книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

шими возможностями «влиять» на уравнения скольжения, так как они зависят от всех компонент векторов градиен­ тов к поверхностям разрыва.

Помимо задач, уже разобранных в разделе II приме­ нительно к скалярному случаю, будут рассмотрены три новых постановки. Первая из них связана с выявлением класса систем, в которых скользящие движения инвари­ антны к внешним возмущениям и изменяющимся пара­ метрам объекта (частным случаем таких систем являются системы, описываемые уравнениями (II. VII)). Решение второй задачи предполагает построение системы оптими­ зации, в которой осуществляется поиск входных пара­ метров, обеспечивающих экстремальное значение выход­ ной величины. Эта нелинейная задача будет также рас­ смотрена для случаев, когда экстремум должен быть найден при наличии ограничений на входные параметры. Кроме того, будет рассмотрена задача об идентификации динамических объектов с помощью моделей с переменной структурой.

При формировании функции управления в системе (III.I) будем в дальнейшем выбирать уравнения поверх­ ностей, на которых претерпевают разрывы компоненты вектора и, в соответствии с (2.3), линейными, т. е.

Предполагая, что для рассматриваемой системы при­ меним метод эквивалентного управления, запишем уравне­ ния скольжения по пересечению всех поверхностей раз­

•являются векторы сг. Согласно методу эквивалентного управления нужно решить уравнение s = СА х + CDF +

182 ВЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

Такая процедура приводит к следующей системе уравне­ ний скольжения (п — пг)-го порядка:

-Ап_т (С")~ЛС ) + С" (Ат - Ап-т (С")~1С']1

Dm = D’ — В' (CB)~lCD,

?1—?)г т

Если скользящий режим, описываемый уравнениями (III. IV), возникает в любой точке многообразия (Ш ЛИ ), то в дальнейшем его будем называть многообразием скольжения.

Предположим, что в зависимости от цели управления с помощью пхтп свободных параметров су можно наделить движение в скользящем режиме теми или иными свойст­ вами. Тогда попытаемся и для таких систем с векторным уп­ равлением так подобрать компоненты управления, чтобьц многообразие s = 0, определяемое коэффициентами сц, оказалось многообразием скольжения, а изображающая точка попадала на него из любого начального положения. Обратим внимание на то, что с ростом размерности векто­ ра управления задача синтеза линейной системы (III. IV) упрощается, так как понижается порядок этой системы и увеличивается число свободных параметров.

§ 1] УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 183

Г Л А В А IX

УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ

§ 1. Условия существования многообразия скольжения для объектов с постоянными параметрами

Уравнения системы управления свободным движением объекта с постоянными параметрами имеют вид

В являются постоянными и отсутствует вектор внешних воздействий F (<).

Как было показано в разделе I, вопрос о существова­ нии многообразия скольжения сводится к задаче об устой­ чивости проекции движения системы на подпространство (ах. . . ., sm) «в малом» для всех векторов я, лежащих на этом многообразии. Уравнения этого движения можно

а матрицы А т, А т, А п-т А п-т определяются в соответствии с (III. IV).

Для определения функции управления, обеспечиваю­ щей существование многообразия скольжения, восполь­ зуемся методами синтеза, описанными в главе IV.

Рассмотрим сначала оба варианта метода диагонализации. Первый вариант этого метода согласно (4.7) пред­ полагает выбор вектора управления в следующем виде:

где и* — m-мерный вектор, каждая компонента которого

щ претерпевает разрывы соответственно на плоскости Sj (х) — 0, a Q — произвольная диагональная матрица

184 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

с отличными от пуля элементами q-t (i = 1, . . ., гаг). Для управления (9.3) система (9.2) перепишется в виде

В (9.4) (хт)' и (хт)" — г- и (га — гаг — г)-мерные векторыстолбцы с элементами соответственно (хи . . ., хг) я (гг+1, . . ., х „ -т) (1 < > га — гаг), а матрицы Н' и Я " состоят из столбцов матрицы Я:

я= |(5

г.—т—г

Всоответствии с таким разбиением выберем каждую из

компонент щ в виде суммы воздействий но г координатам хх, хг с разрывными коэффициентами

аи> Ри — постоянные коэффициенты, 8i0 — любые сколь угодно малые величины, совпадающие по знаку с дг. При различных сочетаниях значений коэффициентов

висит только от i-й компоненты вектора и , то условия возникновения скользящего режима на каждой из плос­ костей можно рассматривать независимо. Очевидно, что при выполнении соотношений

(9.6)

Н" = 0 или

h{j = 0 (г = 1, ..., гаг, у = г + 1, ..., га — гаг)

§ 1] УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 187

sign s — m-мерный вектор с компонентами sign s*. В систе­ ме с переменной структурой (9.1) с управлением (9.11), (9.12) уравнение (9.2), описывающее проекцию движения на подпространство s, имеет вид

Функцию Ляпунова для этой системы представим в виде положительно определенной квадратичной формы

v = у sTD~1s.

Производная этой функции по времени определится в со­ ответствии с (9.13)

и = sT (D~1Hxm— и°) — sTU sign s.

