книги из ГПНТБ / Повх, И. Л. Магнитная гидродинамика в металлургии

Допустим, что возмущающее течение состоит из от­ дельных колебаний, причем каждое из этих колебаний представляет собой распространяющуюся в направлении

оси х волну. Предположим, что возмущения задаются в

виде:

60

где рг — круговая частота отдельного колебания; р ,— коэффициент нарастания.

Если рг-СО, то колебание затухает и ламинарное те­ чение устойчиво; если же p i> 0, то колебание нарастает и имеет место неустойчивость.

Целесообразно ввести также параметр с = — =cr-\-icl

а

Здесь Сг характеризует скорость распространения волн в направлении х (фазовая скорость), а С{ — затухание или

нарастание возмущений.

После подстановки выражений (ПО) в уравнения (102) — (109) и преобразований имеем:

рр V jj,

(D2 — i а [г a vx) фг = — а ц (t а Вх Фу + В Фу) , (112)

где

ные уравнения магнитопидродинамической теории устой­ чивости для плоскопараллельного течения.

Если магнитное поле отсутствует, то уравнение (Й2) превращается в тождество, а уравнение (111) переходит в обычное уравнение устойчивости ламинарного плоокопараллельното течения с трехмерными возмущениями.

© работе [23] показано, что с точки зрения наруше­ ния устойчивости двумерные возмущения опаснее трех­

61

При исследовании устойчивости необходимо решать задачу о собственных значениях уравнений (111) и (112) при соответствующих граничных условиях.

Р. Локк рассмотрел устойчивость ламинарного тече­ ния в плоском канале при наличии поперечного 'магнит­ ного поля и i?em-cl. Пренебрегая индуцированным маг­ нитным полем Вх {у), из уравнения (67) получим

чаем приближенное уравнение устойчивости в виде:

(vx с) (Фу а2 Фу) Фу v — г —-----Фу -

?Г Р а :

62

по сечению канала. Потеря устойчивости наступает при определенном значении отношения Re/Ha. Для больших

чисел Гартмана Р. Локк получил выражение для крити­ ческого значения числа Рейнольдса

Результаты, полученные Локком, обобщены на слу­ чай умеренных магнитных чисел Рейнольдса [32].

Влияние продольного магнитного поля. В этом случае магнитное поле не влияет на профиль скорости и имеет место параболическое распределение скорости, как в плоском течении Луазейля. После линеаризации системы уравнений магнитной гидродинамики относительно ма­ лых возмущений скорости и магнитного поля в безын­ дукционном приближении получим уравнение устойчиво­ сти в безразмерной форме:

(рх — с) (Фу — а2 Фу) — Фу vx -\- i St а Фу —

Решая это уравнение, Стюарт получил семейство кри­ вых нейтральной устойчивости для разных значений числа Стюарта (рис. 20):

Следует подчеркнуть, что поперечное магнитное поле оказывает значительно более сильное стабилизирующее

действие, чем продольное поле. Для иллюстрации сказан­ ного на рис. 21 приведены зависимости критического чи­ сла Рейнольдса ReKp от числа Гартмана [17].

63

Влияние скрещенных электрического и магнитного по­ лей. Влияние скрещенных электрического и магнитного полей на устойчивость плоского движения электропрово­ дящей жидкости со свободной поверхностью при нали­ чии однородного магнитного поля B2=-B = const и про­ дольного электрического тока рассмотрено в работе [33 с. 368—376]. Электромагнитная сила может быть на­ правлена как к свободной поверхности, так и ко дну ка­ нала. Предполагается, что Rem< 1, а свободная поверх­

ность потока и дно канала изолированы друг от друга. Анализ решения уравнения устойчивости показывает, что влияние невозмущенной электромагнитной объемной силы (ЭМОС) и ее возмущения на устойчивость течения

жидкости различно.

При направлении невозмущенной ЭМЮ-С к свободной поверхности потока предел устойчивости течения умень­ шается. Возмущенная ЭМОС (ЭМОС, возникающая от взаимодействия возмущений плотности тока с приложен­ ным магнитным полем) в этом случае приводит к подав­ лению поперечного возмущенного движения, т. е. к уве­ личению устойчивости течения жидкости.

В случае, когда невозмущенная ЭМОС направлена к дну канала, влияние магнитного и электрического полей на устойчивость течения противоположно рассмотренно­ му выше.

5. ТЕПЛООБМЕН МГД-ТЕЧЕНИЙ

Качество конечных продуктов металлургического процесса зависит от организации тепло-массообменных процессов в данной точке или зоне расплава на различ­ ных стадиях технологического передела. Поэтому иссле­ дование влияния электрического и магнитного полей на протекание тепло-массообменных процессов представ­ ляет собой важную прикладную задачу. Указанные воп­ росы рассмотрены в работах [34,35].

Остановимся на основных представлениях о характе­ ре влияния электрического и магнитного полей на тепло­ обмен течений проводящих жидкостей в каналах [34].

При наличии электромагнитного поля уравнение энер­ гии имеет член, учитывающий выделение джоулева теп­ ла. Величина джоулева тепла существенна при течении жидких металлов в поперечном магнитном поле, когда стенки канала проводящие, а также в случае кондукционного подвода электрического тока. В указанных случа-

64

йх членом, учитывающим выделение джоулева тепла, пренебречь нельзя.

Член, учитывающий выделение тепла за счет работы сил вязкости, в большинстве случаев «может быть опу­ щен. Однако следует учитывать то обстоятельство, что при 'больших числах Гартмана в пограничном слое, име­ ющем очень большой градиент скорости, за счет вязкой и джоулевой диссипации выделяются примерно одинако­ вые количества тепла.

Увеличение теплообмена ламинарного течения при наличии поперечного магнитного ноля обусловлено посто­ янством профиля скорости почти по всему сечению и ростом ее градиента в пограничном слое у стенок напала.

В определенном диапазоне чисел Гартмана происхо­ дит увеличение процесса передачи тепла (рис. 22). Одна­ ко, кан видно из рис. 22, увеличение теплообмена по мере роста числа Гартмана постепенно замедляется и при оп­ ределенной величине магнитного поля прекращается.

iB случае турбулентного течения подавление продоль­ ным магнитным полем поперечных пульсаций скорости приводит к уменьшению теплового потока к стенкам ка­ нала.

Для круглой трубы при условии Дето<С 1 и без учета джоулевой диссипации тепла получена следующая при­ ближенная зависимость [36]:

if

где )>= -;—- --------коэффициент сопротивления трения;

~ Т . < .

Р— постоянная, определяемая ,по изме­ рениям из уравнения

JL£.\= 21g (Re 1аГ)-0,8.

= 0,02) по уравнению (119), представленные на рис. 23, свидетельствуют об уменьшении интенсивности теплооб­ мена с увеличением значения магнитного поля. При этом уменьшение теплообмена тем существеннее, чем больше число Рг. Это явление объясняется тем, что перенос теп­ ла в жидкостях с малым Рг в основном происходит за

счет молекулярной теплопроводности, в то время как при больших Рг возрастает роль турбулентного переноса теп­

ла и степени подавления .пульсаций скорости магнитным полем.

Как и в рассмотренном случае, снижение теплообме­ на при наличии поперечного магнитного поля обусловле­ но подавлением пульсационных составляющих скоростей. Сравнение графических зависимостей на рис. 22 и 23 по­ зволяет сделать вывод о 'более сильном влиянии попереч­ ного магнитного поля на теплообмен. Это явление может быть объяснено тем, что продольная составляющая пульсаций скорости, на которую действует поперечное магнитное поле, по амплитуде и масштабу превышает поперечную составляющую скорости.

Глава III

МГД-ВРАЩЕНИЕ РАСПЛАВА

1. УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

МГДчвращение является частным случаем движения проводящей жидкости в магнитном поле и описывается теми же математическими моделями, которые использу­ ются при изучении других движений жидкости. Однако вследствие ряда физических особенностей, присущих МГД-вращению, и применения общей системы математи­ ческих методов для анализа этих особенностей целесооб­

6 6

разно выделить изучение МГД-вращенпя в отдельную главу.

Всякое вращательное движение жидкости и, в частно­ сти, МГД-вращение, является ускоренным движением. Влияние ускорения проявляется в действии на жидкость двух добавочных силовых полей — центробежного и ко­ риолисового. i

В зависимости от граничных условий, центробежные силы увеличивают либо уменьшают устойчивость первич­ ного азимутального течения, что в последнем случае при­ водит к возникновению вторичных, меридиональных, пе­ риодических по оси сосуда течений, так называемых вих­ рей Тейлора — Гертлера. Устойчивое существование тапсой, промежуточной между ламинарной и турбулентной, структуры течения, называемой ламинарно-вихревой, яв­ ляется особенностью вращательного движения [37].

Влияние кориолисовых сил проявляется в торможе­ нии тепловой конвекции, закручивание горизонтальных течений от центра ячейки Бенара к углам приводит к увеличению критического градиента температуры и уменьшению горизонтального размера ячейки [38, 162].

От величины сил Кориолиса зависит также устойчи­ вость радиального течения у торцов сосуда — так называ­ емого пограничного слоя Экмана [39].

