книги из ГПНТБ / Пулькин, С. П. Вычислительная математика пособие для учащихся 9-10 классов по факультативному курсу

зить, что для любого числа с тем же набором значащих цифр (6, 3, 4), расположенных в том же порядке, относи­ тельная погрешность будет одна и та же. Значит, для лю­ бого из чисел 6,34; 0,634; 0,000634; 0,634-105 относительная

погрешность равна 2 ^ , или 0,08%.

Мы приходим к такому общему заключению: относи­ тельная погрешность приближенного числа определяется набором и порядком расположения значащих цифр (но не зависит от положения запятой).

Правило вычисления относительной погрешности.;

Пусть в записи приближенного числа все цифры верны. Пре­ дельную относительную погрешность можно принять равной дроби, числитель которой 1, а знаменатель есть удвоенное целое число, написанное при помощи всех значащих цифр данного числа (с сохранением порядка их записи).

Заметим, что при вычислении предельной относитель­ ной погрешности по указанному правилу главную роль играет первая из значащих цифр, остальные можно за­

или бв = 0,06%.

Приведем данные о зависимости относительной по­ грешности от числа значащих цифр с учетом первой цифры.

Таблица I

Относительные погрешности (в процентах)

В случае четырех значащих цифр все числа последней строки надо уменьшать в 10 раз, в случае пяти цифр — в 100 раз и т. д.

30’

Упражнение. Найти предельную относительную по­ грешность каждого из данных приближенных чисел: 2,84; 0,284; 38,7; 0,0043; 0,004300; 0,08; 0,00800; 0,02104; 5,34-1012.

З а м е ч а н и е . Если приближенное число написано в плавающей форме (1.10), то относительная погрешность определяется набором значащих цифр в записи числа а0.

Так, числа 0,42-104; 0,042-108; 0,42-10-5 имеют одну и ту же

12°. Отыскание числа значащих цифр по заданной от­ носительной погрешности. Пусть перед вычислителем ста­ вится задача: найти приближенное значение некоторой величины так, чтобы относительная погрешность не пре­ вышала 1 %. Если никаких других сведений о приближен­ ном числе нет, то, пользуясь таблицей I, мы определяем, что для обеспечения нужной точности достаточно трех значащих цифр. Если же нам известна первая цифра, то вопрос может быть решен более точно. Например, если известно, что первая цифра 6 или более, то из той же таб­ лицы видно, что две значащие цифры обеспечат требуемую точность.

П р и м е р . . Требуется найти сторону квадрата, пло­ щадь которого S=32,4 дм2, так чтобы относительная по­ грешность не превысила 1% (число 32,4 точное). Искомая

сторона квадрата а = ] /32,4. Извлекать корень по извест­ ному правилу мы можем с любой степенью точности, полу­

чаем: п=}/32,4=5,6921... . Округлим полуденный ре­ зультат так, чтобы обеспечить требуемую точность. Так как первая значащая цифра 5, то из таблицы I видно, что до­

a=Y 12,1=3,47851... . Так как первая цифра 3, то из этой же таблицы видно, что для обеспечения заданной точности требуются три значащие цифры. Округляя до трех цифр, получаем: а«3,48.

У праж нение. Округлить данные числа так, чтобы отно­ сительная погрешность полученного приближенного числа не превышала 0,2% (сначала пользоваться таблицей, а за­ тем проверить непосредственным вычислением): 1,734804;

31

Рассматривая приближенные числа, мы замечаем, что существуют различные источники погрешностей. Вычисли­ тель должен учитывать, каковы эти источники.

13°. Неустранимая погрешность. Это есть погрешность, происходящая от того, что значение данной величины полу­ чается из опытных данных, например, в результате изме­ рения («ошибка измерения»). Величина этой погрешности не может быть уменьшена вычислителем. Поэтому погреш­ ность такого рода называется неустранимой погрешностью.

В таблице II приведены данные о точности некото­ рых измерительных приборов.

14°. Погрешность округления. Это есть погрешность, возникающая при округлении. Производя округление, мы заменяем данное число другим, представляющим его при­

до двух значащих цифр, получим 2,4. Погрешность округ­ ления менее 0,03.

Или возьмем число /3 = 1 ,7 3 2 0 5 ... . Это число — ирра­ циональное, оно выражается точно бесконечной десятичной дробью. Беря в этой записи три цифры, получаем прибли­

женное значение /3 « П ,7 3 . Погрешность не превы­ шает 0,003. Это тоже погрешность округления.

Напомним, что при применении правила округления точного числа погрешность округления не превосходит у

едииицы десятичного разряда, соответствующего послед­ ней значащей цифре.

Оценка абсолютной погрешности числа, полученного, после округления. В приведенных примерах было дано точное число, мы производили округление и оценивали погрешность.

Пусть теперь дано приближенное число а, у которого известна предельная абсолютная погрешность Да. Округляя это приближенное число, мы получим новое приближенное

32

число aL, Легко видеть, что предельная абсолютная погреш­ ность числа аг равна сумме предельной абсолютной погреш­ ности числа а и погрешности округления.

Значит, Ла=0,005. Округляя до двух значащих цифр, получаем «j=5,3. Погрешность округления Д '=0,04. Полная погрешность числа равна 0,005+0,04—0,045< <0,05. Значит, в записи «^=5,3 все цифры верны.

