книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

вектора (ят )' с разрывными коэффициентами, и не будем пока уточнять, по какому закону осуществляется пере­ ключение этих коэффициентов *). Покажем, что в этом случае можно обеспечить существование многообразия скольжения s = 0 размерности п — т о устойчивым дви­ жением, если найдется такое линейное управление и =

= Г (хт )' (Г — постоянная матрица размерности т X г с элементами уу), при котором характеристическое уравне­ ние системы (9.1) имеет п — т корней A,lt . . ., кп- т с отрицательными действительными частями. Остальные т корней Я„_т+1, . . ., %п могут быть произвольными, бу­ дем лишь предполагать, что если в эту группу входит какой-либо комплексный корень, то в нее входит и сопря­

собственными числами матрицы А *.

Рассмотрим порознь два случая, когда Хп является действительным числом и когда А,п_г и — комплексные сопряженные корни. В первом случае введем в рассмотре­ ние новую координату sm:

sm = стх

и подберем вектор-строку ст с элементами ст1, . . ., стп таким образом, чтобы поведение координаты sm описыва­ лось уравнением

*) Представляют интерес лишь случаи, когда управление со­ ставлено из воздействий по г координатам и г < п — т. Для слу­ чая, когда г = п — т (очевидно, и для г > п — т) в условиях существования многообразия скольжения (9.6), (9.10), (9.14) или (9.15) отсутствуют условия типа равенств, т. е. при любой матрице С за счет соответствующего выбора осу и Ру эти условия можно вы­ полнить. Это означает, что уравнения скольжения (III. IV) при F = 0, зависящие от С, вообще говоря, можно наделить любыми свойствами, в том числе и устойчивостью.

192 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

Для этого вектор ст должен удовлетворять уравнению

сщА ^псто = О-

Так как Хп является действительным собственным числом^ матрицы Л*, то у этого уравнения найдется действитель­ ное нетривиальное решение. Предположим, что стп ф 0. Тогда, выразив координату хп через sm и координаты х1? . . ., xn_lt которые составляют вектор х1, можно полу­

в результате замены последнего уравнения из системы (9.18) уравнением для sm и исключения из первых (п — 1) уравнения координаты хп, являющейся линейной комби­

а'я-мерные векторы-строки Cm-i и ст являются решениями уравнений

собственными числами матрицы А *, то у этих уравнений существуют нетривиальные решения, которые также будут комплексными и сопряженными, и следовательно, векторы ст _х и ст будут действительными. После диффе­ ренцирования smи sm_i и соответствующих преобразований получим систему из двух дифференциальных уравнений

i 2] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 193

Нетрудно убедиться в том, что все коэффициенты этой си­ стемы действительны, а корни ее характеристического уравнения равны ^n_! и Я„. Векторы Cm-i и с^, как собст­ венные векторы матрицы А *, соответствующие различ­ ным собственным числам, линейно независимы. Это оз­ начает, что линейно независимыми будут также и векторы

и ст, а поэтому из уравнений для sm_x и sm можно вы­ разить какие-либо две координаты, например, хп- г и хп через координаты х1} . . ., x'n_2, составляющие вектор х2, и новые координаты sm и sm. Подставляя в первые уравнения системы (9.18) вычисленные таким образом значения хп- х и хп и заменив последние два уравнения дифференциальными уравнениями для sm_x и sm, получим уравнения, описывающие поведение системы (9.18) в про­ странстве хх, . . ., х „-3 £,„-!, sm:

где a I — матрица размерности (n — 2) X (n — 2), a™ 1 яГ — (я — 2)-мерные векторы-столбцы. После одного из таких невырожденных преобразований координат собственные

числа матрицы А х окажутся равными %х, . . Кп-1: а мат­

рицы А 2 — . . ., %п- 2 -

г Далее в системе дифференциальных уравнений относи­ тельно вектора х1 (или х2) координату sm (или координаты и sm) будем считать входным воздействием. В этих си­ стемах произведем замену переменных и получим еще одно (или два в случае комплексных корней) уравнение, кото­ рое не зависит от оставшихся координат вектора х. Про­ делав соответствующее число таких преобразований, в ко­ торых «будут использованы» все корни Яп_т+1, . . ., Я„

7 В. И. У ткин

194 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

и заменив координаты яп_т+1, . . х п, новыми координа­ тами slt . . ., sm*), полупим уравнения, описывающие по­ ведение системы (9.18) в пространстве координат хх, ...

.. .,х п- т, Sj, . . ., вт или сокращенно в пространстве (хт, s)\

= Атхт-f- A^s,

(9.19)

s = 4 8s,

где Am, 4 KS, Л8 — матрицы размерности (п — т) X (п —- т),

Вектор $ равен Сх, а строки матрицы С размерности т х п с действительными коэффициентами вычисляются на каж­ дом шаге описанной выше процедуры. На каждом шаге преобразование координат является невырожденным, по­ этому является невырожденной матрица

п-т | Е °

чС С"

п-т т

которая переводит вектор х в вектор (х s). Из этого сле­ дует, что det С" Ф 0 и матрица (С")-1 существует.

