Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Трахтенброт, Б. А. Алгоритмы и вычислительные автоматы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

примитивно рекурсивным, если в нем ле участвует u-оператор, т.е. допускаются только операторы суперпозиции введения фиктивных переменных п примитивной рекурсии. Функция называется примитив но рекурсивной, если для нее существует примитивно-рекурсивное описание. Предложенное нами описание функции [log2 ] показывает, что эта функция рекурсивна; поскольку в нем встречается (i-оператор, это не дает нам основания утверждать, то [log,] примитивно рекур сивна. Однако это также не дает нам основания утверждать, что

функция [log2 ]	наверняка		не примитивно рекурсивна,	ибо заранее
не исключено,	что можно	придумать другое описание,		которое при
митивно-рекурсивно (и н			самом деле такое можно	придумать!).

«Начальные куски» рассмотренного нами описания являются рекур сивными и даже примитивно рекурсивными описаниями промежу точных функций, возникших по пути определения [log2 ], а именно суммы, произведения и т. п.

По смыслу операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и (.(.-оператора ясно, что рекурсивное описание некоторой функции может рассматриваться как своего рода программа — ее можно на зывать рекурсивной программой — для вычисления функции <р. Например, для вычисления [log,7| нужно приступать к вычислению значений 2°, 21 , 1", .... что возвращает нас к функции 1Х~ Вычисление значений этой функции сводится к вычислению значений произведе ния п так далее, вплоть до исходных функций. Однако, подытожи

вая материал предыдущих разделов, мы						можем	теперь		высказать
более	точное утверждение.			Справедлива
Т е о р е м а .		Всякая	рекурсивная		функция		вычислима		по	Тью
рингу;	существует	алгоритм,		который	по любой рекурсивной					про
грамме	строит	тыорингову		программу,		вычисляющую			ту	оке
функцию.
На первый взгляд, выбор функции 0						( A - ) , S	( Л - )	И S	( А - )	В каче
исходных может		показаться		случайным.		В некотором		смысле		это
на самом деле так; можно было бы рассматривать							и другие		исходные
функции. Однако		весьма	примечательным			и глубоким		является то

обстоятельство, что даже при нашем бедном выборе исходных функции можно получать рекурсивные описания для всех функций, наиболее употребительных в арифметике и в теории чисел; следова тельно, расширение запаса исходных функций за счет присоедние

ния

других

естественно

напрашивающихся

«кандидатов»

не приве

дет

расширению

класса

функций,

допускающих

рекурсивные

описания.

Мы ограничимся

здесь

еще

некоторыми

иллюстрациями

широты

класса рекурсивных

а значит

и класса

функций, вычисли

мых

по

Тьюрингу.

Конечные

функции.

Так

мы называет функции, которые почти

константны

следующем

смысле:

существует

такая

константа

с,

что I принимав: значения,

отличные от с не

более, чем конечное чис

ло раз.

Пусть,

например,

I (0) =

(1) =

Б, /;

( А

)

7 при

х > 3.

Тогда посредством примитивных рекурсий (типа ( # ) на

стр. 105)

по

следовательно

определяем

(0) = 5 ,

(х +

1) =

ft (0) =

I (х

-\- 1) =

[Л

( А ) .

Показать,

что

все конечные

функции

прими

тивно рекурсивны! Запомним следующие конечные функции, назы ваемые сигнум и антисигнум:

при х ф 0, при А ' = 0.

110

Арифметические функции и отношения. Мы уже установили при митивную рекурсивиость суммы, произведения, показательной функ ции и др. Применением суперпозиций можно получить всевозможные

многочлены с натуральными		коэффициентами,	а также более		слож
ные выражения	типа
	((5*+ 4 г) , + 1 7 +2xyz)-2^v		+	5
и т.п.
Некоторые	затруднения	возникают в связи		с описанием	обрат

ных операций: вычитания, деления и т.п. Поскольку они не всегда выполнимы, обычно их доопределяют дополнительными соглаше ниями, рассматривают так называемые арифметические варианты функций и т. п. Например, вместо разности я — х рассматривают

арифметическую

разность

п х =

{

~0 Х

при я

к 0

Т 0 Р а я

определяется

примитивной

рекурсией!

