Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Повх, И. Л. Магнитная гидродинамика в металлургии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

10.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

пературы, в то время как 'Внешнее магнитное поле почти не изменяется. (Не учитывается изменение индукции магнитного поля в жидкости, вызванное изменением ее электропроводности.)

Жидкость во всем интервале изменения свойств оста ется ньютоновской, и анизотропия свойств, вызванная наличием радиального, градиента температуры, не учиты вается.

Такой процесс в безындукционном приближении опи сывается следующим уравнением:

dvfr

T w

Hal

дг*

g (0

(*)

= Hal

(171)

•n (0

Граничные и начальное условия

соответственно для

кругового

цилиндрического

сосуда, кольцевой щели и

кольцевой

щели с внутренней

свободной

поверхностью

(центробежной отливки) будут:

уф (1,

t) = vф (0,

/) =

(1,

t) — vф (б,

t) =

М 1 , /> =

•■*”'

lJ- 4

”ф (6,0

(172)

дг

Уф (г, 0) = / (г),

где /( г ) — .профиль скорости,

соответствующий

устано

вившемуся течению (132),

(151),

(159).

Решим уравнение (171), разложив решение в ряд по

собственным

функциям

соответствующего

однородного

уравнения

[55]. Тогда

уравнение

для

коэффициентов

ряда будет иметь вид:

duk .

Ч + Hal

g (0 '

uk =

■Л(0

■n (0 .

_ Hal

g (0

f r2W1 (hr)

dr = Q>u (t)

(172')

Су

т, (/)

(в случае цилиндрического сосуда пилений предел интег рирования здесь и далее равен нулю),

где
	Uk		Уф Г Wx Qk г) d r ;
здесь
Су —	rW\ Q,k г) d r j		— нормирующий делитель.
Начальное условие для изображения
	ы*\|т=о==	j	f (Г) rWx (hr) dr = Gk .	(173)

VО

Вприведенных выражениях

	Wx (h г) = J, (h r) + CxYx (hr),			(174)
где
	[0		— для цилиндрического сосуда,
	h (h 6)		— для кольцевой щели,
Cx	П (h	6)	— для кольцевой щели,
Cx	П (h	6)
	J* (h	6)	— для центробежной отливки,
	Г3 (\k 6)		— для центробежной отливки,
	Г3 (\k 6)

a Xk — корни уравнений.

J1 (h) — 0— для цилиндрического сосуда, .

—	i1	(h о)	~ л — Для кольцевой щели,
—		(h о)	Y1 (h) =	0
	Ух (h)		Y2 (h б)—	— для центробежной отливки.
- У ,		(h б) У, (X*) =		0
Решая уравнение (172), определим
		и* =	е~ F ш J Gk / (0) + j Ф* (t) eF{t) dt j , (175)
где			F (t)= f	(ll-q(t)-\-Hal a (01 d t .
			о

Перейдя затем от изображения к оригиналу, найдем • распределение скорости

= 2 uk Wx (h r ) .	(176)
А=1

Так как зависимости вязкости и электропроводности от времени могут быть представлены в виде степенных многочленов, интегралы в формуле (175) находятся дос таточно' просто.

Уравнение (171) не учитывает температурного изме нения плотности, так как предположение об изотропии свойств жидкости соответствует (из уравнения нераз рывности) постоянству плотности во времени.

Кондукционное вращение. Кондукционное перемеши вание металла применяется для интенсификации массообмена в дуговых печах и в технологии сварки [56, 57]. Ламинарное течение жидкости в кондукционном переме шивающем устройстве — гомополярнике изучали Г. В. Гордеев, В. С. Яргин, Кесси [58] и др. В металлургиче ской практике классическая модель гомополярника поч

ти не применяется, поэтому перейдем к более	сложной
модели, лучше описывающей МГД-процессы в	метал
лургических агрегатах [127].
Рассмотрим ламинарное движение жидкости	в	ци
линдрическом диэлектрическом сосуде, ограниченном		с

двух сторон диэлектрическими крышками, причем ток в

сосуд вводится через круглый соосный электрод	радиу
сом R 1 в одной из крышек и отводится через	боковую

поверхность сосуда. Сосуд находится в однородном осе вом магнитном поле Во.