§ 5. ДЕЙСТВИЯ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ

При выполнении действий над приближенными числами мы получаем также приближенное число. Напомним из­ вестные из общего курса математики правила, позволяю­ щие определить абсолютные и относительные погрешности величин, полученных в результате действий над исходными,

=0,005+0,005+0,005=0,015. Округляя (и учитывая по­

+0,005=0,005-9=0,045. Вычисляя сумму, получим: м= =528,65. Так как А„= 0,045, то последняя цифра сомни­ тельна. Округляя и учитывая ошибку округления, полу­ чаем: «»528,7(±0,1).-Здесь последняя цифра сомнительна.

Округляя еще раз, получим: ««529. В последней записи все цифры верны. Однако здесь выгоднее, применяя прин­ цип А. Н. Крылова, оставить в записи сомнительную цифру, ошибка которой не превышает одной единицы.

Заметим, что если все слагаемые имеют одинаковую предельную абсолютную погрешность, то предельная аб­ солютная погрешность суммы равна произведению пре­ дельной абсолютной погрешности одного слагаемого на число слагаемых.

34

17°. Возведение в степень и извлечение корня из прибли­ женных чисел. Т е о р е м а 5. Предельная относительная погрешность степени приближенного числа равна произве­ дению показателя степени на предельную относительную погрешность основания.

Т е о р е м а 6. Предельная относительная погрешность корня из приближенного числа равна предельной относи­ тельной погрешности подкоренного числа, деленной на по­ казатель корня:

действительного показателя, что может быть доказано методами дифференциального исчисления (см. ниже,

гл. 10).

П р и м е р 1. Вычисляют объем куба по формуле V = а3, где а —длина ребра, измеренная с погрешностью не бо­ лее 1%. Предельная относительная погрешность бу = 3 х

*б в = 3%.

Пр и м е р 2. Вычисляют и = а4, где о = 1,30 (все цифры

Дй = 3- 0,012 = 0,036. Это значит, что в записи числа 2,8561 две значащие цифры верны. Округляя так, чтобы сохра­ нить только верные цифры, получаем: а 4« 3 . Впрочем, выгоднее записать результат так: а*« 2,85 ± 0,05.

18°. Оценка погрешности результата вычислений по формуле. В практике вычислений очень часто приходится оценивать погрешность числового значения величины, полученной в результате вычислений по формуле, которая

Н « 84,3 см. С какой точностью по этим данным можно найти V? Сколько будет верных значащих цифр? Сколько верных десятичных знаков? -

Сначала найдем грубое приближенное значение объема, полагая я « 3 , R « 30 см, Н ж 80 см да еще округляя

36

получаемые в процессе вычислений результаты. Получим:

выполнении вычислений результат будет иметь в деся­ тичной записи три верные значащие цифры.

Теперь мы можем выполнять вычисления, используя полностью записи исходных данных. Результат округлим

(при этом учитываем, что погрешность постоянного коэф­ фициента 2 равна нулю):

$т~ + пт (^iТ'^g) •

Из записи исходных данных находим:

грубое приближение, устанавливаем, что при точном выполнении вычислений результат будет иметь четыре верные значащие цифры. Производя вычисления и округ­ ляя до четырех значащих цифр, получим: Т = 2,198 сек.

с = 2,33; d = 1,64.

Здесь нужно произвести сложение, при котором легко определяется абсолютная погрешность, и, кроме того,

37

умножение и деление, при которых легко определяется относительная погрешность. Поэтому при оценке погреш­ ности надо будет переходить от одного вида погрешности к другому.

Найдем Ac+d= A c + A d= 0 ,005 + 0,005=0,01. Для даль­ нейшего придется найти относительную погрешность зна­

дет три верных значащих цифры. Производя вычисления точно и сохраняя в результате три значащие цифры, получим:

и яа 10,3.

19°. О вычитании «близких чисел». Пусть даны при­ ближенные числа а = 58,345 и 6 = 58,321, требуется найти

тельную погрешность разности. ои — y firjy — ol)24' Можно

принять 8а= 0,05 = 5 %. Как видим, относительная погреш­ ность разности в 5000 раз больше, чем погрешность вы­

Точность результата при вычитании близких чисел можно повысить, если перед выполнением вычислений произвести тождественные преобразования так, чтобы

Это разность близких чисел. Во избежание потери точ­ ности преобразуем выражение так:

У полученного результата все цифры верны.

38

20% Обратная задача теории приближенных вычисле­ ний. Рассмотрим задачу. Требуется вычислить объем ко­

нуса по формуле V — ~ n R 3H так, чтобы погрешность не

превышала 0,1% . С какой точностью следует измерить радиус основания и высоту, чтобы обеспечить требуемую

т. е. 6„ можно взять сколь угодно малым. Положим пока,

нение имеет бесконечное множество решений, задача ока­ зывается неопределенной.

Но мы можем наложить на 8Д и 8Я некоторые допол­ нительные условия. Например, мы можем считать, что измерения R и Я будут проведены при одинаковой точ­ ности измерительных инструментов. Значит, можно поло­

достаточно произвести измерения R и Н с погрешностью, не превышающей 0,1 мм.

Итак, в теории приближенных вычислений рассматри­ ваются две основные задачи.

Прямая задача. Указаны действия, которые следует выполнить над приближенными числами (например, про­ извести вычисления по данной формуле), и заданы предель­ ные погрешности этих чисел. Требуется оценить погреш­ ность результата.

Обратная задача. Указаны действия, которые нужно выполнить над приближенными числами (например, про­ вести вычисления по данной формуле). Требуется устано­

39