книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

системы следует выбрать такое управление, при котором выполняется одно из условий (6.2) или (6.3). Ниже будут рассмотрены условия попадания для различных типов разрывных систем, состоящих из набора линейных струк­ тур с постоянными параметрами.

§ 2. Необходимые условия попадания

Рассмотрим необходимые условия попадания системы (5.1), (5.6), состоящей из 2к линейных структур с постоян­ ными коэффициентами, в которой изменение структуры про­ исходит на плоскости s = О (II.V) и координатных плос­ костях Xi = 0 (г = 1, . . ., к).

Задача состоит в определении таких параметров уп­ равления, для которых при начальных условиях (6.1) выполняется хотя бы одно из условий (6.2) или (6.3).

Так как до момента попадания величина s не меняет шака, то функция б„ в управлении (5.6) является посто­ янной величиной, равной 60 или — б0, и в любой момент

подстановки управления (5.6) при каких-либо фиксиро­ ванных значениях всех Т г (ос£ или (Зг) в уравнение (5.1)

находящихся в ее окрестности линейных структур. Так как на плоскостях xt = 0 [i = 1, . . . , к) управление и не претерпевает разрывов (несмотря на разрывы коэф­ фициентов *Р;) и эти плоскости не содержат целых траек­ торий, то движение изображающей точки по любой из

возникнуть. Это означает, что точки, в которых изменя­ ется структура системы на плоскостях x t= 0 (г= 1, . . . , к), составляют множество нулевой меры и па движение в си­ стеме они пе влияют. Высказанные здесь соображения означают, что исследование поведения системы до момента попадания может быть проведено лишь на основе урав­

152 УСТОЙЧИВОСТЬ В [.СИСТЕМАХ [УПРАВЛЕНИЯ £ГЛ. VI

нений (6.4) (например, с помощью метода припасования), Сформулируем и докажем необходимые условия по­ падания для системы (5.1), если все матрицы A t являются невырожденными и характеристическое уравнение'- ка$? дой линейной структуры не имеет кратных корней.

Т е о р е м а . Для попадания изображающей точки на плоскость переключения необходимо, чтобы для каждой структуры собственные векторы, соответствующие поло­

кую область в пространстве хх, . . ., хп, в которой дви­ жение системы описывается уравнениями этой структуры.

Докажем теорему методом от противного. Предположим, что характеристическое уравнение одной из структур (6.4) имеет дей, ствительный корень X и соответствующий этому корню собственны;- вектор w с компонентами wi, . . ., wn принадлежит области опреде ления этой структуры. Так как эта область определяется знаками

(wi фО (£ =1,. . . , k), так как в противном случае одна из поверх­ ностей Х{ — 0 (г = 1, к) содержала бы целые траектории, если б0 = 0.) Пусть вектор начальных условий совпадает с вектором иДр

+ Aip1660 и |ш|| бо, тогда движение в системе будет определяться соотношением

начальных условиях величины ад и s знака не [сменят, т. е. структу­ ра системы останется неизменной на бесконечном интервале вре­ мени и при этом l i m s = o o . Это означает, что попадание в системе,

t—>СХ>

не будет иметь места.

Если же нарушается второе условие теоремы, т. е. точка равно­ весия какой-либо структуры находится в ее области определения,

ю при начальных услошшх, совпадающих с этой точкой, система будет находиться в покое и попадание также не будет иметь места.

Таким образом, при нарушении условий теоремы удается найти начальные условия, при которых не происходит попадания изо­ бражающей точки на плоскость s = 0. Это и доказывает необхо­ димость сформулированных в теореме условий, так как под усло­ виями попадания подразумеваются условия, при выполнении кото­ рых изображающая точка попадает на плоскость переключения из любого начального положения.

Покажем, что при выполнении сформулированных здесь необходимых условий попадания в системе либо произойдет изменение ее структуры, либо изображающая точка попадет на плоскость скольжения.