Движение жидкости в безындукционном приближе

нии описывается уравнением
	г	f На2	»ф =
	г
			(177)
где Ha* = \s.j2Rl	(в данном случае ц/2Во~Во
	масштаб магнитного поля то
	ка плотностью /2,		а
Р0 =	* • — масштаб скорости).
	В0 а

Граничные условия задачи

Поле скалярного электрического потенциала в такой модели может быть найдено в виде

/ /

s h

v f

t y

( o4

ri)

c h

A z

(178)

U =

2 2 ^ ------------

„

,-----------

J0 (h r),

*=i

ri sh vA x\

(Xk)

где

e = R0/Z0;

Xk — корни

уравнения J\

(Xk) = 0 ;

/"i — радиус торцового электрода.

по

Подставив выражение

(178) в уравнение (177),

лучим

д2 V,

dvrr

д2 и,.

Н а? I цф—

г2

Н--------- 4- б2

dz2

-pr

а г

п и

rishvA y0 (Я,*)—

2 Л

(A,*/-!) ch vA л

2 Н а Н а*

---------------;----;—-9

-----------

a=i

sh vA Я,*

(А,*)

(179)

X Ji

Q-k г).

Разложим решение уравнения (179) в ряд по собст венным функциям соответствующего однородного урав нения.

Для коэффициентов ряда получим обыкновенное дифференциальное уравнение

	d'Vk	HaHa*
	dz2
	r\ sh чк Jо {Xk) — 2 Jx {Xk a ) ch z		(180)
ft=i	ri sh	Xk J\ (Xk)	(180)
ft=i	ri sh	Xk J\ (Xk)
где
		Ha2
	Iх*	/■

Решение этого уравнения, полученное методом вари ации постоянных, будет

Vk = На На* ^	X
k=i

X | 7д (>■*) [th ( н Z/2)— th (iV2)) sh (Aft z +

______ 4Л (ХАГ!) ц|

		rl sh 4k		X
		rl sh 4k		sh \ik (ц£ — 'ф
X (sh	2	'lksh ^k~		-k sh pa z — sh ^	2	/fe z X
\	2		2		2
		X sh	.^ ~ Va 2 sh\|x*j\|.			(181)

Выражение для азимутальной скорости теперь мож но записать в виде

*ф= У - г г т г •М ^ О -	(182)
•'О

Одной из интегральных характеристик) позволяющей оценить эффективность устройства, является средняя скорость, которую можно рассчитать по формуле

ср = 2 Н а Н а*

2	I	/ 0 (Х*) [ i hJ ±			_ i _ t h ' f i ^ ) t h i - i
a= i	I		L	Ра		\ 2	/
			.		4У1 (ХАг1) р \|			X
				П sh чк sh		(ц* — 'ф		X
				П sh чк sh		(ц* — 'ф
X	sh	Pa "b va		g^j	Pa va	th (	\
X	sh				2	t h H r		VA
					2			VA
		X	sh pa		sh	1-Jo		(**)
		X	Pa			4	^	(**>
			Pa			4	^	(**>

sh v4

sh pA

(183)

По формулам (182) и (183) были рассчитаны неко торые локальные и интегральные характеристики тече ния при двух режимах изменения магнитного доля и то ка. В первом случае при увеличении магнитного поля соответственно уменьшалась плотность тока так, чтобы На-На*=const. Во втором случае магнитное поле изме

нялось при некотором	фиксированном	значении тока
(На* = const).
Профили скорости имеют максимумы в области 0,2<
< г < 0 ,4 и 0,5 < 2 < 0 ,8 ,	причем абсолютный максимум
скорости лежит р области г «0,25 и		0,76 (рис. 39,40).

Расчеты показали, что в достаточно широком диапа зоне изменения б и На средняя скорость уменьшается

при увеличении радиуса торцового электрода.

Vtf/Vifa

ной скорости течения жидкости по	Рис. 40. Распределение азимуталь
ной скорости течения жидкости по	ной скорости течения жидкости по
радиусу сосуда при различных зна	длине сосуда при различных зна
чениях Z	чениях г

Рис. 41. Зависимость средней скорости	Рпс. 42.	Зависимость средней
течения жидкости от относительной	скорости	течения жидкости от
длины сосуда при различных величи-		числа Гартмана
иах числа Гартмана

Кроме того, оказалось возможным подобрать опти мальные размеры оосуда и оптимальные магнитные ре

жимы для различных сосудов (рис. 41,42). Характер -

влияния магнитного поля на среднюю скорость течений оказался различным для двух исследованных режимов течения в области # а < 1,5 и одинаковым в области* больших чисел Гартмана (рис. 42).

3. УСТОЙЧИВОСТЬ МГД-ВРАЩЕНИЯ

Промышленные устройства для перемешивания жид ких металлов, как правило, рассчитываются на турбу лентный либо ламинарно-вихревой режимы течения, обеспечивающие интенсивный тепло-массоперенос в уст ройстве.

Критические значения параметров течения, характе ризующие структурные переходы в нем, являются важ нейшей технологической характеристикой любого пере мешивающего устройства, и их определение следует счи тать одной из важнейших технических задач. Теорети ческий расчет неустойчивости МГД-вращения проводя щей жидкости очень сложен и работ в этой области ма ло. Большая часть этих работ посвящена анализу вли яния постоянного магнитного поля на устойчивость те чения Куэтта между вращающимися цилиндрами [162], и совершенно отсутствуют исследования устойчивости течений, возбуждаемых вращающимся магнитным полем.

Однако, прежде чем перейти к изучению отдель ных задач устойчивости, рассмотрим физический меха низм этой проблемы.

Известно, что в течениях у криволинейной стенки возникает неустойчивость типа стоячих волн, когда на устойчивое первичное движение накладываются вторич ные стационарные течения, так называемые вихри Тей лора— Гертлера [23].

При МГД-вращении проводящей жидкости в беско нечно длинном канале возникает неустойчивость ука занного типа. В сосуде конечных размеров можно уви деть более сложную картину возникновения неустойчи вости, так как на плоскостях, ограничивающих сосуд по длине, возможно наложение стоячих волн Тейлора — Гертлера на бегущие волны Толмина—Шлихтинга [23].

Рэлей дал очень простое и наглядное объяснение причины возникновения центробежной неустойчивости без учета действия вязкости. Его рассуждения основа ны на оценке изменения потенциальной либо кинетиче ской энергии вдоль радиуса вращающейся жидкости.

Кинетическая энергия жидкого					кольца,	находящегося
на расстоянии г от оси,			пропорциональна				выражению
		РФ г dr = Рk- d И ,
		2	4 г2
где k = Vr— циркуляция			вектора		скорости.		Предполо
жим теперь, что два кольца жидкости с						равными пло
щадями	(ridrl= r2dr2), у одного из которых k — kx и г=
= Г], а у другого k = k 2 и			г = г 2, где г2> г ь				обменива
ются местами. Соответствующее возрастание							кинетиче
ской энергии пропорционально
*2	, *? \	( k\	k\	= (А§-А?) (гГ2 - гТ2)
Т + Т Г		Т + Т

и положительно, когда A2 >А? , так что если циркуля ция все время возрастает по направлению от оси,.то ки нетическая энергия обращается в минимум и, следова тельно, обеспечивается устойчивостью.

Т. Карман .подошел к рассматриваемому вопросу с другой точки зрения. В установившемся состоянии цен

тробежная сила —— должна быть уравновешена

градиентом давления. Если кольцо жидкости перемес-

ОV2 тить от г1 до r2 (r2> r i), то центробежная сила —— -

станет равной	о (Г1 Vr)2	величина больше су-
станет равной	----- -— . Эта	величина больше су-
	Г2	Р v\
ществующего градиента давления		Р v\	• если (riV\)2>
ществующего градиента давления		— ^	• если (riV\)2>
		г 2
> (''г^2)2 или k I	~>k\ ; следовательно,		в этом случае

элемент жидкости будет продолжать свое движение от оси вращения и движение будет неустойчивым.