п — 0 — n п - (х + 1) = s (л

я).

Отсюда

видно,

что суперпозиция

sgn

(л — х)

описывает

предикат

Мн (х,

л), а

суперпозиция

sgn (л — х) X

sgn

(х

л)

определяет

предикат Рв

(л,

х). Следовательно,

функции

част (х,

л)

и ост

( А - , л),

при определении которых с помощью совместной примитивной ре курсии (11.3) использовались предикаты Мн и Рв, также примитив но рекурсивны.

Отношение делимости и свойство быть простым числом прими тивно рекурсивны в том смысле, что примитивно рекурсивны их характеристические функции

1, если х нацело делится на я,

Ов противном случае.

1.если х простое число.

пр (х) = О в противном случае.

Действительно, х\п = Рв (ост (х, л), 0); напомним, что в соот ветствии с принятым ранее определением функции ост (х, л) мы долж ны считать х\ 0 = 1.. Что же касается пр (А-), то здесь можно посту пать по-разному, но мы остановимся на следующем описании! сум ма v (и, х) вида ( * : 0 ) + (л-- 1) + ... + ( * ' : ") равна числу делителей числа х, не превосходящих и. Эта сумма может быть описана рекур сивно:

v (0, х) = 1, v (и + 1, х) = v (и, х) + (х\ {и + I)). Поэтому функция п (х), равная числу всех делителей числа х, может

быть выражена так: n(x)=v		(х, х).	Наконец, х—простое число, когда
оно больше 1 и имеет в точности			три	делителя (а именно 0, 1 и само
х). Следовательно,	пр (х) =	Мн (1,		х) X Рв (л (х),		3).
Пусть функция	П (Л) пересчитывает в порядке возрастания все
простые числа, т. е. П ( 0 ) = 2 , П (1) = 3,					П ( 2 ) = 5,	...	Очевидно,
произведение пр {у)	X Мн (Я (х), у)			равно	единице	в том	и только

в том случае, когда у — простое число, превосходящее П (х). Следо

вательно	функция П (х) рекурсивна	ибо ее	можно определить
так:
/7(0)	= 2 . Я ( А - + 1 ) = ( . 1 ( / ( ( П Р ( ( / ) Х М Н ( / 7 ( Л )		< / ) ) = 1)

I I I

11.6. Рекурсивное программирование функций, вычислимых по Тьюрингу. Вычислимы ли на машинах Тьюринга такие функции, которые не рекурсивны? Отрицательный ответ па &тот вопрос оытекает из следующей теоремы, доказательству которой и посвящен


данный параграф.			Пусть		машина	Тьюринга		вычисляет	функцию
	Т е о р е м а .						9)f
f {х\,	* т ) ;	тогда		по заданной		функциональной		схеме машины 9Л
(по	заданной	тыорин.'оеоп			программе) можно			построить	рекурсив
ное описание		этой	функции		f (х\,	хт).	степени примечательный
	Таким образом,			выясняется		в высшей

факт, что два класса функций, первоначально описанные в разных терминах, а именно, класс тыорингово вычислимых функций и класс рекурсивных функций, совпадают. Доказательство теоремы само по

себе очень поучительное,			ибо оно основано на весьма любопытном
методе арифметической		интерпретации		(арифметизации),			который
уже упоминался	бегло	в н .	11.1 В нашем	случае	арифметизация на
чинается с того, что с каждой конечной конфигурацией						К машины 9Л
сопоставляются	четверка		натуральных	чисел	s (К),	q (К),	т (К),
п (К) — координаты этой			конфигурации. Хорошо известно, сколь

плодотворным является применение координатного метода в геомет рии; он позволяет (в рамках аналитической геометрии) применять к решению геометрических задач хорошо разработанные алгебраи ческие и аналитические методы. При этом в каждой конкретной ситуации успех дела и простота решения в значительной мере за висят от того, насколько удачно выбрана система координат. В на шем случае (в отличие от аналитической геометрии!) в качестве коор динат используются не любые действительные числа, а натуральные числа; соответственно, на смену алгебраическим и аналитическим методам приходят теоретико-числовые (арифметические) конструк ции и методы.

