книги из ГПНТБ / Каули, Ч. Теория звездных спектров

где dtо — элемент телесного угла, а интегралы берутся по сфере. Используя оптическую глубину х\ —(к + <Га) т / х , получим урав­

нение переноса в виде

cos Ѳdljdx к = ІХ— xß/(x + оу) — оу4/(х + оу). (2.10.3)

Умножим уравнение (2.10.3) на daJAn и проинтегрировав по сфере, найдем

Приближение Эддингтона допускает, что поле излучения

Поскольку среднее по сфере значение cos20 равно 7з, то до­ пущение об изотропности поля излучения приводит к соотно­

Используя соотношение (2.10.7), получим из (2.10.4) и (2.10.5)

поскольку вторая производная от В равна 0. Интегрируя

(2.10.8), найдем

а А — постоянная интегрирования. Экспонента с положитель­ ным показателем исключена, так как не имеет физического смысла.

Теперь можно записать функцию источника

Если функцию Планка выразить как функцию оптической глу­ бины та,, то

Из соотношений (2.10.5), (2.10.6) и (2.10.1) находим постоянную интегрирования

поэтому глубина линии записывается через удельную интенсив­ ность следующим образом:

Поучительны два предельных случая. Первый случай для ли­

нуль. Следовательно, для достаточно сильных линий рассеяния глубина линии стремится к единице. Аналогичный результат можно получить для потока [158].

Второй полезный для рассмотрения случай, когда ок/к <С 1, т. е. случай очень слабых линий. Выражение для глубины линий -упрощается, и мы находим

Следовательно, глубины слабых линий прямо пропорцио­ нальны <зА/х. Сравним этот результат с результатом для случая чистого поглощения в модели Шустера — Шварцшильда. При малых оптических глубинах т можно разложить в ряд экспо­ ненту в уравнении (2.8.3) и получить

В разд. 2.8 не было необходимости использовать индекс, а здесь это полезно сделать. Таким образом, тА = хлЯ [уравнение (2.8.5)], где — коэффициент поглощения в линии. Какую величину брать в качестве Я? Поскольку Я есть высота

82 ГЛАВА 2

обращающего слоя, то разумно выбирать ее такой, чтобы опти­ ческая глубина в континууме примерно равнялась единице. Если

Ясно, что для обеих схематических моделей x j x и a j x играют сходную роль.

2.11ЗАМЕЧАНИЯ ОБ УПРОЩЕННЫХ МОДЕЛЯХ АТМОСФЕР

Вконце 40-х и начале 50-х годов было написано много ра­ бот, основанных на моделях атмосферы Шустера — Шварцшильда или Милна — Эддингтона. В эти исследования вклады­ валось столь много усилий, что иногда забывали, насколько упрощенными были эти модели. При этом многие исследова­ тели стремились сосредоточиться на модели Милна — Эддинг­ тона, забывая про модель Шустера — Шварцшильда.

Нередко механизм чистого поглощения критиковался потому,

что реальные линии Фраунгофера не исчезают на лимбе. Этот аргумент, в сущности, базируется на случае чистого поглощения для модели Милна — Эддингтона, когда, как легко показать, вы­ полняется соотношение

обратно пропорциональную зависимость глубины слабой линии от р. Глубины слабых линий постепенно возрастают; глубины

при переходе от центра к лимбу можно объяснить механизмом чистого поглощения [79] на основе модели атмосферы, учиты­ вающей зависимость параметров атмосферы от глубины. Такая модель сочетает многие свойства моделей Шустера — Шварц­ шильда и Милна — Эддингтона и обнаруживает свойства, кото­ рыми не обладает ни одна из этих моделей.

Широкое применение электронных вычислительных машин позволяет пользоваться в случае необходимости полными моде­ лями, учитывающими зависимость физических параметров от глубины. Эти модели всегда предпочтительнее упрощенной схе­ матической модели для предсказания сложных явлений.

2.12КРИВЫЕ РОСТА ИЗ МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ.

ФУНКЦИИ ВКЛАДА

Когда в распоряжении исследователя имеются надежные данные о звезде, целесообразно выполнить вычисления, осно­ ванные на полной модели атмосферы.

Будем считать, что в нашем распоряжении есть подходящая

ных работ было выполнено с моделями, в которых распреде­ ление температуры было заимствовано у других звезд или моделей. Одной из основных статей, посвященных этому методу, является статья [23], а более поздние приложения даны Греем [59].

В настоящем рассмотрении обозначим функцию источника через Bh, так как в большинстве вычислений используется пред­ положение о ЛТР. Если берется функция источника в более общем виде, то применимы те же самые соотношения с заменой

Вк на Sx.

Вычисления, основанные на моделях атмосфер, обычно вы­ полняются таким образом, чтобы они дали информацию о том, какие слои атмосферы вносят наибольший вклад в образование данной линии. Общепринятого способа для получения такой ин­ формации нет. Изложенный ниже метод для проведения вычис­ лений исходя либо из удельной интенсивности, либо из потока имеет то преимущество, что он прост и универсален.