Таким образом, неустойчивость вращающейся жид кости связана с изменением квадрата циркуляции; ес ли квадрат циркуляции возрастает в направлении от оси вращения, течение будет устойчивым; в противном случае будет возникать неустойчивость в виде вторич ных стационарных течений и необходимым и достаточ ным условием устойчивости явится так называемое ус ловие Рэлея

~ { r V f > Q .

(184)

4 Зак. 71

Сайндж обобщил это условие для случая неоднородной жидкости.

Для электропроводной жидкости с конечной величи ной электропроводности строгого доказательства приме нимости условия (184) .не имеется.

Можно' резюмировать описание механизма центро бежной неустойчивости МГД-вращения следующим об разом.

Вязкие и электромагнитные силы стремятся распре делить циркуляцию в соответствии с профилем первич ного азимутального течения. Если такое распределение неустойчиво, то элементы жидкости с большей (но аб солютной величине) циркуляцией будут стремиться дви гаться во внешнюю сторону, порождая вторичное тече ние. Это стремление ослабляется силами вязкости. Если влияние последних не достаточно сильно, будет проис ходить перераспределение циркуляции. В то же .время электромагнитные силы будут стремиться восстановить первоначальное распределение циркуляции. В резуль тате будет сохраняться установившееся вторичное тече ние.

Влияние осевого постоянного однородного магнитно го поля на устойчивость диссипативного течения Куэтта наиболее подробно рассмотрено Чандрасекхарой [162]. Сильное осевое однородное магнитное поле не деформи рует профиль азимутальной скорости течения Куэтта между коаксиальными цилиндрами. Однако Чандрасек хар показал, что устойчивость течения Куэтта сильно зависит от магнитного поля. Магнитное поле значитель но увеличивает устойчивость течения Куэтта, уменьшая в то же время величину волнового числа, что эквива лентно увеличению критического размера вторичного вихря.

Такую задачу можно отнести к задачам об «электри ческом генераторе», в которых изучается взаимодейст вие механически возбужденного движения с магнитным полем.

Более интересными с практической точки зрения яв ляются задачи об «электродвигателе», в которых рас сматривается устойчивость движения, возбуждаемого магнитным .полем.

Ниже мы покажем, что в этом случае влияние маг нитного поля на устойчивость может быть совершенно противоположным [165].

Рассмотрим устойчивость азимутального течения вязкой жидкости, возникающего в цилиндрическом со суде бесконечной протяженности под действием враща ющегося вокруг оси сосуда однородного магнитного по ля. Задачу будем решать в безындукционном приближе нии, т. е. без учета влияния движения жидкости на .пер вичное магнитное поле.

Задача описывается следующей системой уравнений:

д Vг		д Vг		V,	dVr	V“ гг		1	дР
----- 4- V -----				V,	дг	г		р	дг
dt '	г	дг			дг	г		р	дг
					+ '*LVr,
		В1а				У„		ф,		(185)
		В1а			m_ _ L			ф,
д Уг	V r _dVz__^_v				rdVz
dt		дг		Ч д г				r ! 7 + V V 2 1 /-
		дУг		\|	Уг	дУ,	= 0 ,
		дг		~Г	г	д г	= 0 ,
		дг		~Г	г	д г
где					L = V 2— — .
							г2
Система (185) имеет приближенное стационарное ре
шение:
					V = \0, V0, 0}.
Линеаризуем систему, .представив решение в .виде
	иг,	У0 +	« Ф >		U, , Р {Р0+		я) I	гДе	ип Н Ф>	мг> Я—
малые возмущения					скорости		и	давления		первичного
течения. Уравнения для возмущений:
	д иг		2 V0		и,р =	д q	.	т
	d t		—		и,р =	-----2- +		v L u r \
	d t			г		or
д и,	dVn					Bt a		Uq, -)- v L Мф;
Г +		dr			“ r =			Uq, -)- v L Мф;
d t		dr								(186)
		диг			dq					(186)
		диг			dq
		d t		= — д г - Ь v v 2 uz;
			д ur			д и„	0 ,
			T - + —			дг	0 ,
			dr		r	дг

<1* Зак, 7,1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