книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

и изменение тем или иным способом направления поиска в пространстве входных параметров [115] (например, пе­ риодически, в зависимости от состояния системы, случайным образом и т. д.). Движение такой системы описывается уравнениями

где к — кусочно-постоянный вектор (кг, . . . кп), а скаляр­ ное управление и зависит от того, какой метод одномерной оптимизации используется. Выберем управление и в соот­ ветствии с описанным в § 1 алгоритмом поиска (12.3), (12.7) для случая, когда скорость задающего воздействия р меняется согласно (12.19), а величина А равна и0.

Запишем уравнение движения системы относительно выходной величины

При постоянном векторе к изображающая точка будет двигаться из любого начального положения вдоль пря­ мой, параллельной этому вектору, вплоть до достижения условного экстремума на этой прямой в точке (grad / •к) = = 0. В момент достижения условного экстремума следует изменить направление поиска за счет изменения вектора к. Покажем, что если движение к экстремуму происходит в скользящем реяшме, то информация об этом моменте может быть получена за счет измерения иср равного ггэкв. Для вычисления иэкв воспользуемся уравнением (12.6), которое в нашем случае согласно (12.19), (12.26) запишет­ ся в виде

ё = — Ро ( i - — — (grad/-Л) и.

Величина цэкв является решением уравнения 8 = 0 от­ носительно и. Найдем |ишв |, имея в виду, что в скользящем режиме иср = иэкв:

Так же как и в одномерном случае, величина |цэкв|заклю­ чена между нулем и и0. Из этого условия и (12.28) следует,

что sign иэкв = — sign (grad /•& )/т. е. уравнение (12.27)

.имеет вид

Рэкв! - p0 + K0|grad/.A| “ о-

Это соотношение означает, что по мере приближения к условному экстремуму (т. е. к точке grad / -к = 0) величи­ на мэкв приближается к и0. Этой информацией можно вос­ пользоваться, замерив величину ггср, равную ггэкв, с по­ мощью фильтра (12.19), и изменив направление поиска, когда

где б0 — некоторое достаточно малое положительное чис­ ло. Законы изменения вектора к могут быть самыми раз­ личными. Например, в соответствии с процедурой метода Гаусса — Зейделя поочередно будем выбирать одну из компонент отличной от нуля, а остальные — равными нулю, или же значения компонент вектора к будем назначать случайным образом и т. д. Мы здесь оставляем в стороне вопросы о сходимости, так как они весьма мало связаны со спецификой работы предлагаемых здесь алгоритмов поиска и в основном определяются видом оптимизируе­ мых функций. Отметим лишь, что при решении задачи оптимизации многомерных объектов также не использу­ ются какие-либо устройства, предназначенные для изме­ рения вектора градиента или различных его проекций. По сравнению с одномерным случаем нужно предусмот­ реть лишь элемент, изменяющий направление поиска в функции эквивалентного управления, которое легко по­ лучить в результате усреднения разрывного управления.

§ 5. Оптимизация при наличии ограничений на входные параметры

Во многих случаях может оказаться, что при решении задачи оптимизации вектор аргументов оптимизируемой функции / (я) не может выбираться произвольно. Такие постановки характерны также для различных задач про­ граммирования. Рассмотрим сначала случаи, когда

§ 5] ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ 247

Элементы, входящие в неравенства (12.33), которые долж­ ны выполняться для всех г — 0, . . ., т — 1, находятся в соответствии с описанной в главе IV процедурой, ис­ пользованной для получения уравнений (3.27).