Пусть К' — конфигурация, непосредственно следующая за /(; обозначим через s, q т п координаты «текущей» конфигурации /( и через s', q', т', п' —- координаты конфигурации К'. Наша ближай шая цель — описать такую координатизацнго, для которо.н выполне но следующее условие которое можно называть условием коррект ности: функции

s' = s' (s, q. m, n)\ q' = q' (s, q, m, n)\ m' •= m' (s q, т. я); n' = n' (s, q, m, n)

примитивно рекурсивны Именно такой удачный выбор «системы координат» — корректная координатизация — и обеспечит успех дела в целом, т. е. доказательство теоремы в полном объеме. Заметим

сначала, что любая конечная тыорингова			конфигурация К однознач
но определена четверкой (si. qj, Ki,		Кр),	где$г — обозреваемый сим
вол, qj — внутреннее	состояние.	/С; и	Кр — соответственно левое
и правое крыло конфигурации, т. е.			слова	(возможно	пустые),
располагающиеся на	ленте левее	и правее		обозреваемой	ячейки.

Разъясним это несколько подробнее. Если левее обозреваемой ячей

ки — сплошь	пустые	символы	Л,	то /<; = л ;		в противном	случае
/<; — слово,	простирающееся		от	самого	левого	непустого	символа
до той ячейки, которая непосредственно левее оборзеваемой							Напри
мер, для конфигурации К (рис. 27)
	si=i	?/ = ?з	/</ = ! * * .		Кр =	* Л 1

112

Мы покажем, как закодировать каждое из названных четырех ком

понент натуральным числом:				код	(s;).	код (</_,•).	код	(К:) код (Кр).
Это и будет четверка координат конфигурации							/(.
Будем считать, что символы внешнего алфавита и символы со
стояний занумерованы натуральными						числами S- =		{s0 , s1,		Sr-x),
Q =	{?о. 4\i	Qi' •••> Qh-yi- Соответственно положим							код	(S;-) = (',
код (qj) = /.		Для	дальнейшего	удобно считать,			что	s0	есть	пустой
знак;	итак,	ниже	всюду код (л) =		0.	Символы	s0,		sr_j	можно

рассматривать как цифры г-ичной системы счисления. Поэтому сло

во Ki можно

рассматривать как о-ичную запись некоторого

натураль

ного

числа;

это

и будет код (Ki)-

Например,

для

конфигурации

рис.

27,

полагая код

(л)

код

(•») =

код

( [ ) =

имеем

(в

троичной

системе

счисления):

код (К;)

==-2 • З 3 +

1 • З 1

1 • 3" =

22 =

[211 ] 3 *>.

Что же касается Кр,

то при определении код (Кр)

нам удобно интер

претировать

Кр как число, записанное «зеркально», т. е. старшие раз

ряды записаны правее младших. Например, для

конфигурации

рис.

имеем

код

(Кр)

1,3°

+ 0,3" + 2-3? =

19 =

[201]3 .

Итак,

для

конфигурации

К имеем: s = 2,

9 = 3 ,

т=

22,

п=

19.

На рис. 27 изображена также конфигурация К',

получаемая

из

применением

команды

| qs

-*• »I7q2 .

Для нее s'

1, q' =

tn'

68, п'

Теперь

покажем, что s',

q',

/и', п'

как

функции

от s,

т,

примитивно

рекурсивны.

Ранее

мы

уже

закодировали

внешние

символы

состояния

числами. Закодируем еще и сдвиги:

Г — с д в и г

вправо,

2 — сдвиг

влево, 0 — отсутствие

сдвига. Тогда

функциональная

схема

маши

ны Ш задается посредством тройки функций S (s, q),

Р (s, q),

Q (s,

q),

которые по кодам s, q входной пары вырабатывают

соответственно

коды переработанного символа, сдвига и

нового

состояния.