Глубину линии для Солнца можно записать так:

о

Знаменатель есть просто удельная интенсивность в континууме Я вблизи линии, он постоянен. Два интеграла в числителе можно свести к одному, обозначая

йтл = [ К + ^ )/Ч ] dxl

Легко также заменить переменную интегрирования т£ на То. Наконец, было показано [50], что удобнее интегрировать по lgto,

б глубину линии Rx как подынтегральную функцию выражения (2.12.5). Среднюю функцию вклада C(lgx0) можно определить

Соотношения (2.12.2) и (2.12.5) универсальны. Они приме­ нимы как к сильным, так и к слабым линиям и простым спосо­ бом выражают зависимость от глубины таких параметров, как допплеровская ширина и постоянная затухания.

Рис. 2.12.1. Средние функции вклада для линий Nil в центре диска Солнца. Кривая для линии с потенциалом возбуждения 5,50 эВ смещена к более глубоким слоям по отношению к кри­ вой для линии с потенциалом возбуждения 0 эВ. [Astophys J., 143,352(1966).]

Рис. 2.12.1 иллюстрирует использование средних функций вклада для установления относительных глубин образования линий. Вычисления сделаны по удельной интенсивности двух солнечных линий Nil с одинаковыми эквивалентными шири­ нами, но разными потенциалами возбуждения: 0,00 и 5,50 эВ. Ясно видно, что функция вклада для высоковозбужденной ли­ нии смещена к большим оптическим глубинам.

Функции вкладов в форме, использованной в (2.12.2) или (2.12.5), при самых малых оптических глубинах отрицательны. Обычно

К + Ч Ж > !>

поэтому функция вклада отрицательна при малых тф. Когда тф

шая значение отрицательного члена, и функция вклада стано­ вится положительной. Рассмотрение отрицательной части функ­ ции вклада дает наиболее чувствительный показатель относи­ тельных глубин образования линий.

Интеграл функции вклада от 0 до т* определяет глубину линии, которая наблюдалась бы при отсутствии атмосферы от т* до оо. Отрицательная часть функции вклада показывает, что при отсутствии более глубоких слоев атмосферы мы наблюдали бы эмиссионные линии (отрицательные глубины линии)! Это не должно удивлять, так как в этом и заключается один из за­ конов спектроскопии — закон Кирхгофа, гласящий, что в спектре горячего газа наблюдаются эмиссионные линии. И только если за этим газом находится более горячий источник непрерывного спектра, то наблюдаются линии поглощения.

Г Л А В А 3

Статистическая механика

3.1.ВВЕДЕНИЕ

Вгл. 2 мы рассмотрели методы, которые позволяют полу­ чить величину, пропорциональную концентрации атомов данного сорта, образующих спектральную линию. Вообще только малая

доля атомов, находящихся в объеме газа, способна поглощать в данной спектральной линии. Остальные атомы будут в других стадиях возбуждения или ионизации, а при низких температурах войдут в состав молекул.

Хотелось бы уметь вычислять полное число атомов в 1 см3 по числу атомов, находящихся в данной стадии возбуждения, ионизации и диссоциации. Кроме того, может возникнуть по­ требность исследовать линии, обусловленные атомами в различ­ ных стадиях возбуждения, ионизации и диссоциации, и по ним сделать заключения о физических условиях в звездной атмо­ сфере: температуре, газовом и электронном давлениях.

Область физики, позволяющая предсказывать распределение частиц по различным энергетическим состояниям, называется статистической механикой. В этой главе мы введем ряд соотно­ шений статистической механики, которые будут необходимы при изучении звездных атмосфер.

Рассмотрим большое число частиц N, помещенных в полость и пришедших в состояние равновесия. Будем считать, что каж­ дая частица может находиться в любом из большого числа энергетических состояний Еп. Число частиц в энергетическом состоянии Еп обозначим через Nn. Наша задача — найти Nn как функцию Еп.

В качестве энергетических состояний можно рассматривать состояние движения, состояние внутренней энергии или оба вместе. Поскольку мы обозначаем каждое состояние целым чи­ слом п, мы считаем, что состояния дискретны. Классическая же статистика допускает применимость к частице представления о непрерывности энергии. Следовательно, считая, что наши энергетические состояния дискретны (счетны или несчетны), мы становимся на современную квантовомеханическую точку зре­ ния. В последнем разделе мы покажем, исходя из решения -уравнения Шредингера, что состояния кинетической энергии по­ ступательного движения частицы, помещенной в прямоугольный ящик, действительно дискретны.