После того, как мы описали свойства системы (9.18), выберем плоскости st = 0 (i = 1, . . ., т) в качестве по­ верхностей, на которых претерпевают разрывы компонен­ ты вектора управления и в системе (9.1). Поведение этой системы в пространстве (хт, s) описывается уравнениями (9.17). Отметим, что при выбранном векторе s эти уравне­ ния всегда правомерны, так как матрица (С")-1 существу­ ет. Предположим, что на многообразии s = 0 возникнет скользящий режим. Тогда согласно доказанной в этом па­ раграфе теореме это движение устойчиво, если при и = u3J&, в характеристическом уравнении системы, кроме т кор­ ней, совпадающих с собственными значениями матрицы A s,

*) Было показано, что на каждом шаге замена какой-либо одной или двух компонент вектора х новыми координатами из на­ бора . . ., sm всегда возможна. Будем рассматривать случаи, когда в результате всех шагов оказались исключенными коор­ динаты хп_т+1, . . . . хп.

196 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

к вычислению коэффициентов уравнения плоскостей разры­ ва согласно описанной выше пошаговой процедуре, и, нако­ нец, к определению разрывных коэффициентов управле­ ния, компоненты которого составлены из тех же коорди­ нат, что и вектор Г (ят )'.

Проиллюстрируем описанный метод нахождения управления, который обеспечивает существование многооб­ разия скольжения с устойчивым движением на примере системы четвертого порядка с двумерным управлением, описываемой уравнениями

системы имеет два корня с отрицательными действитель­ ными частями. Непосредственной проверкой можно убе­ диться, что для — — 14 х1 и щ = — 15 хх (т. е. (хт)' = = хх) это условие выполнено, так как корни характери­

Следующий шаг состоит в определении уравнений плоско­ стей разрыва. Так как корни Х3 и Я,4 являются комплекс­

i 2] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 197

статочно решить одно из этих уравнений, например, отно-

(Как и следовало ожидать, полученные значения q 3 и q 4 удовлетворяют и первому уравнению.)

Соответствующие корням К3 и Х4 новые координаты q и s2 (или sm_x и 5т ) определяются из соотношений

Векторы q и с2 являются сопряженными, поэтому уравне­ ния поверхностей разрыва имеют вид

q —— Зба:4 — Ъх2—|—Зх3 -1—2.т4,

s2 = — 2 / 1 9 ^ - 3 /1 9 а ;2 - /Т 9а;3,

а координаты а:3 и а:4, которые мы заменяем новыми пере­ менными q и q , являются линейными комбинациями а:х,

а:2, q , q :

Для получения уравнений движения относительно коор­ динат а:!, а:2, q , q нужно продифференцировать q и q

можно воспользоваться неравенствами (1.9). В окрестно­ сти пересечения = 0 и s2 = 0 скользящий режим всегда возникнет на плоскости х2, если

аг1 > —15 и р21 < —15.

Для определения уравнений движения в скользящем ре­

Воспользовавшись условиями (1.9) для этого скалярного случая, получаем условие возникновения скользящего режима в любой точке плоскости sx = 0, лежащей на пе­ ресечении sx = 0, s2 = 0:

Р21 = — 20, получаем, что на всем пересечении обеих по верхностей выполняются условия существования скользя­ щего режима, т. е. это пересечение является многообра­ зием скольжения.

Как следует из приведенной в этом параграфе процеду­ ры синтеза, движение в скользящем режиме определяет­ ся корнями ^ = —1 и %2 = —2, и следовательно, это движение устойчиво. К такому выводу можно также прий­ ти, если обратиться к первым двум уравнениям системы дифференциальных уравнений относительно xlt х2, sv s2, если s2 принять равным нулю (а это условие в скользящем

s2 = 0) они являются линейными комбинациями х1 и х2. З а м е ч а н и е . Процедура синтеза предполагала, что в результате т шагов вместо координат хл_,п+1, . . ., хп оказалось возможным ввести новые координатах!, . . ., sm. Однако может оказаться, что координаты хп- т+1, . .., хл не удастся исключить. Например, на каждом шаге последний коэффициент в соответствующем собственном

200 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

векторе равен нулю, тогда координата хп не может быть выражена через какую-либо компоненту вектора s и ос­ тавшиеся неисключенными к этому шагу компоненты вектора х. Однако, как уже отмечалось ранее, на каждом шаге какие-либо одну или две координаты вектора х можно заменить новыми координатами, которые являются компонентами вектора s. Если в результате т шагов уда­ лось исключить не жп_т+1, . . ., хп, а какие-либо другиет координат из набора х,.+1, . . хп (т. е. не входящих в со­ став вектора (ж"1)'), то описанный здесь метод синтеза также применим — нужно перенумеровать координаты хг+1,. . .

. . . , хп, присвоив номера с п — то + 1 по га исключенным координатам, и переписать полученные ранее условия существования многообразия скольжения в соответствии с новой нумерацией.

Рассмотрим теперь случаи, когда приходится вводить

. . ., хг*) являются линейными комбинациями только ком­ понент вектора s и оставшихся компонент хг, . . хг~Г' вектора (хт )'. Действительно, если бы в какую-либо из этих линейных комбинаций вошла хотя бы одна из коор­ динат хг+1, . . ., х п, то ее можно было бы выразить через компоненты векторов s и х и исключить из рассмотрения

где Г, и Г, — некоторые постоянные матрицы, размерно­ сти то X то и тох г — г', (хТ)' — (г — г')-мерныйвектор с