книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

§ 1] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 133

Правые части в неравенствах (5.3) являются линейными функциями компонент вектора х, поэтому всегда можно подобрать такие монотонно возрастающие по модулю относительно |х |функции п+ и и~, что эти неравенства будут справедливы при любых х. Приведем один из воз­ можных вариантов разрывного управления, обеспечива­ ющего существование плоскости скольжения. Пусть управление является суммой воздействий по всем коор­ динатам системы, а коэффициенты воздействий претер­

где а ;, Р; — постоянные величины.

В такой системе с переменной структурой, состоящей из 2п линейных структур, несмотря на то, что коэффициен­

претерпевает разрывы лишь на плоскости s = 0. Следо­ вательно, функции и+ и и~ являются непрерывными (хотя' и не непрерывно-дифференцируемыми) и, как нетрудно убедиться, для системы (5.1) с управлением (5.4) выполня­ ются все условия, при которых применим метод эквива­ лентного управления *).

Выберем коэффициенты а г и рг линейных структур та­ ким образом, чтобы плоскость s — 0 оказалась плоско­ стью скольжения. Из (5.4) следует, что условия возник­ новения скользящего режима (5.3) будут выполнены при любых х, если

[sign (ст5)] а.; )> |стЪ|-1 стаг,

[sign (cTb)] Pi < |стЪр1 ста1 (i = 1, . .. , п),

где а1, . . ., а" — столбцы матрицы А.

*) Строго говоря, здесь мы имели дело с n-мерным векторным управлением, компоненты которого Ч^, . . ., Ч^ претерпевают раз­ рывы на одной и той же плоскости s = 0. Такой вырожденный слу­ чай рассматривался в § 5 главы II (случай 1°), и для него метод эк­ вивалентного управления позволяет найти управление скольже­ ния однозначно независимо от того, какие неидеальности имеются в переключающих устройствах, реализующих функции V lt ..., Чг„,

венства одновременно являются условиями-' существова­ ния плоскости скольжения условиямипопадания*). Следовательно, в такой системе всегда возникает и не прекратится движение в скользящем режиме, которое за счет выбора вектора с может быть наделено желаемыми свойствами.

Описанный метод синтеза показывает принципиальную возможность решения задачи управления свободным дви­ жением стационарного объекта за счет преднамеренного введения в систему скользящего режима. В то же время следует отметить, что этот метод'может оказаться «слиш­ ком избыточным», так как предполагает-использование воздействий по всем координатам **), что приводит к по­ явлению в системе 2" линейных структур. В последующих параграфах будут рассмотрены методы синтеза систем с разрывными управлениями, в которых число линейных структур, с помощью которых решается задача управле­ ния, удается уменьшить за счет исключения из управле­ ния (5.4) воздействий по части координат вектора х (т. е. равенства нулю соответствующих 'Fj). В таких си­ стемах плоскости скольжения уже не могут быть выбраны произвольно. В связи с этим указываются условия суще­ ствования плоскостей скольжения и выделяется класс управлений, обеспечивающих устойчивое движение по

•плоскости скольжения. Отдельно рассматривается вопрос о попадании для различных типов систем.

*) В начале координат х = '0 величины s и ь! равны нулю. Од­ нако скользящий режим в этой точке также существует, так как при любом отклонении от начала координат величины s ж3 будут иметь разные знаки и изображающая точка не может покинуть лю­ бую сколь угодно малую окрестность плоскости s = 0.

**) Отметим, что использование воздействий по всем коорди­ натам при отсутствии ограничений на коэффициенты воздействий позволяет получить желаемые динамические свойства и в классе линейных систем. Однако, как показано в [45], в системах с раз­ рывными коэффициентами каждая из структур может и не обладать желаемыми свойствами (например, все они могут быть неустойчи­ выми), а при наличии.ограничений на коэффициенты воздействий динамические показатели процесса управления в системе с разрыв­ ными коэффициентами всегда’ выше.

136 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ ЕГЛ. у

Вслучае, если коэффициенты а, (3 и с удовлетворяют не­ равенствам

фазовый портрет системы будет иметь вид, представленный на рис. 13. КДк следует из фазового портрета, на всей прямой s = 0, за исключением лишь начала координат,

фазовые траектории направлены навстречу друг другу и на этой прямой возникает скользящий режим. В начале координат условия возникновения скользящего режима заведомо нарушаются, так как в любой окрестности этой точки всегда найдутся такие траектории, по которым изо­ бражающая точка «уходит» от прямрй переключения. Введение же в функцию управления релейного члена би приводит к тому, что при Ху — — 0 величина s = = —би имеет знак, противоположный s, и поэтому в си­ стеме е управлением — — би прямая s = О является прямой скольжения.