88 ГЛАВА 3

С точки зрения измерений физических величин не должно быть расхождений между классической статистикой с ее конти­ нуумом энергий и квантовой статистикой с ее дискретными энер­ гиями. Обе теории предскажут одинаковые экспериментальные результаты при условии, что число дискретных состояний до­ статочно велико, чтобы аппроксимироваться континуумом, а ци­ ферблаты и шкалы, при помощи которых снимаются отсчеты, не настолько точны, чтобы обнаружить разницу между истин­ ным континуумом и квазиконтинуумом близких состояний.

Для кинетической энергии поступательного движения иде­ ального газа число квантовых состояний действительно велико, поэтому и классическая, и квантовая статистики предсказы­ вают одни и те же газовые законы (для идеальных газов).

Рассмотрим описание таких свойств газа, как, например, среднее число атомов в 1 см3 в данном энергетическом состоя­ нии. Для многих задач подобного рода можно допустить диск­ ретность энергетических состояний без привлечения других квантовомеханических концепций и выводить соотношения, ко­ торые выполняются также и при более общих допущениях. Для статистического анализа важны два квантовомеханических принципа: принцип Паули и принцип неразличимости одина­ ковых элементарных частиц. Статистическое описание явлений без учета этих принципов дается классической статистикой, или статистикой Больцмана. Если принимается во внимание прин­ цип неразличимости частиц, то приходят к статистике Бозе — Эйнштейна (или статистике Бозе), а если используются оба принципа, то имеют дело со статистикой Ферми — Дирака (или статистикой Ферми).

При описании возбуждения, ионизации и диссоциации мы будем учитывать квантовомеханические свойства вещества. Возможно другое рассмотрение, когда сохраняется больцмановская статистика, а к квантовомеханическим концепциям обра­ щаются только в случае необходимости. Однако не так уж сложно с самого начала ввести квантовомеханические представ­ ления. При этом мы получим статистику Больцмана как соот­ ветствующее приближение, но наши уравнения имеют более широкую применимость и смогут помочь исследователю, же­ лающему понять свойства вещества в недрах звезд, при рас­ смотрении которых принцип Паули и принцип неразличимости частиц могут стать решающими.

Принцип Паули, хорошо известный из элементарных учеб­ ников атомной физики (см., например, [74, р. 122]), гласит, что два электрона в атоме не могут одновременно иметь четыре одинаковых квантовых числа. Эти четыре квантовых числа обеспечивают полное описание элементарного состояния элек­ трона, так что можно также сказать, что принцип Паули запре­

щает пребывание двух электронов в одинаковых элементарных состояниях*). Полное описание элементарного состояния сво­ бодной частицы, вероятно, менее знакомо читателю, так как квантовые представления для описания свободных частиц тре­ буются реже. Свободная частица находится в элементарном состоянии, когда ей приписана ячейка фазового пространства (положение х и импульс р) объема /г3 и задана ориентация ее спина. Некоторое понимание причины, почему ячейки размера /г3 играют важную роль в определении состояния свободной частицы, можно получить при обращении к принципу неопре­ деленности, который гласит, что можно «локализовать» частицу в фазовом пространстве только с неопределенностью АхАрх ~ h (см., например, [74, р. 36]). (См. также рассмотрение поведения частицы в ящике в разд. 3.4.)

Неразличимость частиц — свойство, которое проявляется только тогда, когда, например, две частицы близко располо­ жены в пространстве и имеют почти одинаковые импульсы. Если положения или импульсы двух идентичных частиц полностью разделены, то мы можем использовать эти свойства для иден­ тификации частиц: частица А — это та, которая находится в данном месте и с данным импульсом, а частица В — та, которая находится в другом месте и с другим импульсом. В идеальном газе нет скопления частиц в фазовом пространстве, т. е. частиц с одинаковыми положением и импульсом, и поэтому статистика Больцмана правильно предсказывает свойства идеального газа.

Если частицы настолько близки, что их волновые функции перекрываются, то действительно нельзя отличить одну ча­ стицу от другой, и статистика должна учесть этот факт. Теория, которую мы изложим, имеет дело с неразличимыми частицами, но она, конечно, будет справедлива и тогда, когда волновые функции не перекрываются.

3.2. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА И СТАТИСТИКА БОЛЬЦМАНА

Обратимся теперь к нашим N частицам, помещенным в по­ лость. Когда каждой частице приписана определенная энергия, мы получаем «состояние» для системы в , целом. Мы хотим узнать, какое распределение энергий частиц является наибо­ лее вероятным среди бесконечного множества возможных со­ стояний.

Попытаемся вычислить вероятность состояния системы, в ко­ торой имеется Nі частиц с энергией Еи N2 частиц с энергией Е2

*) Слово «состояние» иногда используется более вольно, чем в настоя­ щем контексте. Говорят, что при самой низкой энергии атома гелия два элек­ трона находятся в одном и том же «энергетическом состоянии», но элемен­ тарные состояния отличаются, так как спины направлены противоположно.