книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

§ 4] МЕТОД СИНТЕЗА НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 121

Таким образом, процедура синтеза на основе метода диагонализации после выбора уравнения скольжения (или поверхности разрыва) предполагает два возможных пути, позволяющих обеспечить возникновение скользя­ щего режима, описываемого этим уравнением. Первая возможность заключается в выборе компонент управле­ ния в виде линейной комбинации функций, каждая из которых претерпевает разрывы на одной из выбранных поверхностей, а вторая — в такой замене уже выбранных поверхностей разрыва новыми, при которой не изменя­ ются уравнения скольжения.

§ 4. Метод синтеза на основе квадратичных форм

Метод, о котором ниже пойдет речь, так же как и ме­ тод диагонализации, предполагает замену либо вектора управления, либо уже выбранных с точки зрения урав­ нений скольжения поверхностей разрыва. Целью этой замены является приведение уравнений системы к виду, для которого можно составить такую положительно опре­ деленную квадратичную форму v и функцию управления, что производная v на решениях системы будет отрица­ тельно определенной функцией. Существование такой функции v согласно § 2 главы III и свидетельствует о су­ ществовании скользящего реяшма на пересечении по­ верхностей разрыва.

Итак, рассматривается система (2.2), (2.3) в предпо­ ложении, что поверхности разрывах; (х) = 0 (г = 1, . . .

. . ., тп) уже выбраны. Проекция движения системы на подпространство (sl5 . . ., sm) описывается системой (3.10).

Введем новый нг-мериый вектор управления и*, ком­ поненты которого изменяются в соответствии с (4.5) и

где U* — диагональная матрица с элементами (ы*+ — щ ')

(г = 1, . . ., иг), D (х, t) — произвольная симметричная матрица, которая на всем пересечении поверхностей раз­ рыва удовлетворяет сформулированным в § 3 главы ЦП условиям, т. е. все диагональные определители матрицы

— [D (х , /)]~х положительны и имеют верхнюю и нижнюю

s* (х , t) = 0 удовлетворяет сформулированным в § 3 главы III условиям, т. е. все диагональные определители

что величины |Q | и |Q- 1 1| ограничены.

При решении вопроса о возникновении скользящего режима на пересечении поверхностей разрыва можно

всоответствии с рассуждениями предыдущего параграфа

вуравнении (4.14) отбросить последнее слагаемое, так как на пересечении поверхностей разрыва вектор s * равен нулю. В системе (4.14) матрица —D* (х , it) является положительно определенной, поэтому для этой системы, как показано в § 3 главы III, область скольжения также выделяется соотношениями (3.22), которые совпадают с

такую точную компенсацию не удается обеспечить, то область скольжения, определяемую неравенствами (4.12), моз&но расширить за счет увеличения элементов матрицы U, так как это приведет к уменьшению элементов вектора

-d, равного U~r (GB)-1.

Вопрос о попадании для такого метода синтеза не может быть решен простым распространением действия неравенств (4.12) на все пространство s* при любых зна­ чениях х и t. Это следует из того, что для получения усло­ вий скольжения (4.12) из (3.22) мы отбросили последнее слагаемое в (4.14), а это можно делать лишь для малой окрестности многообразия s* = 0. Кроме того, при дока­

для переменной матрицы D (х , t) (а система (4.14) является таковой) существенным образом использовался тот факт, что движение происходит в малой окрестности пересе­ чения поверхностей разрыва и величина s* близка к нулю.

Здесь мы ограничимся лишь тем, что наметим последо­ вательность действий, направленных на определение об­ ласти попадания, т. е. области, из которой любая траек­ тория изображающей точки попадает на пересечение по­ верхностей разрыва. Сначала в соответствии с описанным в § 3 главы III методом нужно составить положительно определенную функцию v и найти ее производную в силу системы (4.13), уже не предполагая, что s* является до­

деленной. Область попадания будет ограничена поверх­ ностью v — с (с — const) с таким максимальным значе­ нием с, при котором эта поверхность целиком принад­ лежит области Г. Задача синтеза будет решенной, если удастся подобрать такую матрицу D*, что область попа­ дания включает область допустимых начальных условий. Отметим, что согласно § 3 главы III матрицу —D* можно искать не только среди симметричных матриц с положи­ тельными диагональными определителями, но и среди матриц, приводимых к такому виду в результате умно­ жения на произвольную диагональную матрицу с поло­ жительными элементами.

§ 5. Метод иерархии управлении

Этот метод предполагает искусственное создание ’ие­ рархии управлений, о которой шла речь в § 4 главы III. Иерархия управлений предполагает выполнение условия (3.30) на всем пересечении выбранных поверхностей сколь­ жения. Процедура синтеза иа основе такого подхода осу­ ществляется в следующей последовательности. Прежде всего нужно выбрать, на какой из поверхностей st — О будет претерпевать разрывы каждая из компонент век­ тора управления. Предположим, что в уравнении (3.29), записанном для поверхности sx — 0 (т. е. для к — 0)-,

соотношения (3.30) для к = т — 1 окажутся справедли­ выми, то величины sm и sm будут иметь разные знаки и изображающая точка всегда попадет на поверхность- sm = 0. Именно исходя из этого и следует выбрать