Определим теперь условия, при которых плоскость s = 0 является плоскостью скольжения. При выбранном законе управления (5.6) найдем величину s в силу системы (5.1), имея в виду, что для точек плоскости переключения

п—1*

*n = — S CiXi 1=1

§ 2] УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ 137

к

з = 2 [ста.1— ci (стап) — (стЪ) xIJ,i]a:i

i=l

п—1

l=Jc+l

Из этого соотношения следует, что условия скользя­ щего режима (1.9) будут выполнены в каждой точке пло­ скости переключения, если коэффициенты a t и|рг в функ­ ции управления (5.6) и коэффициенты сг уравнения плоскости удовлетворяют следующим условиям:

имеют знаки, противоположные s, а слагаемые во второй сумме равны нулю. Полученные соотношения являются не только, достаточными, но и необходимыми условиями существования плоскости скольжения. Действительно, пусть для некоторого i = г одно из условий (5.8), (5.9)

существования плоскости скольжения. Существенно, что в таких системах выбор коэффициентов сг, с помощью которых обеспечивается желаемый характер движения в скользящем режиме, не может быть осуществлен про­ извольно, так как эти коэффициенты должны удовлетво­ рять уравнениям (5.9). Исключение составляет лишь слу­ чай, когда к = п — 1, т. е. условия (5.9) отсутствуют, а неравенства (5.8) всегда можно выполнить за счет соот­ ветствующего выбора коэффициентов а г и Р,-. Если же ограничены коэффициенты а г и рг, то коэффициенты с,- могут быть выбраны лишь из диапазона, задаваемого неравенствами (5.8). Наличие таких дополнительных огра­

1 3 8 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. у

ничений (5.8) и (5.9) на выбор коэффициентов уравнения плоскости переключения и составляет специфику задачи синтеза систем рассматриваемого типа. Приведем при­ меры, в которых уравнения скольжения выбираются с учетом ограничений, обусловленных условиями суще­ ствования плоскости скольжения. Рассмотрим случай, когда свободное движение системы описывается уравне­ ниями (II.VII), в которых п = 3, ах = а2 = а3 = 0, т. е.

Поставим задачу обеспечить в такой системе сущест­ вование скользящего движения и наделить это движение желаемыми динамическими свойствами, используя для этой цели известные в теории линейных систем способы оценки процессов с учетом специфических ограничений, вытекающих из условия существования плоскости сколь­ жения. Например, выберем коэффициенты уравнения плоскости переключения (5.12) так, чтобы с учетом (5.8), (5.9) обеспечить максимальную степень устойчивости скользящих движений.

Имея в виду, что для рассматриваемого случая (5.10)

стЪ = 1, стах = 0, ci (стап) = схс2, стаг = сх, ста3£= с2,

условия (5.8), (5.9) следует записать в следующей форме:

§ 2] УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ 139

При выполнении (5.13), (5.14) в системе (5.10), (5.11), (5.12) на всей плоскости s — 0 возникает движение в скользящем режиме, описываемое согласно (II.VIII) ли­ нейными уравнениями

хх = х2

(5.15)

==— ^2^2

спостоянными, параметрами с1 и с2.

Выберем коэффициенты сх и с2, исходя из оценки «сте­

Имея в виду (5.14), исключим из (5.13) и (5.16) вели­ чину сх:

(5.17)

Р < - c l

и

Найдем корни характеристического уравнения (5.18)

Из (5.19) очевидно, что чем больше величина с2, тем быстрее затухает движение в скользящем режиме. Это оздачает, что коэффициент е2 следует выбрать максималь­ но большим. Но при этом следует помнить о том, что ве­ личина с2 должна удовлетворять (5.17) и при ее увели-

' чении может нарушиться последнее из неравенств (5.17). Поэтому искомое значение с2, обеспечивающее максималь­ но возможную скорость движения системы в скользящем

—режиме, получаем из (5.17):

В качестве второго примера рассмотрим задачу вы­ бора коэффициентов сг и с2 для той же системы (5.10),

140 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. V

(5.11), (5.12), но уже исходя из другого критерия — инте­ грального. Выберем и с2 из условия минимума инте­ грала

Примем за начало отсчета момент попадания изобра­ жающей точки на плоскость скольжения, а начальные условия выберем равными хх (0) = 1, х2 (0) = 0. В рас­ сматриваемом случае интегральная оценка (5.21) имеет вид

Напомним, что величина с2 должна удовлетворять неравенствам (5.13). Поэтому, если для значения с2, до­ ставляющего минимум выбранному интегральному крите­ рию, неравенства (5.13) выполняются, то это значение и следует принять за искомое; если минимум / дости­ гается при таком значении с2, что неравенства (5.13) нарушатся, то в качестве искомого значения с2 следует принять одно и'з граничных значений (т. е. значений, при которых одно из неравенств (5.13) обращается в равенство).

§ 3. Условия устойчивости скользящих движений

Так как в системе с переменной структурой (5.1) с управлением (5.6) коэффициенты уравнения плоскости скольжения не могут быть выбраны произвольно, то может оказаться, что в рамках ограничений (5.9) не су­ ществует плоскости скольжения с желаемым характером движения в скользящем режиме.