книги из ГПНТБ / Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой

в силу системы (3.27), выполнялись при любых значе­

Знаки min и max в этих неравенствах означают, что они выполняются независимо от того, какому значению

щ или щ равны компоненты управления ut (i = к + 2,...

. . ., т). Необходимо отметить, что если во время движения в скользящем режиме по поверхности sk+1 = 0 возникнет скольжение по поверхности г^м-г (Z > 1), то условия (3.30) не нарушатся. Действительно, в этом случае в не­ равенство (3.30) вместо им нужно поставить им окп, а эта величина согласно необходимому условию возникно­ вения скользящего режима (3.3) заключена между зна­

чениями щ +1 и uk+i, для которых неравенства (3.30) справедливы.

Если полученные неравенства выполняются для неко­ торой области .S' на пересечении поверхностей s; = 0 для всех к.

(3.31)

каждое из неравенств (3.30) выделяет область скольжения на соответствующей поверхности разрыва.

Соотношения (3.30), (3.31) вводят иерархию управ­ лений, согласно которой управление иг обеспечивает движение в скользящем режиме по поверхности % = О независимо от значений н2, . . ., ит, вторая компонента щ — по пересечению sx = 0 и s2 = 0 независимо от зна­ чений us, . . ., ит и т. д. Существенно, что записанные таким образом достаточные условия скольжения получены на основе условий возникновения скользящего режима для скалярного случая и при этом, если некоторая функ­ ция sh =j= 0 (т. е. скользящего режима на этой поверхности нет) и изображающая точка попала на поверхность s^i = = 0 (Z)> 1), то на этой поверхности скользящий режим может и не возникнуть *). Обратим внимание на то, что описанный в § 3 метод, основанный на использовании свойств матрицы D с преобладающей диагональю, пред­ полагал возникновение скользящего режима при попа­ дании изображающей точки на любую из поверхностей разрыва. В заключение отметим, что система с иерархией управления совпадает с системой, у которой матрица D

При выполнении неравенств (3.32), так же как и в си­ стеме тина (3.20), скользящий режим возникает на каждой из поверхностей разрыва, а сами неравенства выделя­ ют область скольжения на их пересечении и на каждой из них.!

*) Для такой ситуации больше оснований считать, что сколь­ зящий режим не возникнет, так как на поверхности sx.+; = 0 пре­

терпевает разрывы управление и(.+(, которое меньше влияет на дви­

Ч-+г = 0 может ио измениться.

Каждая такая система с лг-мерным управлением состоит из 2т непрерывных структур, а последовательность их изменения определяется положением поверхностей раз­ рыва в пространстве координат системы.

Здесь мы не затрагиваем вопроса о выборе поверхно­ стей разрыва, так как правая часть уравнений скольжения непрерывна и эта задача является обычной задачей син­ теза, рассматриваемой в теории автоматического управ­ ления *).

Основная трудность второго этапа синтеза — выбора

значений wt и щ (£ = 1, . . ., т.) компонент разрывного управления (2.3) — состоит в том, что для векторного слу­ чая в наших руках нет универсального приема, который по аналогии со скалярным случаем позволил бы разбить многообразие пересечения поверхностей разрыва на об­ ласти, где скользящий реяшм возникает, и области, где это движение отсутствует. В то Hie время в главе III для различных ситуаций получены достаточные условия, которые гарантируют возникновение скользящего режима в определенной области на пересечении поверхностей раз­ рыва. В соответствии с этими условиями после выбора поверхностей разрыва и предлагается осуществлять вто­ рой этап задачи синтеза. В последующих параграфах разбираются различные способы выбора вектора управ­ ления, которое обеспечивает выполнение тех или иных достаточных условий возникновения скользящего режима на всем пересечении поверхностей разрыва.

§2. Инвариантность уравнений скольжения

клинейному преобразованию поверхностей разрыва

Так как условия возникновения скользящего режима зависят не только от величины разрывного управления, но и от уравнений поверхностей разрыва, то при выборе этих поверхностей наиболее существенным является во­ прос о том, единственным ли образом можно получить

*) Как будет показано ниже, эта задача приобретает специ­ фический характер, если на параметры вектора управления нало­ жены ограничения и уравнения поверхностей разрыва не могут быть выбраны произвольно. Задачи синтеза такого типа будут рассмот­ рены в дальнейшем в разделах II и III.

116 ОБСУЖДЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ СИНТЕЗА [гл. iv

желаемые уравнения скольжения. Если окажется, что одно и то же движение в скользящем режиме может быть получено различными способами, то тогда из них нужно выбрать такой, для которого проще реализовать условия возникновения скользящего режима. Покажем, что такая" неоднозначность имеет место. Пусть в системе (2.2), (2.3) возникло движение в скользящем режиме в неко­ торой области многообразия пересечения поверхностей разрыва S,- (а:) = 0 (г = 1, . . ., т) размерности п — т. Это движение описывается уравнениями (2.6). Вводом

. . ., т) соответственно, a Q (х, t) — невырожденная мат­ рица размерности т X т.

Предположим, что компоненты управления претерпе­ вают разрывы на поверхностях s* (х, t) = 0 и в некоторой области значений х и t на многообразии s* = 0 возник скользящий режим. Тогда если в рассматриваемой области

величины |Q I п |Q- 1 1| ограничены, то уравнение сколь­ жения совпадает с уравнением (2.6). Это означает, что движение в скользящем режиме инвариантно к линейному преобразованию поверхностей разрыва. Для обоснования этого утверждения будем действовать в соответствии с процедурой метода эквивалентного управления; сначала вычислим накв из уравнения

s* = Q (х, t) G (/ + Виэкв) -|- Qs = 0.

