книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

сти разрыва будем считать постоянными. В этом и будет заключаться элемент нестрогости последующих рассуж­ дений.

а) Неидеальность типа гистерезис. Предположим, что переключающее устройство, которое осуществляет скач­ кообразное изменение величины управления, обладает гистерезисом. Тогда функция и в уравнении (1.8) будет иметь вид

По-прежнему будем считать, что в идеальной системе (при А = 0) выполняются условия скользящего режима (1.9), т. е. в окрестности поверхности разрыва s (х) = 0 фазовые траектории направлены навстречу друг другу. Наличие гистерезиса при­ водит к тому, что после попадания на поверхность

разрыва изображающая s=0 точка уже не будет дви­ гаться точно вдоль поверх­ ности,' а будет совершать колебания в ее окрестно­

сти шириной 2А (рис. 7). Для определения средней ско­ рости, соответствующей этому движению, найдем пред­ варительно перемещение изображающей точки Ах на двух соседних интервалах — на первом из них и равно и~, а на втором ц+:

_ где Afx и At2 — продолжительности этих интервалов. Ве­ личины Atx и At2 находятся из соотношений

Из уравнений (1.14), (1.15) определяем среднюю скорость

32 ВВЕДЕНИИ [ГЛ. I

Непосредственно из сопоставления (1.10) и (1.16) следует, что вычисленный таким образом вектор фазовой скорости совпадает с вектором фазовой скорости, полученным с по­ мощью доопределения Филиппова.

б) Неидеалыюсть типа запаздывание. Предположим, что переключающее устройство осуществляет скачкооб­ разное изменение функции управления не в моменты изме­ нения знака величины s, а с некоторым запаздыванием во

движется к поверхности разрыва s = 0 (точка 3), а пе­ реключение с и+ на и~ происходит спустя время т (в точ­ ке 4). Затем вновь возникает движение с фазовой ско­ ростью / - , которое через время At2приводит к попаданию на поверхность разрыва (в точке 5). Для определения средней скорости вычислим величину перемещения Ах (вектор 1—5 на рис. 8) и интервалы Д£х и Дt2:

Полученные значения позволяют найти среднюю скорость'

Как следует из сопоставления (1.10) и (1.17), и в этом слу­ чае получаем то же уравнение, к которому приводит ме­ тод Филиппова.

формирования поверхности разрыва. Это означает, что вся система в целом содержит некоторую дополнительную динамическую подсистему, состояние которой характе­ ризуется некоторым выходным вектором состояния у, например, размерности т) с вектором х на входе:

где А и Н — постоянные матрицы размерности т X т и т X п, собственные числа матрицы А имеют отрицатель­ ные действительные части, т — достаточно малая поло­ жительная величина, характеризующая «темп движения» дополнительной динамической подсистемы. Из-за наличия неидеальностей в каналах измерения вместо вектора х для формирования функции управления (1.18) будет исполь­ зоваться некоторый гс-мерный вектор х*, составленный из всех или из части компонент вектора у:

Л — постоянная матрица размерности п X т,

и соответственно уравнение поверхности разрыва вместо (1.18) будет иметь вид

Мы рассматриваем здесь неидеальиости лишь динамиче­ ского типа, и следовательно, в статическом режиме век­ тор а: должен измеряться без искажений. Из (1.19) — (1-21) получаем условие равенства векторов х и х* в статическом режиме, которому должны удовлетворять матрицы И, Л" и Л:

(матрица И-1 существует, так как матрица А не имеет ну­ левых корней). Таким образом, поведение системы опи­ сывается уравнениями (1.19) — (1.22) вместе с уравнением

же как и при изучении систем с гистерезисом и запазды­ ванием, будем считать постоянными.

Таким образом, при наличии динамических неидеальностей согласно (1.28), (1.29), (1.31) поведение системы (1.23) приближенно описывается уравнением

х = а - ь ^ + Ъ( - ^ с05 — ^ ь ) 51П — *- t1-32)

По мере уменьшения величины т, характеризующей до­ полнительную динамическую подсистему, частота периоди­ ческой составляющей будет увеличиваться и, как это сле­ дует из (1.32), ее влияние на двшкение в системе будет уменьшаться. Это означает, что в пределе при стремлении т к нулю решение системы (1.32) будет совпадать с реше­ нием следующей предельной системы:

Подставляя в (1.33) вместо а, Ь, с соответственно их зна­ чения 72(/+ + /~), У2 (/+ — / “ ), grad s, после преобразо­ ваний получаем

Как следует из сопоставления (1.10) и (1.34) и в случае введения в систему динамических неидеальностей с после­ дующим стремлением их к нулю, предельные уравнения также совпадают с доопределением Филиппова.

§ 6. Проблемы теории скользящих режимов в системах с разрывными управлениями

Итак, во введении мы выяснили, что, с одной стороны, применение скользящих режимов сулит довольно большие возможности для построения систем автоматического уп­ равления и, с другой стороны, для исследования дове­ дения разрывных систем требуется создание специального математического аппарата, так как для них неприемлемы методы классической теории дифференциальных уравне­ ний. С математической точки зрения поведение системы на границе разрыва можно доопределить, однако при иссле­ довании реальных систем такой подход не может быть при­ нят безоговорочно, так как любое доопределение нуж­ дается в обосновании с помощью физических соображений.