Эти

функции

определены

только при s

г и q <

но, доопределяя

их

на всех остальных значениях аргументов одним и тем же констант ным значением, мы превращаем их во всюду определенные функции, которые конечны, а следовательно (см. п. 11.5), примитивно рекур

сивны. Вернемся теперь к интересующим нас функциям s'

(s, q,

т,

п),

q' (s, q, tn, n),

(s, q, tn, n) и n'

(s,

tn,

n).

Примитивная

рекурсивность

функций s'

и q'

очевидна,

ибо

(s, q, m, n)

(s,

q), q' (s,

tn,

n) =

Q (s,

q). Что же касается

функций

т ' и

п',

то мы рассмотрим в отдельности три случая

в зави

симости

от того,

какой сдвиг

произошел

при

переходе

от

К к

/ ( ' .

1. Отсутствие сдвига, т. е. Р

(s,

q) =

0. Тогда

tn' =

т,

п'

п.

Сдвиг

вправо,

т. е. Р (s, q) =

1. Тогда

левое крыло Ki раз

растается вправо

и,

захватывая

s',

образует

Ki,

Поэтому

т'

код (K'i) =

rn-r

s'. Правое же крыло Кр укорачивается,

отсту

пая из

самой

левой ячейки, в которой

записан

младший

разряд чис

ла п. Поэтому

п' => паст (п, г).

Сдвиг

влево, т. е. Р (s, q) =

Аналогично

проверяется,

что

т'

част (т.

г),

п' = n-r +

s'.

*> Нижний индекс «3» указывает систему счисления. При отсут ствии специальных оговорок или обозначений числа считаются записанными в десятичной системе.

113

Только что приведенные словесные формулировки могут быть записаны так:

т ' =	p B (P(s,		q),	0)-т	+ Рв (Р (s, q),					l)-(m-r + s')	+
		+	Рв (Р (s.			1/),	2)	-част (//г, л)\|
п ' =	Р в ( Р ( 5 .		q),	0)-и	+	P	B ( P	( S ,	q),	1)част(п, /•)+
			+	Рв ( P ( s ,			q),	2)(п-		+.s')-
Итак, функции т'		(s,	q, т, п) и п'				(s,	q,	in, п) представлены посредст
вом суперпозиций		примитивно					рекурсивных функций Рв, Р, s'
(она же S), част, + ,		X . Следовательно, они								примитивно	рекурсивны.
Тем самым корректность					предложенной коордииатизацни пол

ностью проверена. В качестве прямого следствия этого факта можно установить примитивную рекурсивность и для других функций, опи

сывающих	работу машины	Тьюринга. Пусть	машина	Ш запущена
в некоторой	конфигурации	/( с координатами s,	q, in, п.	Тогда после

t тактов возникает конфигурация, которую мы обозначим К1 (счи

таем,

что

/<° =

К).

Координаты

конфигурации

/ ( ' , естественно,

зависят от координат исходной конфигурации

/( и от t,

т. е. являют

ся функциями от пяти аргументов: t, s, q,

in, n; обозначим их S, Q,

N-

Легко видеть,

что эта

четверка функций

определяется

одно

временной

примитивной

рекурсией,

исходя

из

функций s',q',

in',

п',

а следовательно,

все

они

тоже

примитивно рекурсивны. Дейст

вительно,

S (0, 5 ' ,

т,

п)

Q (0,

in,

п)

(О, s,

in,

п)

«=

/V (0,

in,

•=

(t+

\,s,q.

in,

n) =

(/, s, q,

m, n),

(I, s, q, in,

л),

(I, s, q.

n),

(t, s,

in,

n));

(t +

q, in,

n) =

(I,

q, in,

n),

Q (t, s,

m, n), M

(I,

in,

n), N

(I,

n));

m' (S

(I,

q, in,

n),

(t,

in,

n),

(I,

(t,

in,

n));

(I,

ill, n),

(I,

n),

[t,

in,

n),

(I, s,

in,

n)).

Указанная схема выражает следующий очевидный факт: резуль тат применения t + 1 шагов и исходной конфигурации К — это то же самое, что результат применения одного шага к результату К1, полученному после t шагов.

Теперь мы располагаем всем необходимым для завершения дока зательства теоремы в целом.

Для простоты рассмотрим случай, когда на машине Ш идет вы числение одноместной функций ft (х)\ случай многоместной функции отличается совершенно незначительными деталями. Будем также считать, что аргументы и значения ft представлены в унарной записи; как уже отмечалось в § 11.1, это ограничение тоже несущественно. Далее, для определенности полагаем, что символ | (палочка) коди руется старшей цифрой системы счисления, возникающей при арифметизации, т. е. код ( | ) = г — 1. В начальной конфигурации с ар гументом х левое крыло пусто, правое крыло Кр состоит из х — 1

114

палочки,

еще одна палочка обозревается головкой

начальном

состоянии

(см. рис. 27). Следовательно, код

(Кр)

(г— l ) r v ~ 2

(г — 1)гх~3

+ ...

(г — 1)л° =

г * - 1

—

четверка

коор

динат конфигурации

Кр

такова: г —

I ,

1, 0,

г 1 " - '

— 1.

Поэтому при варьировании начальной конфигурации с унарной

записью аргумента х координатные функции S,

Q, М,

становятся

функциями

от

двух

переменных

х.

Введем

для

них

обозначения

Q, М,

т. е.. S (1, х)

S (t,

г —

1. О,

г*"1 —J ) ,

х)

<= Q (/,/•— 1,

1, 0,

г * - 1

—

1) и т.д_. Очевидно,

S, Q, М, 7V тоже

при

митивно-рекурсивные функции. Пусть стоп-состояипе

закодировано

константой к; тогда функция г (х), равная числу тактов, которые

расходует машина fflj при вычислении значения I (х),								может быть вы-,
ражена посредством		ц-оператора,			исходя	из Q:
		T	( X ) = U * (	Q	[I. x)	=	k),
а следовательно, тоже			является	рекурсивной.
Далее,	рекурсивная функция
	Л/(т(х),	x) = N{%(x),			г — 1,	1,	0, л * - 1	_ 1)
в точности	задает	л-координату			заключительной			конфигурации

(см.

рис.

27),

которая

равна

— 1. Значит,

окончательно

для

функции

f/ (х)

получается

представление:

/(х) =

1 +

logr

[iV (т (х)

1, 0,

^ - 1 — 1 ) + 1 ] .

Этим и завершается

рекурсивное описание

функции

I (х).

§ 12. ВАРИАНТЫ ВНЕШНЕЙ ПАМЯТИ

Правильное течение любого вычислительного процесса обеспечи

вается тем, что

на каждой его стадии в памяти (машины или

вычис

лителя) сохраняются

те данные,

которые могут понадобиться

набо

лев поздних стадиях. Такие данные не только

не могут быть искаже

ны

или стерты

раньше времени,

но и должны размещаться достаточ

но удобно в памяти,

чтобы их можно было отыскать и

использовать

в нужный момент. В реальных

вычислительных

машинах это,

как

известно,

достигается

засылкой

промежуточных

результатов

спе

циальные устройства

— регистры машины или в ячейки

памяти с из

вестными

адресами,

где они хранятся вплоть до того момента,

когда

они потребуются для дальнейшей обработки. Значительно сложнее обстоит дело для машины Тьюринга; ведь в ее распоряжении имеет ся лишь одна лента, на которой п можно записывать как исходные так и результирующие и все промежуточные данные. Мы уже столк нулись с этими трудностями при параллельной композиции алго ритмов. В этом параграфе будут изложены и иллюстрированы неко торые общие соображения и методы, которые позволяют преодолевать трудности, связанные со спецификой внешней памяти машины Тью

ринга. В качестве следствия мы	получим доказательство теоремы
о программировании параллельной	композиции, сформулированной
li многократно использованной нами в предыдущих параграфах.

