книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

с другой стороны, по-видимому, класс систем, для ко­ торых понятие скользящий режим имеет однозначный смысл, не охватывается полностью системами, удовлет­ воряющими условию (2.31) с неидеальностями указанного выше типа. В связи с этим возникает задача о расширении условий, при выполнении которых в системах вида (2.29) уравнения скользящего режима определялись бы одно­ значно с помощью предельных переходов *). Мы огра­ ничиваемся здесь лишь постановкой этой общей задачи.

5. Вырожденные случаи в векторных задачах

До сих пор всегда делалось предположение о том, что основное уравнение s = 0 является невырожденным и из него однозначно находится эквивалентное управление. (Для рассмотренной в § 4 системы это предположение означало, что det GF 0.) Вырожденные случаи возни­ кают при нарушении этого условия. Особенности сколь­ зящих движений, появляющиеся вследствие различного рода вырождений, нам будет удобнее описать для случая стационарной системы, линейной не только по управле­ нию, но и по фазовым координатам. Уравнение такой системы имеет вид

в какой мере приводимые далее рассуждения применимы для нестационарных систем, нелинейных по х , будет обсуждаться в конце этого параграфа.

Условия существования эквивалентного управления для системы (2.35) или, что то же, существования решения

*) Для случаев же, когда предельные переходы не дают одно­ значных результатов, вопрос о единственности тесно связан с во­ просом о грубости такой системы. Может оказаться, что среди раз­ личных предельных движений условия грубости выделяют един­ ственное грубое движение. Тогда естественно считать, что именно это движение будет реализоваться в реальной системе, и принять его в качестве идеального скользящего движения.

относительно и определяются соотношением рангов мат=_ рицы СВ и присоединенной матрицы D, которая полу­ чается добавлением к матрице СВ столбца САх. Эквива­ лентное управление, а, следовательно, и уравнение сколь­ зящего движения находится однозначно, если det СВ ф

внимание на то, что в вырожденных случаях ранг мат­ рицы D зависит от фазового вектора, который лежит на пересечении поверхностей разрыва, так как рассмат­ риваются скользящие режимы на этом пересечении. Мо­ жет оказаться, что на некоторых множествах, принадле­ жащих многообразию пересечения и имеющих нулевую, меру, ранг матрицы D будет понижаться. Исключим пока из рассмотрения специальные случаи, когда фазовая тра­ ектория проходит через эти особые множества. Тогда для вырождения общего вида (т. е. при гСв <С т) могут возникнуть следующие три случая:

Случай 1°. Несмотря на вырождение, скользящий режим вдоль пересечения поверхностей разрыва одно­ значно определяется уравнениями, заданными вне этих поверхностей. Уравнения скольжения находятся с по­ мощью метода эквивалентного управления.

Случай 2°. Благодаря вырождению возникает неодно­

немаксимальный ранг. Примером вырождения матрицы С служит система, в которой несколько компонент управления претерпевают разрывы на одной и той же плоскости одновременно. Если же более чем одно управление приложено к одним и тем же входам системы, то соответствующие этим управлениям столбцы матрицы В будут коллинеарны, п следовательно, эта матрица окажется вырожденной. К вырождению приводит также и сочетание этих двух случаев. Ра­ зумеется, могут иметь место и случаи, когда вырождение обусловлено взаимным расположением векторов-строк матрицы С и векторовстолбцов матрицы В в п-ыерпом пространстве параметров. Напри­ мер, если в скалярном случае (при т = 1) векторы с и b ортогональ­ ны. то ранг произведения сЪ равен нулю.

управления, найти из этой системы остальные гсв ком­ понент, подставить их в исходную систему и осуществить"

А , В, С и вектора х. Опираясь на эти факты и используя обычные методы линейной алгебры, покажем, что вели­ чина I s I заведомо выходит за пределы малой Д-окрест- ности пересечения поверхностей разрыва. Проинтегри­ руем уравнение СВй + САх = ё на некотором малом интервале времени At, имея в виду, что в реальном сколь­ зящем режиме функция й является интегрируемой:

д/

СВ ^ й dt + CAxQAt -\- о (At) = s (Д<) — s (0).

о

Здесь х0 — значение вектора х в начальный момент вре­

Ранг матрицы СВ по условию меньше ранга матрицы D, которая получается добавлением к матрице СВ столб­ ца САха. Это означает, что вектор САх0 не является ли­ нейной комбинацией столбцов матрицы СВ, и поэтому для правой части полученного уравнения при достаточно малом At справедлива оценка

min I СВйср + САх0-f О (At) |At > %At,

■“ср

где х — некоторая положительная величина. Очевидно, что эта же оценка справедлива и для левой части уран-

понимать его как предельное движение в Д-окрестности многообразия s = 0 при стремлении А к нулю.

Рассмотрим подробнее, к какому из указанных трех случаев могут привести различные виды вырождения.

Случай 1°. Для того чтобы показать возможность воз­ никновения однозначного скользящего движения в слу­ чае, когда матрица СВ вырождена, обратимся к системе, в которой вырождены обе матрицы С и £ и ранги их оди­ наковы, т. е. гс = гв <[ т. Так как гв <[ т, то вектор Ви в системе (2.35) представим в виде В'и', где В' — мат­ рица размерности п х гв , и' — 7в-мерный вектор и

гв' = гвПереписывая в соответствии с этим обозначением

из этого уравнения. Подставляя в исходное уравнение (2.35) В'и вместо Ви и ЦдКВ вместо и — решение урав­ нения (2.37) — получаем уравнение, которое однозначно определяет скользящее движение. Этот случай часто встречается на практике, например в системах с пере­ менной структурой, в которых управление формируется в виде суммы воздействий по различным координатам си­ стемы (т. е. вырождена матрица В), а коэффициенты воздействий претерпевают разрывы на одной и той же плоскости (т. е. матрица С также вырождена) [100, 110—

112].