и его обоснования с помощью предельных переходов, а не

вдоопределении, как таковом, лежит центр тяжести проб­ лемы описания поведения разрывных систем. Благодаря" предельным переходам удается сиять элементы произвола

вдоопределении и сопоставить различные способы до­ определения.

Вто же время в большинстве случаев предельные пе­ реходы осуществлялись лишь для конкретных видов не-

идеальностей — гистерезиса, запаздывания [2, 23, 78, 108, 109] или же, как это сделано в § 5, для динамических неидеальностей. В связи с этим остается открытым вопрос о поведении системы при неидеальиостях произвольной природы и соответственно вопрос о границах применимо­ сти того или иного доопределения уравнений скольжения.

Вотличие от рассмотренных ранее скалярных случаев

вразрывных системах могут возникать и векторные слу--

чаи, когда управление является векторной величиной и каждая его компонента претерпевает разрывы на соот­ ветствующей поверхности. В таких системах может ока­ заться, что изображающая точка после попадания на пере­ сечение поверхностей разрыва при любом достаточно ма­ лом отклонении вновь возвращается на это многообразие. (Например, если на каждой из поверхностей разрыва вы­ полняются условия возникновения скользящего режима (1.9), предназначенные для скалярного случая.) Это оз­ начает, что дальнейшее движение будет происходить вдоль пересечения поверхностей разрыва и такое движение так­ же будем называть идеальным скольжением. Возможность появления этого более сложного вида скользящего режи­ ма порождает совокупность и более общих по сравнению со скалярным случаем постановок задач. Во-первых, необходимо в аналитической форме получить условия воз­ никновения скользящего режима уже не по одной поверх­ ности разрыва, а по пересечению нескольких поверхно­ стей. Вторая задача связана с созданием формальных методов, или доопределений, позволяющих выписать урав­ нения скольжения вдоль многообразия пересечения. И, на­ конец, третья задача состоит в обосновании этих доопре­ делений с помощью предельных переходов, которые не были бы связаны с введением конкретных видов неидеальнбстёй.'Очёвидно, что третья задача включает'в себя

§ б] ЙРОЁЛЁМЫ ТЁОРЙЙ СКОЛЬЗЯЩЙХ РЕЖИМОВ 39

сформулированную в этом параграфе задачу о поведении системы со скалярным управлением при неидеальностях произвольной природы.

Следующий далее раздел I и посвящен математическому аппарату исследования разрывных систем как со скаляр­ ным, так и векторным управлением, создание которого и предполагает решение перечисленных задач.

В разделе I приводится формальный прием получения уравнений скольжения как в скалярном, так и в векторном случаях и выделяется класс систем, для которых право­ мерность этого приема подтверждается с помощью введе­ ния неидеальностей произвольной природы и последую­ щего предельного перехода. Выявляются случаи, когда уравнения скольжения не могут быть выписаны однознач­ но, и устанавливаются причины появления неоднознач­ ности. Задача о возникновении скользящего режима для векторных случаев решается на основе второго метода Ляпунова. Рассмотренные в разделе I методы исследования ^разрывных систем могут быть использованы для изуче­ ния свойств скользящих режимов, а затем и для построе­ ния систем управления, в которых желаемые динамиче­ ские показатели удается получить за счет преднамерен­ ного создания этого вида движения. Возможные подходы к синтезу систем такого типа обсуждаются в разделе I.

Как уже отмечалось в § 2, задача синтеза может со­ стоять в определении величины управления как функции произвольных физических координат системы (а не только координаты ошибки и ее производных, как это имело место в большинстве случаев использования свойств скользя­ щих режимов), а сама функция управления может быть не только скалярной, но и векторной величиной. Методы ре­ шения наиболее часто встречающихся на практике задач управления на основе создания скользящих движений

классе систем с переменной структурой подробно изу­ чаются в разделах II и III.

Раздел II посвящен различным задачам построения систем, в которых объект является линейным, а управле­ ние — скалярной величиной. Порознь рассматриваются случаи, когда параметры объекта постоянны и меняются во времени, а также случаи, когда осуществляется управ­ ление свободным и вынужденным (при наличии возмуще­ ний) движением объекта.

В разделе III приводятся обобщения для систем с век­ торным управлением. Задачи высококачественного уп­ равления, так же как и в скалярном случае, решаются в классе систем с переменной структурой, а методы син­ теза основываются на создании скользящих движений по пересечению поверхностей разрыва. В разделе III приво­ дятся условия, при которых скользящие движения обла­ дают свойством инвариантности по отношению к внеш­ ним возмущениям и изменяющимся характеристикам объ­ екта. На основе скользящих режимов решаются также различные задачи статической оптимизации и идентифи­ кации динамических объектов.