Однако излагаемые здесь понятия и методы представляют н само стоятельный интерес. Они пригодятся нам и в дальнейшем'.

115

12.1. Полуленты и параллельная композиция. Для лучшего понимания того, каким образом машина Тьюринга может успешно «эксплуатировать» свою внешнюю память, целесообразно рассматри

вать некоторые разновидности тыоринговой	машины,	отличающие
ся от ранее изученного основного образца	лишь	особенностями

внешней памяти, т. е. ленты. Сначала рассмотрим машину 'Ш с пра
вой полулентой (рис. 28,	о), бесконечной только в одну сторону —
а именно вправо. Можно	считать, что ячейки ленты занумерованы

слева направо числами 0, 1, 2, 3, ... В нулевой ячейке помещен спе циальный знак — обозначим его ||. Команды машины и их выпол-

«;	О	1	Z	. . .
«;	II	<"/		. . .
		Pit) P(2)		. . .
		i		. . .
8)	И Р(ПP(2)

P(v)

Piu) А

в)	II	X	X	У	У	X	А	1
							?
г)	II	X	X	У	У	X	Ч	д-
							Ч	1
з)	Н		X	У	У	X	Д	1

гi

ег	и	X	X	У	У	X	д
	7.				3	Z	/	О
ж) Pit)					ЦЪ-2)		Pto)	II
	р,
			Рис.		28.
нение имеют такой же вид, как				обычно,		с единственной			оговоркой:
в каком бы состоянии машина					ни обозревала			знак	\|\| , команда
предусматривает	сдвиг	вправо		без изменения				символа \|\| . Иначе

говоря, если в процессе вычисления головка достигнет нулевой ячей ки (о чем она узнает, обозревая символ | | ) , то она покидает ее и воз вращается направо. Пусть в начальной конфигурации исходное сло

во Р =	Р	(\)Р	(2) ... Р	(v)	(см. рис.	28, а) записано на краю полу
ленты,	т.	е. в	ячейках	с	номерами	1, 2,	тогда	фактически
весь процесс вычисления				происходит правее знака \|\| , и он				может за
кончиться		выдачей некоторого результата					R = R (\)R	(2) ...R (s),

расположенного правее этого знака. В случае отсутствия особых

оговорок	мы,	как и	прежде, будем применять обозначение вида
Ш (Р) =	R и считать,		что начальная	и заключительная		конфигура
ции стандартны, т. е. что обозревается				первый	символ слова (не счи
тая символа \|\|		из нулевой ячейки). Аналогично определяется машина
с левой	полулентой.		Обозначение Ю? (Я) =		R будет	применяться

в следующем смысле: в начальной конфигурации слово Р располо жено на краю полуленты (рис. 28, ж) и обозревается первый (слева)

его	символ.	Результат — слово	R — записан	где-то левее символа
\|\| и	в нем	также обозревается	первый слева	символ. Совершенно

116

очевидно, что функциональную схему любой машины 9Л с полулен той можно перестроить в функциональную схему обычной машины Тьюринга Эь которая в точности имитирует работу машины 93J. Отсюда следует, в частности, что все проблемы, которые можно ре шать па машинах с полулентой, можно решать (причем «почти» тем же способом) на обычных машинах. Действительно, пусть зада-

па 93с. Тогда Ш является последовательной						композицией		трех	схем:
9i =	91 ° Ш 0	2,	где 3( переводит		слово	Я в слово	\|\| Я	и возвра
щает	головку	к первой букве		слова	Я, 2	отыскивает	символ		\|\| ле
вее результата		R,	стирает его	и* возвращает		головку к первому			сим

волу этого слова. Однако оказывается (а это уже менее тривиально), что на самом деле замена неограниченной в обе стороны лепты нолулентой не ослабляет вычислительных возможностей машины.

Справедливы

следующие

утверждения.

Т е о р е м а

Существует

программирующий

алгоритм,

ко

торый

любую

тыорингову

программу

91 перерабатывает

программу

(|| 9!)