Условия (12.33) можно выполнить, если известны зна­

ки функций grad у,.+1Ьг+1 (г = 0, . . ., т — 1). В тех слу­ чаях, когда такая информация отсутствует, можно вос­ пользоваться предложенным в § 2 принципом управления объектом со знакопеременным коэффициентом усиления. Согласно этому принципу каждая компонента управле­ ния должна претерпевать разрывы уже на двух «близких» поверхностях

которое она имела до попадания в эти интервалы. Величи­ на М такова, что для любого i — 1, . . ., т создаются на­ чальные условия y;iYi2< 0- Тогда при соблюдении иерар­ хии управлений компонента и[ обеспечит возникнове­ ние скользящего режима по одной из поверхностей уи = 0

ции о градиентах функций Yi (я)- Соотношения, которые позволяют выбрать величины aoi, также могут быть полу­ чены с помощью рассуждений, которые позволили выпи­ сать условия (3.30). Специфика состоит в том, что в урав­ нениях (3.29) должны быть учтены производные по време-'' ни от функций к»; и должны быть известны диапазоны изме­ нения компонент градиентов функций уг (х). В результате приходим к следующим соотношениям:

В (12.36) следует вычислить верхнюю страницу по всем компонентам векторов градиентов, по юг+1, которые опре­ деляются областью рассматриваемых значений х, а также по всем компонентам вектора к *). В обоих случаях (12.31) и (12.34) уравнения скользящего режима по пересечению поверхностей Yi = 0 (i = 1, . . ., т), определяемые мето­ дом эквивалентного управления, имеют вид

где Gч — матрица, строками которой являются градиен­ ты функций уг (i = 1, . . ., тя).

Задача выбора основного управления решается в соот­ ветствии с описанным в § 3 методом оптимизации без ограничений. При произвольной последовательности из­

менения вектора к дополнительные управления и\ «на­ правят» вектор фазовой скорости, определяемый из (12.37), вдоль пересечения поверхностей разрыва, что и гаранти­ рует выполнение ограничений (12.30).

*) Если окажется, что величина grad -уГ+11Ь^+1 близка к нулю,

то следует изменить направление вектора b£+1. Это можно сделать автоматически в соответствии с предложенной в § 3 методикой — замерить uj+1 экв и при приближении |и^+1 0КВ |к предельному значению и-г+1, 0 (что свидетельствует о приближении величины grad уГ+1&£+1 к нулю) изменить компоненты вектора Ь^+1-

к\, btf — элементы вектора kz и матрицы B"h, и? — компо­ ненты вектора uh. Условие (12.42) означает, что положи­ тельная величина Мг всегда превосходит любой элемент

вектора кги -}- Bh.nh, и из этрго условия следует, что в разрешенной области управление иг на движение не влияет.

В этой системе будет осуществляться поиск точки х* и эта точка будет найдена, если она лежит в допустимой области. Если же ограничения являются существенными и точка х* находится в запрещенной области, то в процессе поиска траектории изображающей точки, лежащие на

поверхностях hi = 0, попадут на одну или несколько плоскостей zt = 0, и при выполнении условия (12.43) на пе­ ресечении этих плоскостей возникает скользящий режим. В результате движения в скользящем режиме, так же как и в задаче с ограничениями типа равенств, будет най­ ден условный экстремум на границе допустимой области. Если на координаты системы наложены ограничения обоих типов (12.30) и (12.38), то для решения следует использо­ вать оба алгоритма одновременно.

Для того чтобы гарантировать сходимость всех приве­ денных здесь алгоритмов, нужно сделать соответствующие предположения о виде оптимизируемой функции и о функ­ циях, задающих область допустимых значений входных параметров, например, ограничиться рассмотрением лишь выпуклых функций.

§6. Обсуждение метода оптимизации

Вэтом параграфе мы кратко обсудим возможности при­ менения алгоритмов с постоянной и переменной скоростью поиска для нестационарных объектов, а также различные способы организации многомерного поиска иа основе ис­ пользования специфических особенностей этих алгоритмов.

Поиск экстремальной точки услоясняется в случае, когда координаты этой точки и вид нелинейной характе­ ристики изменяются во времени. Это обусловлено тем, что для нестационарной характеристики затруднено измерение компонент градиента (или знаков каких-либо его проек­ ций). Попытаемся с помощью алгоритма (12.3) осуществить оптимизацию нестационарного объекта, описываемого