функции Цщ и Um. Следующий шаг состоит в определении таких функций и Um-i (опять же с учетом уже вы­ бранных ifinи и„), чтобы во всем пересечении поверхностей

зящего режима на этом пересечении изображающая точка

иметь место попадание на соответствующую поверхность. Компонента управления иг должна обеспечить попадание

всем пространстве, в том числе и в окрестности поверх­ ности sx = 0, то на этой поверхности возникает скользя­ щий режим. На траекториях этого скользящего движения величины s2 и s2 имеют разные знаки, поэтому изобража­

по крайней мере за т шагов, будет иметь место попадание на пересечения всех поверхностей разрыва. Полученные таким образом условия попадания будут отличаться от условий возникновения скользящего режима па пере­ сечении поверхностей st = 0 (i = 1, . . ., т) лишь тем, что каждая пара неравенств (3.30) (?с = 0, . . ., т — 1) должна выполняться не только для точек этого пересе­ чения, но и для точек многообразия большей размерности (для каждого к это многообразие имеет размерность п — к). Решением вопроса о попадании (которое в нашем случае одновременно обеспечивает и возникновение скользящего режима на многообразии s = 0) и заверша­ ется решение всей задачи синтеза.

В заключение укажем на одно существенное отличие такого метода синтеза от методов, описанных в §§ 2 и 3. В методе диагонализации и методе, построенном на ис-

РАЗДЕЛИ

СКАЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

В этом разделе будут рассмотрены различные задачи управления, возникающие в системах со скалярной функ­ цией управления в предполоя{ении, что в уравнения движения эта функция управления входит линейно. В общем случае такой системы уравнения движения имеют вид

Задача состоит в выборе такой функции гг, при кото­ рой система обладала бы желаемыми свойствами. К таким свойствам можно отнести, например, динамические пока­ затели процесса управления, точность, требуемый харак­ тер зависимости решения от каких-либо входных функций (в частности, инвариантность к возмущениям и воспро­ изводимость задающих воздействий) и т. д. Решения для различных случаев этой общей задачи будем искать в классе систем с переменной структурой, в которых управление претерпевает разрывы на некоторой поверх­ ности s (х) = 0:

где гг+ и гг- — некоторые непрерывные функции.

Во введении уже обосновывалась целесообразность использования такого подхода. Приведенные там же при­ меры свидетельствовали о том, что в случае разрывного управления к обеим непрерывным структурам (при гг, равном гг+ и гг- ) можно предъявлять существенно менее жесткие требования, чем в случае, когда задача управ­ ления решается в рамках одной непрерывной системы.

Синтез управления в каждой из рассматриваемых далее задач будет осуществляться по одной и той же схеме, кото­ рая была описана в последней главе раздела I. В соответст­ вии с этой схемойв системе преднамеренно создается движе­ ние в скользящем режиме, которое наделяется желаемыми свойствами за счет соответствующего выбора поверхности разрыва. Если поверхность разрыва выбрана, то задача синтеза сводится к выбору таких непрерывных функций и+ (ж, t) и и~.(х, t), для которых изображающая точка из любого начального положения всегда попадает на эту поверхность и в любой ее точке возникает скользящий режим. Приведенные во введении условия существования скользящего режима в скалярном случае (1.9) для системы (ИЛ), (И .II) имеют вид

Из этих соотношений и можно определить, к какому классу должны принадлежать функции и+ (ж, t) и и~ (ж, t). Например, если правая часть в (II.III) ограничена, то управление можно выбрать релейным, т. е. равным одному из двух постоянных значений, если же правая часть зави­ сит от х линейно, то управление по модулю должно быть линейной возрастающей функцией от |х | и т. д. Задача синтеза может усложниться, когда существуют какиелибо ограничения на выбор функций и+ и и~, и поэтому поверхности разрыва не могут быть выбраны произвольно. Специального рассмотрения заслуживают задачи управ­ ления нестационарными объектами, для которых функции /и Ъв уравнении движения (II.I) зависят явно от времени например, из-за изменения характеристик управляемого объекта или наличия внешних возмущений и задающих воздействий. В этих случаях выбор функции и сущест­ венным образом зависит от того, имеется ли в каждый момент времени информация о значениях этих параметров и внешних воздействий.

Совокупность всех этих вопросов будет в дальнейшем досмотрена применительно к линейной по ж и и системе,

рица размерности п X I (Z п), F (г) — Z-мерный векторстолбец внешних воздействий (Д (Z), . . /, (t)).

Будем в дальнейшем называть динамическую систему (II.IV) объектом, элементы матриц A, D и Ь — ее пара­ метрами. В случае, если внешние воздействия отсутствуют (т. е. F (г) = 0), движение будет называть свободным, а при наличии этих воздействий — вынужденным.

f'<4; Скалярное управление и будем искать в виде разрыв­ ной функции, а в качестве поверхности разрыва выберем плоскость

скользящий режим и к системе (ИЛУ) применим метод* эквивалентного управления, можно получить уравнения

Эта система описывает скользящий режим вдоль плоско-

п—1

где ж1 — (п — 1)-мерный вектор (%, . . ., жп_х), а элемен­ ты матриц А 1 размерности {п — 1) X {п — 1) и D 1 раз­ мерности (п — 1) X I соответственно равны

a\j = CLij — aincj — bt { с Ч ) - 1 [cV — c;- (cTan)]