для

машины

с правой

полулентой;

при

этом

выполняются

условия:

91 (Р) •= R тогда

только

тогда,

когда

(Ц91)

(Я)

б) в машине

|| 91

результат

(так

же, как

Р)

записан

на

краю

полуленты.

строится

Т е о р е м а

2 формулируется

аналогично;

по 91

программа

(91 || )

для

машины

с левой

полулентой.

Прежде чем привести соответствующие доказательства,

пока

жем, как из этих теорем выводится теорема о программировании

па

раллельной композиции

'JI, || %2

двух

алгоритмов

?lj

я[2

Сначала

строим

программы

91, ||

|| 912 . Затем

формируем

9t, || >}12

как

ком

позицию

следующих

четырех

программ:

||)

перерабатывает

Я, || Я 2

31г

(Я,) ||

Я 2 ;

2) 2, перемещает головку с первой

буквы

слова

"Л, (Ях )

пер

вой букве

слова

Я 2 ;

(II 312)

продолжает

переработку

до

выдачи

слова

'JIj (Рг) ||

11ч-'г (^г)•

причем

головка

обозревает

первую

букву

из

912

(Я2 );

£ 2

перемещает головку

первой

буквы

$[2

(Я2 )

первой

букве

(Pi).

Построение

стандартных

программ

£ 2

тривиально, и мы его

здесь

опускаем'.

У п р а ж н е н и е .

Описать

программирующий

алгоритм

для'

параллельной композиции трех или более программ.

12.2.

Доказательство

теоремы

полуленте.

Перейдем

теперь

к доказательству

теорем

1 и 2. Для

определенности

рассмотрим

слу

чай с правой

полулентой. Программа

(ЦЭ1)

строится

как

последо

вательная

композиция трех программ:

"21»97"8,

из

которых

основ

ную нагрузку несет

91,

то

время

как

21, 2

— две

стандартные

программы, не зависящие

от

исходной

программы

91 и

выполняю

щие вспомогательные функции. Во избежание громоздкости будем считать, что в исходной программе 91 помимо пустого символа л имеются лишь два «значащих» символа х, у; в общем случае про цедура в принципе ничем не отличается, а становится лишь более громоздкой. Итак, опишем конструкции программ 21, 91, £ и разъ ясним их назначение.

1. Программа 21 (рис. 29) вписывает символ А в первую пустую ячейку исходного слова Р. Соответствующие конфигурации — ис ходная и заключительная — изображены на рис. 28, а, б.

117

2. Программа 9~7 (рис. 30). Итак, к началу применения програм

мы 9 i символы ||

и Д ограничивают на лепте зону, содержащую за

пись исходного слова Р. Далее в процессе

работы

программы

9 }

сим

вол

|| (неподвижная

метка)

сохраняется

своем

ячейке,

сим

вол

А (подвижная

метка) перемешается

вправо в каждой ситуации,

когда

выясняется,

что внутри

зоны,

ограни

ченной метками

и А

(для

краткости

будем

называть

ее просто

зоной),

нехватает

места

для вычислений. К концу

работы

программы

9t в зоне,

которая

сложится

тому

времени,

будет расположена

запись слова

R — резуль

Л!

тата.

Программа

9 i

получается

путем

рас-

ширения

программы

так,

как

указано в

схеме рис. 30. Алфавит U , у, Л) программы;)!

расширяется за

счет

символов

|| ,

Д.

Далее,

Рис. 29. для каждого состояния 17 программы 9 ! добав ляются еще 7 связанных с q состояний, которые именуются q, q^, qx, qu, qA qA, q'. Итак, число состояний в 8 раз

превосходит число состояний в Эи Проследим теперь за работой программы 9 ! и сравним ее с работой заданной программы D i . По ка головка находится внутри зоны, 9 i работает в точности так же, как 9с. Пусть впервые головка вышла на метку Д в некотором состоя

нии q

(см. рис.

28, в).

Тогда

она стирает

Д (команда Aq -+

Л flq),

<t« •

1х-

1»

1л

1А

Г\Чх *п!х

Уп1х

А^Х

Л.

