Фурье функцию
,
заданную с помощью графика. Построить
график суммы полученного ряда Фурье и
записать 4 первых ненулевых члена этого
ряда.
Функцию на графике
можно представить в виде:
Разложим функцию
в
ряд Фурье с периодом
:
,
где:
Сумма ряда
:
1) в точках непрерывности:
2)
в точках разрыва:
.
2) Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, определенную на заданном интервале.
Продолжим функцию
нечетным образом до периода
:
Сумма ряда
:
1) в точках непрерывности:
2)
в точках разрыва:
.
Вариант 12
3) Решить задачу
Штурма – Лиувилля.
Найти собственные функции, проверить
их ортогональность. Разложить функцию
в ряд по собственным функциям.
Задача
Штурма – Лиувилля для y(x):
.
Решение ищем в
виде:
Характеристическое
уравнение
1)
- кратный корень.
Общее решение
имеет вид:
,
Граничные условия:
2)
Общее решение
имеет вид:
Граничные условия:
Т.к.
- тривиальное решение.
3)
Общее решение
имеет вид:
Граничные условия:
;
Система собственных
функций
.
Проверка на
ортогональность собственных функций
Система собственных
функций
ортогональна.
Разложим
в ряд по собственным функциям
:
Согласно теореме
Стеклова функцию можно разложить в ряд
Фурье:
,
где
Значит
Вариант № 12
4) Решить задачу
о свободном колебании струны длины
м с заданными краевыми условиями
;
.
Вычислить приближённое отклонение
середины струны при
сек, используя для этого первые три
ненулевых слагаемых в разложении в ряд
функции
.
Положить
.
Решение
Будем искать
решение уравнения свободных колебаний
струны
,
удовлетворяющее однородным граничным
условиям:
и начальным условиям
,
представимое в виде произведения
.
Подставляем его
в исходное уравнение
Отсюда
Следовательно:
Граничные условия
При
имеем задачу Штурма – Лиувилля для
X(x):
.
Решение ищем в
виде:
Характеристическое уравнение
1)
- кратный корень.
Общее решение
имеет вид:
Граничные условия:
2)
,
где
-
действительное число
Общее решение
имеет вид:
Граничные условия:
Т.к.
3)
,
-
действительное число
Общее решение
имеет вид:
Граничные условия:
Если
При этом пусть
С2=1,
тогда
,
при
.
Этим же значениям
соответствуют решения уравнения
,
имеющие вид:
Частное решение уравнения свободных колебаний струны:
Общее решение имеет вид:
Начальные условия
Значит
Разлагаем
в ряд Фурье по синусам на промежутке
:
Сравнивая ряды, видим:
Общее решение представится в виде:
Приближённое
отклонение середины струны
в
момент времени to
=1:
Вариант № 12
Вывести уравнение теплопроводности для тонкого ограниченного стержня, боковая поверхность которого теплоизолирована: сформулировать возможные типы краевых условий.
Определить температуру в произвольной точке х стержня в произвольный момент времени t - функцию u(x,t) в общем виде, при заданных краевых условиях, если начальные условия заданы функцией u(x,0) = f(x); решить задачу для заданной функции f(x); определить приближенно температуру стержня в точке xo в момент времени to (мин.), взяв три первых ненулевых члена ряда Фурье.
Типы краевых условий:
а) концы стержня
теплоизолированы ,т.е.
,
б) левый конец стержня теплоизолирован, а правый поддерживается при нулевой
температуре,
т.е.
в) правый конец стержня теплоизолирован, а левый поддерживается при нулевой
температуре,
т.е.
,
.
Коэффициент а2 температуропроводности: медь - 11.2 ∙ 10-5;
сталь - 1.27 ∙ 10-5;
алюминий - 8.80 ∙ 10-5.
Условия задачи
f(x)
=
,
,
f(d)
=
,т.е.
x=d
точка разрыва
тип краевых условий – в
материал- алюминий
xo
=
, to
= 50
Решение
Ищем решение
уравнения теплопроводности
с начальным условием:
u(x,0)
= f(x)
=
и граничными условиями:
в виде
u(x,t)
= X(x)T(t).
Подставляем его в исходное уравнение X(x)T′(t) = а2 X″(x)T(t).
Отсюда
Следовательно:
Граничные условия
При
имеем
задачу Штурма – Лиувилля для X(x):
.
Решение ищем в
виде:
Характеристическое
уравнение
1)
- кратный корень.
Общее решение
имеет вид:
Граничные условия:
- тривиальное решение
2)
,
где
-
действительное число
Общее решение
имеет вид:
Граничные условия:
Т.к.
- тривиальное решение.
3)
,
-
действительное число
Общее решение
имеет вид:
Граничные условия:
Если
При этом пусть
С1=1,
тогда
,
при
.
Этим же значениям
соответствуют решения уравнения
, имеющие вид:
Частное решение уравнения теплопроводности:
Общее решение имеет вид:
Начальные условия
=
Разлагаем f(x)
в ряд по собственным функциям
:
Сравнивая ряды, видим:
Общее
решение представится в виде:
Приближённое
значение температуры стержня в точке
xo
=
в момент времени to
= 50:
