книги из ГПНТБ / Повх, И. Л. Магнитная гидродинамика в металлургии

Где у0 — сумма физического удельного веса и электро­ магнитной составляющей

Последнюю зависимость удобно представить в безраз­ мерном виде:

нии принять, что у = 0 или сгф=—у.

Выражение (21) справедливо для любой проводя­ щей среды! в том числе и для частиц твердого тела, помещенного в проводящую жидкость.

Если пренебречь локальными изменениями поля в непосредственной близости к частице, то на нее будет действовать сила

груженного в жидкость при наличии электромагнитно­

20

сил условие может не выполняться, так как в этом слу­ чае для плавания требуется, чтобы yo<Y oi-

При одинаковых удельных весах жидкости и тела

(Y=Vi)

<7

Так как значение <р может быть выбрано произволь­ но, то, следовательно, при y = y i и а\ — 0 можно сделать

стср>0 (тело будет плавать) либо аф < 0 (тело будет тонуть).

Удобно вместо выражений (22) и (23) использовать безразмерные соотношения:

G = - 7 i 1 + - £ - с р = 1 + Д ,

УУ

Величины G характеризуют относительное влияние

электромагнитного, поля.

Если тело, находящееся в проводящей жидкости, бу­ дет иметь магнитную проницаемость, отличную от маг­ нитной проницаемости ркидкости, то, кроме силы Ло­ ренца (22), на единицу мяссы тела, согласно уравнению (7), будет действовать сила

Gj = Я2 grad р..

В работах Линова и Колина произведен расчет сил, действующих на единичное тело, имеющее форму шара и погруженное в проводящую жидкость с отлич­

21

малые величины или что проводимости и магнитные проницаемости жидкости и тела близки, авторы полу­ чили в этом случае

скорость равной нулю, то, считая, что вектор напряжен­

или в безразмерном виде .

То = — = 1 + -^ - £ = 1 + Д ,

УР g

где

Д = J £ - Е .

Р g

Если в непроводящую жидкость поместить диэлект­ рик с отличными от жидкости диэлектрической посто­ янной е и магнитной проницаемостью р, то на тело бу­ дет действовать сила, определяемая по формулам (6)

22

частиц, имеющих одинаковый физический удельный вес, но различные диэлектрические и магнитные свойства.

5. ПОДОБИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Для нахождения чисел подобия, определяющих маг­ нитогидродинамические процессы, запишем уравнение (11) в безразмерном виде. Обозначим масштабы, к которым относятся все размерные величины, соответст­

V=[V0<V' ; ' р'= РоР '; В = В0В'

и т. д. Масштабом длины для всех трех координат вы­ берем некоторый характерный размер 10.

Тогда указанное уравнение после деления на раз­ мерную величину при конвективном ускорении примет вид

ных электромагнитных величинах можно представить в таком виде

23

аУ0/о|Яо есть безразмерные величины. Естественно вели­ чину, характеризующую отношение магнитного давле­ ния к динамическому давлению, назвать магнитным числом Эйлера:

РоЯд

7 7 — Ей П1'

Число стоЕо/оРо получило общее признание как маг­ нитное число Рейнольдса:

Если магнитное число Рейнольдса разделим на ди­ намическое число Re, то получим соотношение

которое можно назвать магнитным числом Прандтля. Легко видеть, что динамические и магнитные числа

Прандтля определяются только физическими свойства­ ми вещества.

Из приведенного анализа следует, что если числа Eum\ Rem\ Reb\ Ргт в двух различных магнитогидроди-

намических явлениях одинаковы, то эти явления подоб­ ны. Конечно, иногда подобие может соблюдаться при

24

совпадении лишь части указанных чисел, например Re3,

Еит, Ргщ ИЛИ Rem, Еит, Ргт.

В литературе [6] встречаются и другие безразмер­ ные и размерные величины, имеющие значение чисел подобия. Известно так называемое число Гартмана

бия на движение проводящей жидкости и их численные значения.

Магнитное число Эйлера равно отношению магнит­ ного давления к динамическому или отношению плот­ ностей магнитной и кинетической энергий. Очевидно, при числах Еит<^.1 влияние магнитного поля на движе-. ние будет мало. И, наоборот, при больших числах Еит

роль магнитной энергии будет велика. Величины, оп­ ределяющие число Еит, могут изменяться в очень ши­

роких пределах. Так, напряженность магнитного поля в

Земли меняется в пределах 24—56 А/м. В технических и лабораторных установках она может достигать очень больших значений.

Числа Эйлера в различных технических устройствах могут изменяться в пределах от нескольких сотен до величины, близкой к нулю. Так, в магнитогидродинами­

меньших скоростях еще больше. При опытах в лотке с морской водой [8] числа Еит менялись от 2 до 15. Мор­

ские течения в океане при скорости течения 1 м/с в маг­ нитном поле Земли имеют число Еит порядка 10-5. Оче­

видно, влияние магнитного -поля Земли на морские те­ чения ничтожно.

Число Еит существенно влияет на устойчивость дви­

жения жидкости, что проявляется в изменении крити­ ческого числа Рейнольдса с изменением числа Еит.

25

Примером служат результаты, полученные Дж. Стюар*

Магнитное число Рейнольдса характеризует отноше­ ние сил инерции к электромагнитной объемной силе, полученной в проводящей движущейся жидкости при заданном внешнем магнитном поле.

Вкосмических задачах, считая проводимость беско­ нечной, а линейные размеры тел и скорости движения очень большими, получим число Rem= оо.

Втехнических задачах число Rem мало. Так, даже

для обтекания проводящим газом спутников и косми­

ческих ракет, беря характерный линейный размер /0= = 10 м, величину скорости 5 км/с и удельную проводи­ мость газа 0,1 (Ом-м)-1, получим Rem&0,5.

Очевидно, для других технических задач (для авиа­ ции, электромагнитных насосов, магнитных генераторов тока и т. д.) магнитные числа Рейнольдса будут значи­ тельно меньше.

Для того чтобы показать влияние магнитного числа Рейнольдса на характер распространения магнитного поля в проводящей среде, представим уравнение (18) в безразмерном виде:

26

Видно, что магнитное число Фурье является крите­

Переходя к размерным величинам, получим уравне­ ние магнитной гидродинамики при Rem<g.l:

переноса тепла и вещества.

Некоторые частные решения последних двух уравне­ ний показывают, что если в какой-то части неограни­ ченного пространства создана избыточная концентра­ ция вещества или температура этой части отличается от температуры остального пространства, то избыточ­ ная концентрация или избыточное тепло диффунди­ руют, стремясь к равномерному распределению по всему пространству. Скорость диффузии пропорцио­ нальна коэффициентам а или D. Поэтому уравнение

свидетельствует о том, что в покоящейся среде магнит­ ное поле со временем будет затухать, т. е. оно будет «просачиваться» сквозь вещество от точки к точке. Ско­ рость «просачивания», или скорость выравнивания маг­ нитного поля, отнесенная к единице площади, опреде­ ляется величиной коэффициента vm. По аналогии он может быть назван коэффициентом диффузии магнит­ ного поля, или коэффициентом переноса магнитной суб­ станции. Учитывая размерность входящих' в уравнение

27

(29) величин, можно сказать, что время затухания име­ ет величину ^=(.i0a/o.

В технических задачах, где линейные размеры тел невелики, время затухания магнитного поля мало. Так, для сферы, выполненной из высокопроводящего мате­ риала (медь, серебро), считая диаметр равным 1 м, по­ лучим / « 1 0 с, для морокой воды такого же объема

« 10~7 с.

Для космических тел время затухания магнитного поля очень велико. Для магнитного поля Земли оно равно 1,5-104 лет, Солнца — 1010 лет, звездных систем — еще больше.

При больших значениях чисел Rem (Rem-+оо) урав­ нение (29) в размерном виде будет иметь вид dB/dt—

= r o t { V , B ) .

Можно показать [5], что последнее уравнение соот­ ветствует «вмораживанию» магнитных силовых линий' в проводящую среду, т. е. магнитные силовые линии переносятся вместе с жидкостью. Следовательно, при соблюдении этих условий жидкость относительно маг­ нитных силовых линий неподвижна.

Втехнических задачах эффект «вмораживания» пренебрежимо мал, поскольку магнитные числа Рей­ нольдса малы.

Вмагнитогидродинамическом подобии единствен­ ным числом, величина которого определяется через

•напряженность электрического поля Е, является элект­

рическое число Рейнольдса. Из уравнения движения, записанного в безразмерной форме, видно, что число Re0 характеризует величину электрической объемной

силы, полученной за счет электричеокого поля с напря­

28

Нетрудно видеть, что отношение электрического и магнитного чисел Рейнольдса имеет вид

Мэ = -^ 2 - = -Ь_ = — — .

лов с большой проводимостью Ргт= 1.

Во многих технических задачах джоулево тепло зна­ чительно превосходит тепло, образованное действием вязкости, или имеёт одинаковый порядок с последним.

Числа подобия в электрогидродинам1Ике можцо по­

лучить из анализа безразмерных уравнений. Если сис­ тему уравнений электродинамики (13) — (16) для ста­ ционарного движения представить в безразмерном ви­ де, разделив каждое уравнение на один из размерных коэффициентов, то получим:

f = pe{M tV' + E ' ) - - L - divPe,

R e t

(> V') V' = Ft Fo' — E u m grad p' -j— — v' v*V" +

Re

-\-Еиэ р'е Е', div V = 0,

где штрихом отмечены соответствующие безразмерные величины; Re, Fь Ей — числа динамического подобия;

29