Если все корни характеристического уравнения ка­ кой-либо структуры имеют отрицательные действитель­ ные части, то все траектории стягиваются к точке равно­ весия, которая по условию теоремы не лежит в области определения данной структуры, и поэтому произойдет из­ менение структуры системы *). Если же помимо корней с от­ рицательной действительной частью имеются комплексные горни с положительной или нулевой вещественной частью, у)величины x t и s являются функциями знакопеременным г, следовательно, структура системы изменится. И, на­ конец, если среди корней имеются корни с положитель­ ной действительной частью, но соответствующие им соб­ ственные векторы не лежат в области определения рас­ сматриваемой структуры, то траектории изображающей точки будут приближаться к этому собственному векто­ ру **) и, следовательно, структура системы также изме­ нится.

Таким образом, если при выполнении необходимых условий попадание не имеет места, то изображающая

тура системы не может оставаться неизменной.

Вопрос о том, являются ли необходимые условия од­ новременно и достаточными, остается открытым. Автору йеизвестны ни доказательство достаточности, ни примеры,

*) Сделанное ранее предположение о том, что все матрицы A i являются невырожденным, исключает появление нулевых корней.

**) Исключение составляют лишь случаи, когда действитель­ ная часть комплексных! корней превосходит действительные поло­ жительные корни, но для таких случаев, как мы только что отметили, структура системы также должна измениться.

в которых при выполнении необходимых условий попа­ дание не имело бы места.

З а м е ч а н и е . Покажем, что необходимые условия попада­ ния, о которых говорится в сформулированной выше теореме, ляются одновременно и достаточными для системы второго порядка. Перепишем уравнения (II.V), (5.1), (5.6) для случая п — 2, к =

в скользящем режиме было устойчивым и на прямой s = 0 всегда существовал скользящий режим *):

(cTb) a )> cTax — ci (cTa~),

(cTb) 3 > cTal — ci (cTa2).

Пусть для каждой из двух линейных структур (при Чг = а жав при Y = 3) собственные векторы положительных действительны! корней характеристического уравнения (если такие корни суще­ ствуют) не лежат в области ее определения. Докажем, что в этом! случае изображающая точка из любого начального положения всег-‘ да попадает на прямую s = 0. ■

Не нарушая общности рассуждений, можно рассмотреть лишь случай s (t0) > 0. При движении системы до момента попадания величина s положительна и структура системы может меняться лишь

хх = 0 скорость £х всегда совпадает по знаку с а12**), и поэтому структура системы при s > 0 может измениться не более одного раза.

Рассмотрим движение в системе, соответствующее какой-либо одной фиксированной структуре.

*) Обратим внимание на то, что выписанное здесь условие скользящего режима в отличие от_, (5.8) имеет вид строгих нера­ венств и в управлении отсутствует релейная компонета 6и, кото­ рая обеспечивала возникновение скользящего режима в начале ко­

ординат, где Yxi = 0 и при би = 0 равна нулю величина s. Если же, а и В выбраны таким образом, что попадание всегда имеет место, то необходимость в компоненте 6и отпадает, так как при малых откло­ нениях от прямой переключения в начале координат изображающая точка либо за конечное время попадет на эту прямую и по ней вер­ нется в начало координат, либо будет приближаться к началу коор­ динат асимптотически.

**) Если а12 = 0, то прямая хх = 0 содержит целую траекторию, а этот случай мы исключили из рассмотрения.

156 УСТОЙЧИВОСТЬ [В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. VI

Для доказательства теоремы рассмотрим первую производную от функции 5 по времени. После дифференцирования функции s, замены производных от координат системы их значениями из урав­

n—1

+^ [ ^ — сг (с7®71)] я-Ч— (cT6) 6U. (6.9) i=fc+l

Пусть в начальный момент времени величина s положительна (общность рассуждений при атом сохраняется). Из условий суще­ ствования плоскостей скольжения (5.8), (5.9), неравенства (6.8) и (5.6) следует, что при s > 0 правая часть в (6.9) отрицательна, или, что то же, функция s убывает. Так как скорость убывания s мень­

ше — (стЬ) 60, то эта величина при некотором гх станет равной пулы и изображающая точка попадет на плоскость скольжения.

