книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

§ 2] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 201

Вектор хт в (9.17а) состоит из п — т компонент вектора х, в том числе ху, . . Хг-Т-, в него не входят координаты хг_г'+1, . . хт, а элементы всех матриц вычисляются по той же процедуре, что и элементы в уравнениях (9.17).

Так как при и = Г (хт )' или и — r ss -j- Гг (хТ)' пос­ леднее уравнение в (9.17а) совпадает с уравнением для вектора s в (9.19), то

Al = 4 + CBTS, Нх™ = - СВТт{х*у,

8 — Ass -f- СВ [и — Гг {хг)*\.

Выбирая компоненты вектора и в виде суммы воздейст­ вий по координатам xt, . . ., хт>с разрывными коэффици­ ентами, с помощью любого из описанного в § 1 приемов, выбранное многообразие s = 0 можно сделать многообра­ зием скольжения. (Роль матрицы Н' будет играть матри­ ца СВТГ, а матрица Я" равна нулю.)

Убедимся теперь, что движение в скользящем режиме вдоль многообразия s = 0 устойчиво. В рассматриваемой системе мВ1Ш. вычисленное при условии s = 0, и линейное управление и = Г,5 + Гг (хг)' отличаются слагаемым Га5. В результате подстановки этих двух линейных управле­ ний в (9.17а) убеждаемся, что характеристические урав­ нения полученных таким образом линейных систем имеют п — тп одинаковых корней, а отличаться будут m корней, являющихся собственными числами соответственно мат­

веденной выше теореме движение по многообразию s = 0 устойчиво.

Таким образом, если, осуществляя процедуру выбора плоскостей разрыва при переходе от пространства х к пространству (хт , s), пришлось исключить координаты, входящие в состав управления Г (хт )г, то для выполне­ ния условий существования многообразия скольжения с устойчивым движением эти же координаты можно ис­ ключить из вектора управления.

Остался неразобранным лишь случай, когда г' = г и уравнение относительно вектора s имеет вид

£ = ^4s + СВи.

204 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

И, наконец, составим управление в виде (9.22) или (9.25) для систем, в которых задача синтеза решается на основе использования квадратичных форм. Для первого вари­ анта этого метода вводится новое управление, а для вто­ рого — новые плоскости разрыва в соответствии с ли­ нейными преобразованиями

и = {СB y 1Du',

s* — D (CB)~h,

где D — симметричная матрица, удовлетворяющая кри­ терию Сильвестра. Запишем для этих случаев уравнения движения в подпространстве s для первого случая, когда управление выбирается в соответствии с (9.22), и в под­ пространстве s* для второго случая с управлением (9.25)

где компоненты вектора гг0 и диагональной матрицы U оп­ ределяются аналогичными (9.12) соотношениями

§ 3] УСТОЙЧИВОСТЬ 205

где R' и Я' — матрицы размерности т X п с элементами r[j и r'ij, равные соответственно D~XCA — U° и (СВ)~1х X СА — U0, U0— матрица размерности т X п с элементами

тельно определенной не только на многообразиях s = 0 mras* = 0, как это имело место в системах с управления­ ми (9.5) и (9.9) при выполнении условий (9.14) или (9.15), а во всем пространстве (хг, . . ., хп), если

Условия (9.28) являются достаточными условиями устой­ чивости движения в подпространстве s или s*, а следова­ тельно, и условиями попадания.

Рассмотрим условия, при которых попадание будет иметь место, если компоненты управления формируются

ввиде воздействий не по всем, а лишь по г координатам

всоответствии с (9.5) или (9.9). Пусть пересечение поверх­ ностей разрыва по-прежнему является многообразием скольжения, т. е. в зависимости от метода синтеза выпол­ няются условия (9.6), (9.10), (9.14) или (9.15). Для ре­ шения вопроса о попадании обратимся к уравнению (9.17), описывающему поведение системы в подпространстве s. Описанные в § 1 методы, которые позволяют обеспечить существование многообразия скольжения, основываются на двух вариантах линейных преобразований. Первый вариант связан с введением нового управления it>* в соот­ ветствии с некоторым линейным преобразованием и = Ки*, второй — предполагает введение новых поверхностей раз­

206 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ СГЛ. IX

рыва s* = Qs. После таких замен уравнения движения в под­ пространстве s или s* , по осям которого отложены расстоя­ ния до плоскостей разрыва, запишутся следующим образом:

Матрицы линейных преобразований К или й выбирались таким образом, чтобы матрицы перед управлениями в урав­ нениях (9.29) оказались диагональными или симметрич­ ными и удовлетворяющими критерию Сильвестра.

Если использовался метод диагонализации (т. е. матри­ цы СВК или QCB являлись диагональными), то при выполнении условий (9.6) или (9.10) величины st и вг (или

да матрица A s (или подобная ей матрица = Й.4вй -1) также является диагональной и ее элементы действитель­

ны и отрицательны, величины s; и аг (или Si и в<) будут иметь разные знаки уже во всем подпространстве s (roras*),

и следовательно, для таких матриц А , (или А ,) попадание будет иметь место.

Если же используется метод синтеза, основанный на составлении функции Ляпунова в виде квадратичной формы, то матрицы К или й подбирались таким образом,

скольжения. Нетрудно убедиться в том, что в случае,

подпространстве устойчиво «в большом» и, следовательно, для таких матриц Лj (или А]) попадание будет иметь место.

