книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

§ и СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ В СИСТЕМАХ 21

иыми параметрами рассмотрены в работах [30, 31, 42, 44, 59—61, 67, 82, 83, 85, 87, 88, 9 6 -9 9 , ИЗ].

Итак, при решении различных задач синтеза в классе систем с переменной структурой весьма эффективным ока­ залось использование скользящих режимов. Идея синтеза в большинстве случаев сводилась к созданию в системах скользящих движений, не зависящих ни от характеристик управляемого объекта, ни от приложенных к нему возму­ щений. Существенно, что для формирования скалярной функции управления не требовалась информация об этих параметрах и возмущениях, но возникла необходимость в использовании помимо координаты ошибки ее произ­ водных, число которых определялось порядком системы. В соответствии с этим движение системы рассматривалось

впространстве координаты ошибки и ее производных.

Спрактической точки зрения применение такого под­ хода может натолкнуться на существенные технические

трудности, связанные с получением производных высо­ к и х порядков. Как известно, реальные дифференцирую­ щие устройства обладают собственными инерционностями, и поэтому рассмотрение движения системы в простран­ стве координаты ошибки и ее производных может ока­ заться недопустимой идеализацией. Анализ поведения систем с переменной структурой с учетом инерционностей был проведен в работах [49—51, 93] и, кроме того, были предложены методы уменьшения влияния неидеальностей за счет создания скользящих режимов в самих дифферен­ цирующих устройствах [54, 55, 94].

Приведенные здесь примеры указывают на принци­ пиальную возможность решения наиболее часто встре­ чающихся задач управления за счет использования свойств скользящих режимов. В то же время этими задачами да­ леко не исчерпывается вся совокупность проблем, успеш­ но решенных на основе преднамеренного введения в

систему скользящих движений. В ряде публикаций отра­ жены методы построения систем, в которых принцип пе­ ременности структуры позволил обеспечить необходимые по техническим условиям ограничения на координаты объ­ екта [4], реализовать оптимальную фильтрацию при изме­ нении непредвиденным образом вероятностных характе­ ристик входных сигналов [45], улучшить качество управ­ ления за счет адаптации во время скользящего режима

184], решить задали миогосвязанного регулирования [83] осуществить идентификацию управляемого объекта [68], построить системы, осуществляющие поиск экстремума [66], и др. Систематическому изложению результатов исследований по теории систем с переменной структурой посвящены монографии [34, 45]. В этих же монографиях, а также в статье [5] приводятся достаточно полные обзоры работ по системам с переменной структурой.

§ 2. Условия возникновения и математическое описание скользящих режимов

Рассмотренные в § 1 примеры систем с переменной структурой носили частный характер, так как изучались лишь системы второго порядка с управляющим воздей­ ствием, составленным из координаты ошибки и ее про­ изводной. Тем не менее с помощью этих примеров удалось выяснить, насколько целесообразным является предна­ меренное введение в систему движений в скользящем ре­ жиме, и первые результаты оказались достаточно обна­ деживающими. В связи с этим возникает интерес рассмот­ реть возможности использования скользящих режимов в системах более общего вида.

Отметим те основные особенности, которые могут воз­ никнуть в таких системах и которые не имели место в при­ веденных выше примерах. Во-первых, повышение порядка дифференциальных уравнений системы, как это обычно бывает при использовании метода фазового пространства, приводит к существенному возрастанию аналитических трудностей, связанных с изучением поведения системы. Во-вторых, во многих случаях имеется возможность для измерения помимо координаты ошибки каких-либо физи­ ческих координат системы, которые; несмотря на отсут­ ствие производных от ошибки, характеризуют состояние системы. Этой особенностью целесообразно воспользо­ ваться при формировании функции управления. И, нако­ нец, третья особенность, которая зачастую присуща си­ стемам автоматического управления, заключается в том, что управляющие воздействия могут быть приложены к различным точкам объекта, т. е. управление является векторной величиной.

§ г] УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ 23

Итак, более общая постановка задачи об использовании скользящих режимов относится к системам, в которых функция управления формируется с использованием каких-либо координат системы, не являющихся, вообще говоря, ошибкой и ее производными, а сама функция уп­ равления может быть как скалярной, так и векторной ве­ личиной. Отметим, что в работах [6, 7, 63, 66, 83, 100— 102, 110—112, 114] рассмотрены вопросы, связанные с этими задачами.

Прежде всего необходимо уточнить формальные мате­ матические вопросы, которые возникнут при изучении указанной совокупности задач. Для этой цели обратимся к динамической системе общего вида с разрывным скаляр­ ным управлением, описываемой уравнениями

где х и / — гс-мерные векторы-столбцы, и — скалярная функция, которая претерпевает разрывы на поверх-

' ности s (х) = 0:

U |u~ {х, t) при s (х) < 0,

и+ (х, £), и~ (х, t), s {х) — некоторые непрерывные функ­ ции, и+ =)= и~. Так как мы планируем построить систему таким образом, чтобы в ней возник скользящий режим, то необходимо найти в аналитической форме условия, при которых на поверхности s — 0 возникает такой вид движе­ ния. Ранее при изучении систем второго порядка вопрос решался исходя из геометрических соображений, согласно которым в окрестности поверхности разрыва фазовые траектории должны быть направлены навстречу друг

другу.