Вэтом уравнении G — матрица размерности т X п,-

строками которой являются градиенты функций (а-). Так как матрица Q (х, t) невырожденная, то величина

Полученное таким образом ид„в отличается от экви­ валентного управления (2.5), вычисленного для системы

(2.2), (2.3), слагаемым— (GB)~1Q~1Qs. Так как в реальном скользящем режиме вектор s* является достаточно малой определяемой неидеалыгостями величиной и del £2=^ О, -то величина s также мала. Величины |£2 |и |£2“ 11|огра­ ничены, поэтому в пределе, когда все неидеальности стре­

мятся к пулю, слагаемое —(GB)~1Q~1Qs будет также стре­ миться к пулю, и следовательно, для получения уравне­ ний идеального скольжения можно в выражении для ит<в

Это означает, что величины нэкв для систем с поверхно­ стями разрыва Si (х) — 0 и s* (х , t) = 0 совпадают, по­ этому совпадают и уравнения скольжения этих систем. Существенно, что хотя уравнения скольжения инвариант­ ны к линейному преобразованию (4.1), сама матрица пре­ образования £2 (х, £) влияет на движение системы в под­ пространстве s* (х, i) в окрестности многообразия пере­

где О (s*) — бесконечно малая величина порядка |s* ||. Напомним, что вопрос о выделении областей скольже­ ния решается именно на основе анализа этого уравнения. В результате появляется дополнительная возможность, которую целесообразно использовать при синтезе систем: после выбора поверхностей разрыва, исходя из желаемого характера уравнений скольжения, можно попытаться, не изменяя эти уравнения, так изменить поверхности разрыва с помощью линейного преобразования (4.1), чтобы привести уравнение (4.3) к виду, для которого применимы какие-либо достаточные условия скольжения, полученные в главе III. Более детально этот вопрос будет рассмотрен в последующих параграфах настоящей главы.

§ 3. Метод диагонализации

В соответствии с намеченной схемой синтеза будем считать, что в системе (2.2), (2.3) поверхности разрыва S; (х) = 0 (г = 1, . . ., т) выбраны и задача состоит в опре­ делении такого вектора управления, для которого все

многообразие пересечения поверхностей разрыва является областью скольжения и изображающая точка из любого начального положения попадает на это многообразие.

Попытаемся так подобрать функцию управления, что­ бы в уравнении (3.10), описывающем проекцию движения системы на подпространство slf . . ., sm, матрица GB перед управлением оказалась диагональной. Тогда дви­ жение в этом нг-мерном подпространстве распадается на независимые движения первого порядка, т. е. па т ска­ лярных случаев, а для каждого из них можно выполнить условия возникновения скользящего режима, если для любых х и t компоненты управления удовлетворяют усло­ виям (3.32). Такой метод обеспечения скользящего режима на многообразии s = 0, который предполагает выполне­ ние условий скольжения на каждой из поверхностей st (я) = 0, будем в дальнейшем называть методом диагонализации.

Рассмотрим два варианта реализации этого метода. Первый вариант предполагает введение нового вектора управления и*, который получается в результате линей­ ного преобразования исходного вектора и:

. . ., т) вектора и* претерпевают разрывы на выбранных поверхностях разрыва:

При такой замене уравнения (2.2) и (3.10) перепишутся в виде

x ^ f + B i G B ) - 1 Qu\

s = Gf + Qu*.

Предположим, что все функции в этих уравнениях таковы, что для них применим метод эквивалентного управления.

§3] МЕТОД ДИАГОНАЛИЗАЦИИ 119

Уравнение скольжения в этом случае, получаемое в ре­ зультате решения алгебраической системы s = 0 относи­ тельно и* и подстановки этого значения в систему урав­ нений относительно вектора х, совпадает с уравнением -скольжения (2.6), записанным для системы (2.2), (2.3). Это обстоятельство является существенным, так как по­ верхности разрыва st (х) (г = 1, . . ., т) выбираются исходя из уравнений (2.6).

Для того чтобы в преобразованной таким образом системе область скольжения совпала с многообразием пересечения поверхностен разрыва, достаточно для всех точек х на этом многообразии выбрать компоненты век­

которое и должно быть реализовано в системе, каждая компонента претерпевает разрывы на всех поверхностях разрыва, так как любая из функций ut (х, t) является линейной комбинацией компонент вектора и* (х, t). Если неравенства (4.6) выполняются для любых точек про­ странства (хг, . . ., хп), а не только лежащих на много­ образии s (х) = 0, то величины s; и s; всегда будут иметь разные знаки, и поэтому неравенства (4.6) будут одновре­ менно и условиями попадания.

Второй вариант метода диагонализации предполагает линейное преобразование не вектора управления, а век­ тора s в соответствии с (4.1). Компоненты вектора и будут

матрицы Q (х , t) уравнения скольжения, которые, по нашему предположению, уже выбраны, не меняются. Составим матрицу Q (х, t) таким образом, чтобы в урав­ нении (4.3) матрица перед управлением и, как и в первом варианте, оказалась диагональной матрицей Q (х, i) с элементами (х , t):