Покажем теперь, что если в управлении (5.6) релей­ ная компонента Su отсутствует (а в таких системах, как отмечалось в § 2, плоскость скольжения также может су­ ществовать), неравенство (6.8) по-прежнему является до­ статочным условием попадания. При 6„ = 0 и выполне­ нии условий скольжения функция а уже не является строго отрицательной, а лишь неположительной. Для таких

имеет место попадание, так как при этом выполняется одно из условий (6.2) или (6.3). Рассмотрим теперь случай R 0, воспользовавшись уравнениями движения (5.24), эквивалентными уравнениям (5.1). Так как s стремится

к постоянной величине, то lim s — 0. Имея в виду, что ре* t—+СО

шение ураввения s = 0 относительно и при s = 0 равно иЭКВ, из последнего уравнения системы (5.24) получаем

lim и = Пэкв — (стЬ)-1 (стап) R.

t—*oо

Врезультате подстановки предельного значения и в пер­ вые (п — 1) уравнения системы (5.24) находим уравнение

скачкообразно изменяющимся коэффициентом. Движе­ ние такой системы описывается уравнениями

положительны (а это является необходимым условием y d тойчивости решения уравнения движения в скользящем ре­ жиме (II.VIII)), то всегда существует такое положитель­ ное число ¥ 0, что при а > То, Р — Т 0 изображающая точка из любого начального положения попадает на плос-- кость переключения s = 0.

С доказательством теоремы 3 можно ознакомиться в мо­ нографии [45].

Согласно этой теореме попадание (а, следовательно, и устойчивость) может быть достигнуто за счет увеличения коэффициента воздействия по координате хг. Такой метод стабилизации системы можно использовать и для случая, когда в (5.6) используются воздействия по нескольким ко­ ординатам (т. е. k )> 1).

Уместно отметить, что приведенная теорема носит ка­ чественный характер, так как она не позволяет опреде­ лить величину Т-о, а лишь указывает на факт существования такого минимального воздействия по координате хъ при котором достигается устойчивость. Эта теорема может служить основанием для того, чтобы отказаться от тех дополнительных требований к объекту или структуре управляющего устройства, которые были выдвинуты в тео­ ремах 1 и 2, если эти теребованжя невыполнимы или не­ приемлемы в силу каких-либо специфических особенно­ стей функционирования системы.

Г Л А В А VII

УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Применение систем с разрывными управлениями для объектов с изменяющимися во времени характеристиками также приводит к тому, что движение в скользящем режиме зависит от уравнений поверхностей разрыва, и этой возможностью следует воспользоваться для получе­ ния желаемого|характера протекания процессов управ­ ления. Методы синтеза таких систем могут быть получе­ ны в результате естественного обобщения методов, пред­ назначенных для управления свободным движением ста­ ционарных объектов.

§ 1. Уравнения движения и условия существования плоскости скольжения

Вслучае, если объект управления является линейным

инестационарным, а вневтаие воздействия отсутствуют (т. е. рассматривается свободное движение), то уравнение системы управления его движением согласно (II.IV) имеет вид

По-прежнему будем считать, что функция управления

претерпевает разрывы на плоскости s = стх = О (II.V)] и, следовательно, движение в скользящем режиме будет описываться системой уравнений (п — 1) порядка

-где параметры матрицы А 1, зависящей от А , сти Ь, опре­ деляются из соотношений (II.VI). Заметим, что уравнения (II.VI) получены исходя из того, что к рассматривае­ мой системе применим метод эквивалентного управления, т. е. величина стЪотлична от нуля.

Предположим, что, несмотря на переменность коэффи­ циентов матрицы А 1, за счет выбора вектора ст решение системы (7.2) удовлетворяет всем требованиям, предъяв­ ляемым к процессу управления. Попытаемся и в этом