Скользящий режим имеет смысл вводить в систему лишь в том случае, когда этот вид движения обладает желаемыми динамическими свойствами с точки зрения пре­ дъявляемых к процессу управления требований. Это озна­ чает, что мы должны уметь записывать уравнения, описы­ вающие движение в скользящем режиме. В системах второ­ го порядка, у которых поверхность разрыва была задана В пространстве координаты ощибди ц ре производной,

24 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I

уравнение поверхности являлось одновременно и уравне­ нием скольжения. К сожалению, в случаях, когда уравне­ ние поверхности разрыва задается в пространстве произ­ вольных координат, из него, вообще говоря, не удается однозначно получить уравнения скользящего режима. (Здесь же напомним, что и для систем второго порядка в § 1 уравнения скользящего режима были получены не стро­ го, а с помощью эвристических соображений.)

Таким образом, к обсуждению вопроса о целесообраз­ ности использования скользящих режимов для решения различных задач управления можно приступить лишь после того, как будут решены задачи об условиях возник­ новения скользящего режима и его математическом опи­ сании.

Необходимо отметить, что скользящие движения были обстоятельно исследованы для конкретных случаев си­ стем регулирования в работах [80, 32], появившихся в до-- военный период. Работа Г. Н. Никольского [80], по-ви­ димому, является первой публикацией по этому вопросу.

В работе [32] рассмотрена задача построения кривых пе­ реходных процессов при возникновении скользящих ре-- жимов для случая, когда в системе используется серво­ механизм постоянной скорости, а переключающее устрой­ ство обладает зоной нечувствительности.

Более детальные исследования для общих случаев стали возможны в связи с развитием методов теории колебаний. На основе фазовых представлений движения условия воз­ никновения скользящих режимов в системах со скаляр­ ным управлением применительно к линейному случаю были получены в [29]. Эти условия оказалось возможным использовать и для систем общего вида, описываемых уравнениями (1.8). Скользящий режим в системе (1.8) воз­ никает, если на поверхности s {х) = 0 могут быть ука­

знаки и направлены навстречу друг другу (рис. 5). В ана­ литической форме условия возникновения скользящего режима, полученные в [29], запишем в более удобном для

§ 2] УСЛОВИЙ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЁЖИМОВ 25

Условия (1.9) выделяют область скольжения на по­ верхности разрыва. Принято считать, что после попадания в эту область изображающая точка движется по поверх­ ности разрыва в пределах указанной области до момента достижения ее границ. Такое дви­ жение будем называть идеальным скольжением.

Обсудим теперь вопрос о ма­ тематическом описании скользя­ щих движений. С формальной точ- f ки зрения уравнения с разрывной правой частью не удовлетворяют классическим теоремам о суще­ ствовании и единственности реше­ ния и, кроме того, правая часть на границе разрыва чаще всего вообще не определена. Одним из возможных подходов к решению

этой задачи является аксиоматический подход, который предполагает доопределение уравнений скольжения. Есте­ ственно, что при этом возникает элемент неоднозначности,

ис инженерной точки зрения необходимо выбрать такие доопределения, которые позволяют правильно описывать движения, протекающие в реальных системах.

Вработах А. А. Андронова [2, 3], посвященных ис­ следованию нелинейных динамических систем, указыва­ лось, что неопределенность в поведении системы будет устранена, если в уравнениях движения учесть малые неидеальности (запаздывание, инерционности, гистерезис

ит. д.) и рассматривать так называемое реальное сколь­ жение, происходящее в некоторой малой окрестности по­

верхности разрыва. Идеальное скольжение следует рас­ сматривать как предельное движение, получаемое при стремлении всех неидеальностей к нулю.

В большом числе работ, посвященных исследованию разрывных систем, различным авторам удалось получить математическое описание процессов скольжения, причем в одних случаях эти уравнения постулировались, в дру­ гих — обосновывались предельными переходами. Поста­ новка такой задачи во всех случаях сводится к нахождению некоторой системы дифференциальных уравнений с неп­ рерывными правыми частями, которые, несмотря на раз­

5 4] ДРУГИЕ ДООПРЕДЕЛЕНИЯ 27

жение происходит по поверхности разрыва, вектор фа­ зовой скорости этого движения лежит в касательной пло­ скости к поверхности, и поэтому для его нахождения надо

где ц — параметр, зависящий от взаимного расположения ■и величин векторов-столбцов /+, f~ и вектора-строки grad s — градиента функции s (х) *). Вычисляя р из ус­

описывающее движение в скользящем режиме при допол­ нительном предположении, что начальные условия для уравнения (1.10) выбираются на поверхности разрыва, т. е. s ( х (0)) = 0. С помощью уравнений (1.10) Филиппов предложил доопределять движение в скользящем режиме.