Случай 2°. Если вырождается только матрица С (т. е. гс <[ т, гв — т) и при этом справедливо соотношение

гсв = гс , то скользящее движение по пересечению поверх­

векторов-столбцов матрицы С, нтаккакгсв = гс , то добавление к

матрице СВ столбца САх не увеличивает ранга этой матрицы, а это означает, что гсв = rD и система (2.36) имеет бесчисленное мно­

жество решений.

В качестве примера, иллюстрирующего возможность появления неоднозначности такого рода, рассмотрим си­ стему с двумерным управлением

где Ь1 и Ь2 — линейно независимые векторы, а скалярные управления щ и щ являются релейными и претерпевают разрывы на одной и той же плоскости (т. о. т = 2, гв —

будет происходить в А^окрестности плоскости разрыва, управление их будет переключаться с конечной частотой, а управление и2 сохранит одно из двух возможных зна­ чений, которое оно имело в момент начала скользящего режима. При переходе к пределу, когда Aj и Д2 стремятся

означает, что в нашем примере за счет вырождения мат­ рицы С не удается однозначно получить уравнение сколь­ зящего режима.

Случай 3°. В системе, у которой вырождена только матрица В и при этом гсв = гв < т, гс = т, скользящий

режим по пересечению границ разрыва невозможен **). К такому же выводу приведет нас попытка применить схему рассуждений Филиппова к только что рассмотрен­

*) Воспользовавшись схемой рассуждений, с помощью которой

вглаве I проводился анализ систем с гистерезисом, легко убедиться

втом, что и при Ах > Д2 предельное движение будет также опреде­

ляться неоднозначно.

**) Столбцы матрицы СВ образуют пространство размерностью гв < т, в то время как вектор САх принадлежит т-мерному

пространству, натянутому на т базисных векторов-столбцов мат­ рицы С. Поэтому если вектор х не лежит иа особом множестве, о котором шла речь в начале настоящего параграфа, то rD > гСв и

система (2.36) несовместна.

претерпевает разрывы на различных поверхностях. Так как все четыре возможных вектора фазовой скорости в окрестности любой точки на нересечении плоскостей разрыва лежат па одной прямой, то минимальное выпук­ лое множество, натянутое на эти векторы, является од­ номерным многообразием. Это многообразие, вообще говоря, не имеет общих точек с (п — 2)-мерным много­ образием пересечения плоскостей разрыва, т. е. дви­ жение в скользящем режиме но этому пересечению не­ возможно.

Таким образом, если уравнение s = О, из которого находится эквивалентное управление, окажется вырож­ денным, то уравнение системы, заданное вне поверхностей разрыва, может определять скользящее движение вдоль этих границ как однозначно, так и неоднозначно и, кро­ ме того, вырождение может привести к тому, что движение в скользящем режиме вообще невозможно. Эти выводы были получены при предположении, что система стацио­ нарна и линейна по и и по х. Однако все результаты могут быть перенесены на случай нестационарной системы вида (2.32), линейной лишь по и. Для того чтобы в этой более общей задаче выделить случаи 1°, 2° и 3° соответственно, надо чтобы были выполнены те же самые условия, о ко­ торых выше шла речь, но только при формулировке этих

по управлению, нужно иметь в виду следующее

системы исключение могли составлять лежащие на пере­ сечении поверхностей разрыва множества нулевой меры по отношению к размерности этого пересечения, на ко­ торых совместность могла иметь место. В случае неста­ ционарной системы, нелинейной по х, факторы, заменя­ ющие матрицы А , В и С, сами зависят от х и t, поэтому характер вырождения может меняться во времени и про­ странстве как при изменении размерности множества

точек пересечения поверхностей разрыва, так и внутри его на подмножествах этих точек, которые уже не обяза­ тельно имеют нулевую меру. При выводе уравнений скользящего движения с помощью метода эквивалент­ ного управления специального рассмотрения заслуживают точки, лежащие на множествах нулевой меры, на которых система s = 0 становится совместной, и точки, лежащие на границе двух или более множеств ненулевой меры с различным характером вырождения этой системы. Спе­ цифика скользящих движений в этих случаях состоит в том, что из всех возможных траекторий могут иметь место лишь траектории, в первом случае принадлежащие множеству нулевой меры, а во втором случае — не на­ правленные в сторону множеств, в которых система s = 0 несовместна.

§ 6. Физический смысл эквивалентного управления

При изучении скользящих режимов это движение рассматривалось как некоторая идеализация — пред­ полагалось, что управление меняется с бесконечно боль­ шой частотой, а вектор фазовой скорости направлен точно вдоль поверхности разрыва. На практике же из-за раз­ личного рода неидеальностей изображающая точка совер­ шает колебания относительно поверхности разрыва с ко­ нечной частотой и, следовательно, частота переключения управления также конечна. К таким неидеальностям можно отнести зону нечувствительности, гистерезис, за­ паздывание в переключающих устройствах, различные инерционности, присущие объекту в неучтенные при со­ ставлении модели и т. д. В результате во время не идеа­ лизированного, а реального скользящего движения все компоненты функции управления также изменяются

сконечной частотой, поочередно принимая значения и?

ищ . Эти колебания содержат высокочастотную и мед­ ленно меняющуюся составляющие. Поэтому имеет смысл говорить о среднем значении управления в процессе ре­ ального скользящего движения (обозначим его иср). Это мср можно замерить, например, подводя истинное управ­ ление на вход фильтра, постоянная времени которого весьма мала по отношению к медленно меняющейся со­