книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

зависимость:

Заметим, что если а есть угол между направлением движения по локсодромии и меридианом (курс корабля или самолета), то m = tg а.

Предлагается задача: найти широты тех точек, в которых самолет, пролетающий из Москвы в Ташкент по локсод­ ромии, пересечет промежуточные меридианы, например: А,=40°; 45°; 50°; 55°; 60°. Найти курс самолёта в градусной мере.

24. Локсодромия, соединяющая Москву с указанными

сшагом 10°.

26.Длина дуги параболы с хордой 2а и стрелкой h

80

Составить таблицу значений функции L (t) с тремя верными десятичными знаками на от­ резке 5 ^ / <с; 5,4 с шагом 0,04 \i считать точным числом). Пользуясь таблицей, вычислить длину дуги параболы, полагая

а— 6,4 м\ h = 4,2 м.

27.Из шара вырезается брус с квадратным поперечным сечением. Ось бруса проходит через центр шара. Радиус

вить таблицу объема бруса в зависимости от отношения

~^ на отрезке 0 1,4 с шагом 0,2 с тремя вер­

ными значащими цифрами (числа а и R считать точ­ ными) (см. рис. 17).

28. В пункте с географическими координатами: ши­ рота 50°, долгота 45°, азимут А звезды Сириус 25 декабря

81

щемся иод 48° с. ш., 45° в. д„, высота Солнца h 15 июня определяется формулой:

sin /1=0,295+0,614 cos t.

Здесь /=15° (Т—1), где Т — декретное время в часах пополудни. Найти высоту Солнца в моменты времени 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч, 6 ч, 8 ч. (Знание высоты Солнца позволяет определить время.)

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р АБ ОТ А № 1

Составление таблицы значений данной функции.

С о д е р ж а н и е р а б о т ы . Составление таблицы данной функции с использованием таблиц трансцендентных и алгебраических функций и настольных вычислительных машин.

Т и п з а д а н и я . Составить таблицу функции y —f(x) заданной точности на отрезке а ^ х ^ Ь с заданным шагом /г.

П о р я д о к п р о в е д е н и я р а б о т ы .

1) Произвести расписку формулы, определяющей дан­ ную функцию. Заготовить расчетный бланк.

2) Установить, с какой точностью должны выполняться Есе промежуточные вычисления.

82

Глааа РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ 4 И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИИ

§ 11. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

35°.Алгебраические и трансцендентныеуравнения,

Всякое уравнение с одним неизвестным может быть запи­ сано в виде:

нения входят трансцендентные функции, то уравнение

64

нение», то обычно имеют в виду уравнение в записи (4.6),

плексными. В дальнейшем будет идти речь только о вы­ числении действительных корней, причем будут рассмат­ риваться следующие задачи:

1)установить, имеет ли данное уравнение действитель­ ные корни, и если имеет, то сколько;

2)вычислить любой из действительных корней или точно (если это возможно и если имеет смысл), или при­ ближенно с заданной степенью точности.

36°. Сведения из алгебры о разрешимости алгебраиче­ ских уравнений. В курсе высшей алгебры изучаются свойства алгебраических уравнений любой степени. Приведем без доказательства некоторые свойства алгебраических урав­

нений, которые необходимо знать каждому вычислителю. 1. Всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень (действительный или комплексный).

2.Всякое алгебраическое уравнение п-й степени имеет не более п корней.

3.Всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами может иметь лишь четное число ком­ плексных (недействительных) корней.

Как же практически найти корень алгебраического уравнения? Для уравнений первой и второй степеней существуют формулы корней, они известны учащимся из общего курса математики. По этим формулам корни выражаются через коэффициенты посредством алгебраи­ ческих действий. Для уравнений третьей и четвертой сте­ пеней также существуют формулы, но эти формулы довольно сложны. Что касается, уравнений степени выше четвертой, то доказано, что корни таких уравнений вообще не могут быть выражены алгебраически через коэффициенты, стало быть, общих формул для корней уравнений степени выше четвертой быть не может. Лишь в отдельных, частных случаях уравнения выше четвертой степени могут быть

85

решены алгебраически (дву­ членное уравнение ахп=--Ь, трехчленное уравнение ax2njr

-f-6x"+c=0, возвратное и некоторые другие).