Использованное в (9.4) разбиение вектора Нхт на два слагаемых и представление вектора и* в виде (9.12) поз­ воляют переписать уравнение для v следующим образом:

v = sTD~1H" {хт)” + sTH* (хту —

771 Г

вектора (ж”1)' являются координаты ху, . . ., хт, из этого соотношения получаем условия, при которых функция и ■будет отрицательно определенной:

Н" = О или — О

(i = 1,..., m ,j = r - 1-1,... , n — m ),

(9.14)

где й£/ — элементы матрицы Я *. Так как функции г; и у имеют разные знаки в окрестности любой точки многообра­

188 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

зия s = 0, то согласно главе III это многообразие являет­ ся многообразием скольжения.

Второй вариант метода, основанного на использова­ нии квадратичных форм, предполагает замену уже выб* ранных плоскостей разрыва новыми плоскостями в соот­ ветствии с линейным преобразованием (9.7). Выберем матрицу £2 равной D (СВ)~г, а управление и — в соот­ ветствии с (9.9). В этом случае, следуя той же методике, с помощью которой было получено уравнение (9.13), можно записать уравнение, описывающее проекцию дви­ жения на подпространство s* = 0:

s * = D (СВ)~Шхт — Du° - D U sign s*.

Функцию v вновь выберем в виде положительно опреде­

ленной квадратичной формы y s*tD~1s*, тогда ее производ­

ная по времени будет равна

v= sT {СВ)-1 Н" (хт)” + sTH* (хт)' —

т- г

- 2 ! ( 2 т ^ - 1 * | | + » « ) Ы '

г=1 7= 1

где Ш* = {СВ)~1Н' — U0. Условия, при которых многооб­ разие s* = 0 является многообразием скольжения, ана­

где Tiij — элементы матрицы И *. Условия типа неравенств в (9.14) и (9.15) можно выполнить за счет увеличения ве~» личин atj — Р оставляя постоянными суммы atj + р ;;, которые входят в правые части этих неравенств. Сущест­ венно отметить, что полученные здесь условия, наклады­ ваемые па коэффициенты матрицы С и коэффициенты воз­ действий ац и Р ц, были получены как достаточные. Нетрудно убедиться, что при фиксированном г и выбранном

5 2] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 189

ходимым условием. Действительно, при нарушении этого условия, как это следует из (9.2), можно так выбрать ком­ поненты вектора х, лежащего на многообразии s = О,

как в выбранной таким образом точке величина s также отлична от нуля, то проходящая через нее фазовая траекто­ рия не лежит в многообразии s — 0, и следовательно, движение в скользящем режиме невозможно *).

Во всех методах, рассмотренных в настоящем парагра­ фе, поверхности разрыва, а следовательно, и уравнения скольжения не могут быть выбраны произвольно. Огра­ ничения накладываются условиями существования много­ образия скольжения (9.6), (9.10), (9.14) или (9.15), кото­ рые зависят от коэффициентов уравнений поверхностей разрыва (III. III). (Исключение составляет лишь случай, когда г -■ п — т и ограничения типа равенств отсутст­ вуют.) В связи с этим далее мы в § 2 рассмотрим вопрос об устойчивости движения по многообразию скольжения.

Итак, мы воспользовались всеми предложенными в гла­ ве IV подходами к решению задачи синтеза, за исключе­ нием метода иерархии управления. Как уже отмечалось в разделе I для реализации этого метода в отличие от уже рассмотренных не требуется знания точных значений элементов матрицы СВ. Это обстоятельство оказывается весьма существенным для построения систем управления нестационарными объектами. Поэтому далее в § 4 отдель­ но будут рассмотрены специфические особенности приме­ нения этого метода применительно к системам управления с постоянными параметрами, а затем в § 5 будет приведено обобщение на объекты с изменигощимися параметрами.

§ 2. Условия устойчивости скользящих движений

Выясним, при каких условиях для системы (9.1) дви­ жение по многообразию скольжения (III. III), описывае­ мое уравнениями (III. IV) при F (t) = 0, является устой­ чивым. При решении этого вопроса будем следовать схеме

190 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. IX

рассуждений, которые позволили получить условие устой­

п — т уравнений системы (9.1) и выражение для ё, вы­ численное в соответствии с (9.2):

следует воспользоваться для доказательства сформулиро­ ванной далее теоремы, на основании которой и решается вопрос об устойчивости движения по многообразию скольжения в системе (9.1).

Т е о р е м а . Для асимптотической устойчивости дви­ жения системы (9.1) в скользящем режиме по многообразию з = 0 (Ш Л И ) необходимо и достаточно, чтобы в харак­ теристическом уравнении системы (9.1) при и — иЭКВ) вычисленном при условии s = 0, все корни, кроме корней, совпадающих с собственными числами матрицы A s, имели отрицательные действительные части.

Мы не приводим доказательства этой теоремы, так' как оно полностью совпадает с доказательством аналогич­ ной теоремы, сформулированной и доказанной в § 3 главы V для систем со скалярным управлением.

Воспользуемся приведенной здесь теоремой для постро­ ения системы с переменной структурой, в которой мно­ гообразие пересечения плоскостей разрыва является мно­ гообразием скольжения, а движение в скользящем режи­ ме вдоль этого многообразия устойчиво.