Необходимым условием получения решений задач М/ГД-вращения в наиболее простом и легко интерпрети­ руемом виде является соответствующий выбор скорости вращения системы отсчета.

При изучении МГД-вращепия жидкости в неподвиж­ ном сосуде (канале) удобнее использовать систему коор­ динат, жестко связанную с сосудом.

Однако-, если движение жидкости мало отличается от «твердого» вращения (т. е. вращения с постоянной для всех точек области угловой скоростью) либо сосуд (ка­ нал) вращается, может быть полезно попользовать над­ лежащим образом выбранную вращающуюся систему от­ счета, развивая .при этом физические представления и математические методы, которые были бы естественными с точки зрения наблюдателя, неподвижного относительно данной системы координат. В некоторых задачах движе­ ния жидкости под действием вращающегося магнитного поля использование системы координат, связанной с маг­ нитным полей, позволяет получить более наглядное пред­ ставление о МГД-явлениях [40].

Уравнение движения жидкости во вращающихся си­ стемах отсчета записывается в виде

^-+(v v) у + 2 \ й , Ь = - и - ч (— +фц.б) +

di р \ Р /

Здесь Й — скорость вращения системы отсчета; через

Фц.б обозначен потенциал гравитационного и центробеж-

—у —

него полей; член 2 [й, V] описывает влияние сил Корио­ лиса.

Возможность перехода к вращающимся системам от­ счета для электродинамических процессов связана не с принципом относительности (так как новые системы ко­ ординат неинерциальны), а с независимостью электро­ магнитной индукции от причины, вызывающей изменение магнитного .потока [33].

Записав уравнение (120) в безразмерном виде и введя масштабы скорости Уо и размера L0, получим два новых критерия подобия, характерных для .вращающихся

систем отсчета: число Россбн Ro = — , характе/ризу- 2 Q Lq

ющее относительный вклад сил инерции в сравнении с

силами Кориолиса, и число Экмана Е = — ^Ц-, дающее

2 Р Z.Q

относительный вклад вязких сил в сравнении с силами Кориолиса.

Если вязкие и инерционные силы в установившемся движении малы в сравнении с силами Кориолиса и ЭМОС, что соответствует услозию ReS>l, Ro<. 1, то удов­

летворительную аппроксимацию дают уравнения движе­ ния и неразрывности следующего вида:

2 [S, У] + V (—+ Фц.б) = —7эм (121)

V р 1 Р

(V, V) = 0.

Это приближение по аналогии с геострофической ап­ проксимацией можно назвать магнитогеострофической аппроксимацией.

Применение операции вихря к уравнению движения

дает р-rot [2Й, y ]= r o tf3M.

Если поле ЭМОС потенциально, то rot f3M= 0 и

rot [2Й, У] = —2(QV) У=0, т. е. составляющие скоро­

68

сти указанного течения не изменяются’по направлению вектора вращения. Этот результат, известный в обычной гидродинамике как теорема Тейлора — Праудмана, справедлив и для МГД-вращения при условии потенци­ альности поля ЭМОС [39].

Если вязкостью жидкости нельзя пренебречь и.поле ЭМОС не консервативно, но течение остается ламинар­ ным, то основное правило видоизменяется вследствие диффузии завихренности при наличии молекулярной и магнитной вязкости.

Можно показать, что наложение сильного магнитного поля на вихревое движение вязкой жидкости . в случае больших магнитных чисел Рейнольдса (Rem> l) анало­ гично описанному выше действию вращения на поле ско­ ростей идеальной жидкости.

Действительно, если магнитное .поле стационарно, без­ размерное уравнение индукции можно записать в виде:

где (o = a>(r, z) — угловая скорость вращения жидкости.

Отсюда (b V) со=0. Это означает, что в случае уста­

новившегося движения угловая скорость постоянна вдоль силовых линий магнитного поля.

Заной, выражаемый формулой (122), называется за­ коном изоротации Ферраро [41].

Теорема Ферраро справедлива не только для идеаль­

Действительно, для выполнения этого условия необходи­ мо, чтобы /г = /г= 0, т.е. ток был чисто азимутальным.

В этом случае ф — компонента вихря тока: rot<p j = 0, и,

согласно закону Ома, rotq, } = rot ф [v, b] = 0 .

Далее будем рассматривать осесимметричное движе­ ние проводящей жидкости в цилиндрическом сосуде (ка­ нале) кругового сечения под действием двумерного поля

ЭМОС f = { f r , fq> , 0}. Из множества всех плоских полей

ЭМОС выберем поле, обладающее поворотной симметри­ ей п-го порядка относительно оси кольца (круга), огра­

ниченного, в общем случае, внешней и внутренней по­ верхностью. Соответственно назовем устройства, созда­

69