Разработаны численные ме­ тоды решения алгебраиче­ ских уравнений любой сте­ пени. Пользуясь численным методом, можно найти корни любого алгебраического урав­ нения с любой степенью точ­ ности. Поэтому численный метод является основным для решения уравнений высших степеней. В частности, урав­ нения третьей и четвертой степеней обычно также более удобно решать численным

методом, чем алгебраическим.

37°. Задачи, приводящие к уравнениям. При решении ряда практических и теоретических задач часто решение вопроса приводит к необходимости решить то или иное уравнение, алгебраическое или трансцендентное. Приве­

ными между собой плоскостями на 6 частей равного объема.

Пусть плоскости Р 0, Ри Р 2, Ps, Piy параллельные между собой, делят шар на 6 частей (рис. 20). Плоскость Рй проходит через центр шара, плоскости Р х, Р 2 распо­ ложены по одну сторону Рв, плоскости Р 3, Рд ——по дру­ гую. Проведем диаметр АВ, перпендикулярный этим плоскостям; А и В — концы диаметра. Достаточно найти расстояния Tij и h2 точки А до плоскостей Рг и Р 2, Объем

шарового сегмента с высотой h равен уэт/i2 (3R —к).

Отсюда следует, что ht удовлетворяет уравнению:

± n h 2(3R — К) = \ n R \

86

Подобным образом можно решить задачу о делении шара на любое число частей т равного объема. Задача сводится к решению кубических уравнений.

(рис. 21). Провести через точку М прямую, делящую

~ nR г, площадь фигуры MBN зависит от положения

87

можно найти приближенное решение с любой степенью

точности. Так, если т — 3, п — 4, т. е. X = ~ , то уравне­

ние примет вид:

ф -f-g-sm ср = у я.

Решая это уравнение приближенно, с тремя десятичными знаками, получим: <р « 1,464 (или ф ^8 3 °5 3 ').

Уравнение вида (К0) можно записать в более общем виде:

х —csin x ~ b , (К)

где с и b —числа. Это уравнение встречается при решении многих задач: к нему приводится ряд геометрических задач, оно играет важную роль в астрономии при опреде­ лении элементов эллиптических орбит планер Уравнение

(К) называется уравнением Кеплера.

З а д а ч а 3. Частота со продольного колебания одно­

([х—отношение массы стержня к массе подвешенного груза). Уравнение (В) также нельзя решить методами тригонометрии, но корни этого уравнения можно найти приближенно с любой степенью точности. Так, если 1= 160 см, р = 0,1, то наименьший положительный корень уравнения (3 = 0,311, со = 31,1.

§ 12. Графические методы решения уравнений

/ (£) = 0. Следовательно, абсциссы точек пересечения гра­

8 8

Иногда для графического решения уравнения целесооб­ разно записать его в виде (4.1): <р(х)—g(x). Рассмотрим

пересечения, то £ есть корень уравнения (4.1). Абсциссы точек пересечения £ь кривых, изображенных на ри­ сунке 23, суть корни уравнения. Для того чтобы найти значения корней поточнее, нужно графики вычертить тщательно (лучше всего на миллиметровой бумаге) и в боль­ шом масштабе. И все же графическим методом мы не можем получить значения корня с большой точностью. Для полу­ чения корней с любой степенью точности применяются численные методы, о которых речь пойдет ниже. Графиче­ ский метод тем не менее очень удобен во многих отношени­ ях. Он позволяет найти корни с точностью, достаточной при решении многих практических задач. Он хорош своей наглядностью, простотой и доступностью.

Однако графический метод позволяет найти корни урав­ нения лишь в некотором ограниченном промежутке, раз­ меры которого определяются допустимыми размерами чер­ тежа. Поэтому графический метод сам по себе не дает воз­ можности решить вопрос: сколько всего корней имеет дан­ ное уравнение или, быть может, вовсе не имеет корней? Впрочем, и этот вопрос можно иногда решить, если допол­ нить процесс графического решения некоторыми теорети­ ческими рассуждениями, основанными на знании свойств данных функций <р(х) и g(x), входящих в уравнение. Если мы хорошо знаем вид графиков функций <р(х) и g(x) на всей

80