лЩу

хЛ$у

УЩу

Л %

•Л

хП^й

УЧл

Л ffqА

I\t7g

УЧ&

п1п

/71

Рис.

30.

уходит

вправо

в пустую ячейку, вписывает там

Д (команда

Aij -»-

— SJIq)

и возвращается

опять-таки

в состоянии

туда,

где

прежде

была

метка Д,

а теперь

уже

пустая

ячейка

(см.

рис. 28,

г).

Короче,

метка сдвинута вправо и машина продолжает работать так же, как программа 9} в расширенной зоне. Допустим, что головка вышла на метку || в состоянии q (см. рис. 28, д). Поскольку метка || непод вижна и, следовательно, зону нельзя расширить влево, то высво бождение на левом конце пустой ячейки, необходимой для вычисле ний по программе 97, осуществляется так. Всю запись в зоне, вклю чая и метку Д, перемещают на одну ячейку вправо, а в освободившую ся пустую ячейку по соседству с меткой || помещают головку в том же состоянии q, в котором она первоначально (в поиске «свободного

пространства»!) наткнулась на метку \|\| (см.	рис. 28, е). Тем	самым
и достигается нужный эффект от программы	91Проследим	подроб-

118

нее по программе, как это происходит. Наткнувшись на || в состоя нии q головка уходит вправо (команда || q -* Яг/ц), очищает сосед нюю справа ячейку и, запоминая ее содержимое, уходит вправо


(команда	типа А-<7Ц -> Л/7<7Л содержит		состояние qx, «запоминаю
щее л-»).	Из	столбцов программы, соответствующих состояниям <7ц,
qx, qv, qA,	qA,	видно, что процесс перенесения содержимого каждой
ячейки в соседнюю с ней ячейку справа			продолжится до тех пор, по

ка головка не переместит символ Д, а потом в состоянии q' начнет

сдвиг влево, дойдет до	\|\|	и, наконец,	в состоянии	q вернется в ячей
ку, соседствующую с	\|\|	справа.
Программа 2 {рис.		31). Заметим,	что по окончании работы
результат R записан где-то в удлинившейся по ходу вычисления
зоне. Программа £ перемещает слово			R впритык	к метке \|\| и уби
рает правую метку Д.

	р,	Р.,		4	Рг
		Р.,	Ц	4	Рг
X	лРо:	РРХ	Ц		Л
У	ЛРч	"PL	щ		Л
Л	П	Л	л	хЛр, УПР,	л
д	1\Лр,		пр'у		л
II		РРх	пр'у		Л!
			Рг	31.

Тем самым теорема доказана для случая правой полуленты. Программирующий алгоритм в случае левой полуленты совсем не

значительно отличается	от описанной	выше	конструкции.
12.3. Многоэтажные	и многомерные	ленты.	В заключение этого

параграфа укажем бегло на другие возможные модификации внешней памяти машины Тьюринга.

Сначала рассмотрим случай, когда каждая ячейка ленты состоит

из верхнего и нижнего этажей и, соответственно, способна				содержать
				А'	X'
два символа — верхний		и нижний. Команды имеют вид		yq	-*• y'Pq
и выполняются так: если		в состоянии q машина обозревает верхний
символ х и нижний символ у, то она записывает на верхнем					этаже
А'', на нижнем	этаже у', осуществляет сдвиг Р н переходит в состоя
ние q'. Легко	понять, что новая концепция		несущественно	отличает
ся от обычной: все новшество заключается			лишь в том, что в качест
ве внешних символов берутся пары (столбцы высотой в две					буквы)

из какого-то другого алфавита*1 . Точно так же машина с v-этажной лентой — по существу обычная машина, внешние символы которой являются столбцами высоты v из символов некоторого алфавита. Это простое замечание позволяет строго доказать, что привлечение

*> Впрочем, можно заметить, что и обычно в реальных ситуа циях символ, трактуемый как единый объект, можно рассматривать и как нечто состоящее из двух частей — верхней и нижней, например русские буквы й, ё пли символы типа а', Ь и т. п.

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