§ 4. Другие доопределения

Рассмотрим теперь различные способы доопределения, которые были опубликованы до появления работы Филип­ пова и которые применительно к линейным системам с

*) Этому уравнению можно дать достаточно простую физиче­ скую интерпретацию. Если предположить, что в окрестности поверх-^ ности разрыва происходят переключения с достаточно высокой частотой, причем Дtx — время движения, соответствующее фазовой скорости /+, а Дt2 — фазовой скорости / _, то, обозначая через р величину Дtxl (Aij -f- Дг2), получим, что вектор р равен средней скорости такого движения.

28 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. 1

релейным управлением позволяют полупить уравнения движения в скользящем режиме.

В работах [65, 89] изучались релейные системы второго

[.Tj = ^21^1 “ Ь ®22*^2 “ Ь ^1

( М при S]> О,

1— М при s < 0, s = схг + х2>

где х-у, х, — координаты состояния, ац (£, 7 = 1, 2), с, М — const. Для получения уравнения скольжения вдоль пря­ мой s = 0 предлагается исключить из исходной системы второе уравнение, решить уравнение s = 0 относительно х2 и подставить полученное значение в первое уравнение

Авторы обратили внимание на то, что в скользящем режи­ ме уравнения движения линеаризуются *).

В работе [29] приведено обобщение предложенного в [65, 89] метода получения уравнений скольжения для линейных систем произвольного порядка, у которых разрывное управление входит лишь в одно из уравнений движения

*) Отметим, что явление линеаризации элемента с разрывной характеристикой впервые было детально исследовано в работе [69], в которой режим переключений этого элемента создавался ис­ кусственно за счет введения на его вход высокочастотного сигнала рт постороннего источника.

И в этом случае последнее уравнение в (1.11) исключается из рассмотрения, а в первые (п — 1) уравнения подстав­ ляется решение уравнения s = 0 относительно хп\

3=1

Полученная в результате этой процедуры линейная си­ стема (1.12) и принимается в качестве уравнений сколь­ жения .

В работе [78] указывается последовательность дей­ ствий, которая дает возможность записать уравнения скольжения для случая, когда помимо Ъп могут быть от­ личны от нуля и остальные элементы вектора Ъ. Согласно приведенному в этой работе методу координаты и и s системы (1.11) рассматриваются как входное и выходное воздействия, а переходная функция этой системы ср (t — т) считается известной. Тогда реакция системы на произволь­ ное входное воздействие и (t) будет иметь вид

где s0(t) — функция времени, зависящая от начальных условий, s0 (0) = 0. В качестве уравнений скольжения автор предлагает принять уравиения, которые получатся в результате подстановки решения интегрального уравне­ ния

s0(£) + ^ ф (t — т) и (т) dx = 0

о

относительно и (t) в исходную систему (1.11).

Отметим еще один метод получения уравнений сколь­ жения, основанный на замене элемента с разрывной ха­ рактеристикой линейным звеном с бесконечным коэффи­ циентом усиления [105]. Согласно этому методу в качестве уравнений скольжения следует принять предельные урав­ нения, которые получаются в результате подстановки в исходную систему (1.11) вместо управления и линейной функции ks (к = const) с последующим стремлением ко­ эффициента к к бесконечности.

В этом параграфе мы ограничились липгь описанием формальных процедур получения уравнений скольжения, умышленно оставляя в стороне вопрос об их сопоставле­ нии. К этому вопросу мы вернемся в разделе I, в котором, исходя из физических соображений, с помогдыо предель­ ных переходов будет показано, что в разрывных системах с линейным вхождением управления (а система (1.11) является таковой) уравнения скольжения при любом способе доопределения должны совпадать.

§ 5. Предельные переходы для обоснования уравнений скольжения

Все приведенные выше методы получения уравнений скольжения носили аксиоматический характер, и для того чтобы убедиться в правомерности использования этих уравнений для исследования реальных систем управ­ ления, необходимо проделать предельные переходы, о ко­ торых шла речь в § 2. Для устранения неоднозначности поведения системы па границе разрыва следует учесть различные неидеальности, которые всегда в ней присут­ ствуют и которые приводят к возникновению реального скользящего режима. Уравнения идеального скольжения могут быть получены при стремлении неидеальиостей к нулю.

Далее мы порознь рассмотрим три конкретных вида неидеальностей и покажем, что при введении каждой из них в систему (1.8) с последующим стремлением к нулю предель­ ные уравнения совпадают с уравнениями, к которым при­ водит доопределение Филиппова. По-видимому, это об­ стоятельство является одной из причин широкого исполь­ зования доопределения Филиппова для исследования систем автоматического управления сj разрывными управляющими воздействиями.

Здесь оговоримся, что все дальнейшие рассуждения будут носить качественный характер. Идея предельных переходов состоит в определении средней скорости движе­ ния изображающей точки в окрестности некоторой точки на границе разрыва и в осуществлении предельного пере­ хода, который предполагает стремление этой окрестности к нулю. В достаточно малой окрестности рассматриваемой дочки векторы фазовой скорости и градиента к поверхно­