с управлениями вида (9.5), (9.9), которые на первый взгляд носят слишком частный характер, могут быть использованы при синтезе устойчивой системы. В § 2 была описана процедура выбора управления, при котором пересечение s = 0 является многообразием скольжения и движение по нему устойчиво. Усилим теперь условия, накладываемые на матрицу Г. Потребуем теперь, чтобы

исходя из желаемого характера движения в скользящем режиме, остальные т корней Xn_m+1, . . ., 'кп были дейст­ вительными и отрицательными. При выполнении условий существования многообразия скольжения эти корни будут собственными числами матрицы А 3 в (9.17). Тогда синтез системы с переменной структурой на основе метода диагонализации, в которой имеет место попадание, проведем следующим образом. Заменим одновременно выбранные в соответствии с описанной в § 2 процедурой плоскости разрыва и вектор управления с помощью линейных преоб­ разований

s* = £2s, и = Ки",

где Q _1 = Т, Т — матрица, состоящая из собственных векторов матрицы .Аз*"), К = (CB)~1TQ, Q — произволь­ ная диагональная матрица с элементами дг (i = 1, . . ., тп). Как известно, в этом случае матрица Т -ХА ,Т будет равна А — диагональной матрице с элементами Я„_т+1, . . . , %т. Следовательно, уравнение движения в подпространстве s * (аналогичное уравнениям (9.29)) имеет вид

Выберем компоненты вектора управления и* в соответст­ вии с (9.9), (9.10) при условии, что матрица Ш в (9.8) и (9.10) равна Т~гН. Тогда из анализа уравнения (9.30) при s* = 0, которое аналогично уравнению (9.8), слезет, что многообразие s* = 0 является многообразием сколь-

*) Так как матрица А 8 имеет действительные и различные соб­ ственные числа ••., ^7п, то для нее4существует тп линейно независимых собственных векторов и матрица Т является невырож­ денной.

§ 3] УСТОЙЧИВОСТЬ 209

В заключение уместно отметить особенности синтеза системы с устойчивым движением вдоль многообразия скольжения, в котором выполняются условия попадания. !-Для построения системы с такими свойствами необходимо предварительно найти некоторое линейное управление и = Г(хт )', обеспечивающее устойчивость рассматриваемой системы, или выполнение условий Ве^г < 0 {г ~ 1, . . ,,п).

до момента возникновения скользящего режима на

менения координат st в методе диагонализации и скорость изменения функции v, когда поведение системы исследует­ ся с помощью квадратичных форм, зависят не только от корней Ял_т+1, . . ., Кп, но и от величин компонент векто­ ра управления. Поэтому при любых значениях этих кор­ ней, лишь бы они были отрицательны, время попадания можно уменьшить, если увеличить по модулю управляю­ щие воздействия.

З а м е ч а н и е . Описанный метод синтеза устойчи­ вой системы предполагает определение такого линейного управления и = Г (ж771)', при котором в характеристиче­ ском уравнении системы помимо п — т корней, выбирае­ мых исходя из желаемого качества движения в скользя­ щем режиме, остальные т корней являются действитель­ ными и отрицательными. Движение в скользящем режиме при некотором г, меньшем и равном п — т, можно наде­ лить желаемыми свойствами (как следует из приведенных в § 1 условий существования многообразия скольже­ ния, с увеличением числа г количество связей на коэффи­ циенты матрицы С, определяющей это движение, умень­ шается, а при г = п — т их можно выбирать произ­ вольными).

Однако может оказаться, что с помощью линейного управления и = Г (хт)' ни при каком г п — т не удастся сделать оставшиеся т корней отрицательными действительными. В таких случаях будем подбирать ли­ нейное управление, позволяющее выполнить это условие, в виде и — IV , если х1— вектор с компонентами хх, . . ,,жг,

210 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ 1ГЛ. IX

ачисло I может оказаться как меныпим, так и большим

п— т (но, разумеется, меньшим тг). Так как при и — Гг1 последнее уравнение в (9.17) совпадает с уравнением для вектора s в (9.19), то его можно переписать следующим

Выбирая компоненты вектора и в виде суммы воздействий по координатам xlt . . ., xt с разрывными коэффициентами, с помощью любого из описанных в § 1 приемов, многооб­ разие s = 0, найденное в соответствии с описанной в § 2 процедурой, можно сделать многообразием скольжения с устойчивым движением. (Роль матрицы Н' будет играть матрица СВТ , а матрица Н" равна нулю.) Так как линей­ ное управление и = IV подобрано таким образом, что

собственные числа матрицы A s отрицательные и действи­ тельные, то приведенные в этом параграфе методы позво­ ляют обеспечить попадание, а следовательно, и устойчи­ вость системы при произвольных начальных условиях.

§ 4. Метод иерархии управлений

Описанный в главах III и IV метод иерархии управле­ ний предполагает выбор компонент управления таким образом, чтобы скользящий режим на пересечении $г = 0 (i = l, 1 ^ / c ^ m ) возникал независимо от того, какие значения принимают компоненты нй+1, . . ., ит. Если это условие выполняется для любого к (1 ^ к ^ т), то многообразие s = 0 будет многообразием скольжения. Для систем произвольного вида с векторным управлением такая ситуация возникает при выполнении соотношений (3.30), а последовательность синтеза функции управления изложена в § 5 главы IV. Существенно, что этот метод предполагает последовательное рассмотрение скалярных вадач, но скользящий режим, в отличие от методов диаДК* нализации, не обязательно возникает на каждой из плос­ костей разрыва в отдельности.

Воспользуемся предложенной в разделе I процедурой метода иерархии управлений для построения системы управления линейным стационарным объектом (9.1). За­ пишем аналогичные (3.27) уравнения скольжения по пересечению плоскостей — 0 (i = 1, . . ., /с; 1 ^ к ^ т ).