книги из ГПНТБ / Каули, Ч. Теория звездных спектров

Можно связать теперь коэффициенты Эйнштейна А с матрич­ ными элементами дипольного момента при условии, что состоя­ ния m и л не вырождены (g m = g n — 1):

Таким образом, скорость спонтанного излучения энергии кван­ товомеханической системой в расчете на один атом есть

Сравнение с соответствующим классическим выражением, кото­ рое можно получить из уравнений (1.1.4) и (1.1.5), показывает, что классическому дипольному моменту соответствует удвоен­ ный квантовомеханический момент, т. е. 2 | ( т | Р | « ) | .

Волновые функции Т т и Ч'п должны рассматриваться как функции, дающие наиболее полное из возможных описание атомных состояний т и п . Это значит, что оптический электрон характеризуется четырьмя квантовыми числами: п, I, / и или п, I, ті и т„, или, другими словами, (т\Р\п) выражает диполь­ ный момент для переходов между двумя элементарными зеемановскими состояниями, или просто состояниями. С другой сто­ роны, наши соотношения между коэффициентами А, В и f учи­ тывают переходы между вырожденными уровнями, имеющими статические веса g.

Следуя Кондону и Шортли [29], рассмотрим переход между двумя элементарными состояниями а и 4, где а — верхнее, а<5 — нижнее состояние. Пусть состояния а и 4 являются одним из gM- и состояний, образующих вырожденные уровни s i и Я.

Коэффициенты Эйнштейна А для перехода между состояниями а и 4 обозначим через А (а, 4). Подобным же образом обозна­ чим аналогичный коэффициент для перехода между двумя уров­ нями s i и Я: A (si,È). Энергия І(а,4), спонтанно излученная одной (зеемановской) компонентой, равна

интенсивностей всех (зеемановских) компонент (а->4). Соответ­

Штрих при знаке суммирования означает, что сумма берется по всем возможным переходам между состояниями а и 4. Эту сумму Кондон и Шортли [29] назвали силой линии и обозначили

ab

Здесь мы опустим штрих при знаке суммирования и заметим, что число слагаемых в сумме равно числу зеемановских компо­ нент в линии.

Аналогичные соотношения для коэффициентов Эйнштейна В, сил осцилляторов f и сил линий S можно получить из уравнений

(1.5.34), (1.4.9) и (1.4.10):

Преимущество понятия «силы линии» заключается в том, что сила линии одинакова для излучения и поглощения, т. е.

также симметрична относительно уровней s t и Я. При переста­ новке s t и Я в уравнении (1.5.35) мы получим выражение для эмиссионной силы осциллятора *):

1.6. ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ

Мы видели, как классическое выражение для коэффициента поглощения можно ввести в квантовомеханическое выражение путем подстановки N —*■Nnfnm. Однако вопрос о том, как интер­ претировать в квантовой теории постоянную затухания, остается все еще открытым. Согласно классической теории, ширина спек­ тральной линии задается постоянной которая определяет уменьшение энергии классического осциллятора (уравнение

( 1. 1.8) )

Конечно, это излучение энергии непрерывно, тогда как в случае атома энергия освобождается дискретными порциями, или кван­ тами, равными hv. Чтобы найти аналогию с классическим слу­ чаем, мы должны рассмотреть ансамбль N осцилляторов. Число

*) Иногда в формулу (1.5.37) вводят знак минус. Делается это по тем же соображениям, по которым иногда вводят при рассмотрении линий погло­ щения знак минус для частоты линии излучения.

іевіЛЯЯС1' >.

классических осцилляторов Nmn, колеблющихся на частоте ѵтп, будет

где Wmn — общая энергия всех осцилляторов (начальная). Для этих осцилляторов из (1.6.1) получим

Согласно квантовой теории, скорость уменьшения заселенности уровня т из-за переходов с уровня т на п есть

Сравнивая (1.6.3) и (1.6.4), мы видим, что Атп играет роль постоянной затухания. Полная скорость уменьшения заселенно­ сти уровня т получается при суммировании по всем более низ­ ким, чем т, уровням п, так что мы считаем

В квантовой теории постоянная затухания выражается сум­ мой обратных времен жизни как верхнего, так и нижнего со­ стояния, т. е. если

Физический смысл того, что нижнее состояние расширяет спект­ ральную линию так же, как и верхнее, заключается в том, что верхнее и нижнее состояния размыты. Каждое состояние имеет конечную ширину Д1К, которая прямо связана со временем жиз­ ни состояния принципом неопределенности Гейзенберга, т. е. ДІЕ-Г^г/г, где Т — время жизни состояния. Если приписать уширение спектральных линий конечной ширине состояний, то мы должны пользоваться (1.6.7).

Если плотность излучения высока, то при вычислении вре­ мени жизни уровня нужно учесть также и переходы, индуциро­ ванные излучением. По мнению Слэтера [136], квантовая теория линии поглощения еще не полностью разработана. Для случая, когда поле излучения влияет на время жизни состояний, Миннарт и Мулдерс [111] предложили следующее выражение:

2 Ч . К ау л и

где величина АXd , называемая допплеровской шириной, дается

формулой

и Сг — другая нормирующая постоянная.

Аналогично если мы предположим, что турбулентное движе­ ние газа сообщает излучающим атомам такое распределение по лучевым скоростям £, что вероятность P(l)dl попадания скоро­

Постоянные С3 и С4 — нормирующие постоянные; It равно умно­ женной на У 2 среднеквадратичной турбулентной скорости вдоль луча зрения.

Отметим, наконец, что в результате столкновения или близ­ кого прохождения возмущающей частицы и поглощающего ато­ ма поглощенный фотон может быть смещен от естественной длины волны А0 на величину ДА. Рассмотрим контур Лоренца

определяет ширину контура поглощения, обусловленную давле­ нием (гл. 5).

Четыре контура, с которыми мы будем иметь дело, даются формулами (1.4.3), (1.7.4), (1.7.7) и (1.7.8).

1.8. СВЕРТКА ДВУХ КОНТУРОВ

Теперь исследуем форму спектральной линии, которая уши­ ряется совместным действием двух механизмов. Результирую­ щий контур будет сверткой двух контуров. Ниже мы определим постоянные множители двух контуров, исходя из физических требований нашей задачи.

Если действует лишь один механизм уширения, то энергия в спектральной линии распределяется по контуру, который обо­ значим через fi(x), где х заменяет ДА. Энергия, содержащаяся в каждом элементарном прямоугольнике с основанием dx и вы­ сотой fi(x), перераспределяется вторым механизмом уширения по контуру fz(y), но с центром в точке х. Энергия, попадающая

2

Ее можно приравнять энергии элемента комбинированного кон­ тура d(fc(y)dy). Комбинированный контур получается суммиро­ ванием вкладов от всех таких элементарных полос, т. е.

Этот результат есть хорошо известное выражение для свертки двух функций распределений.

Рассмотрим три следующих случая:

1)/і и і2— контуры Гаусса,

2)fi и f2— контуры Лоренца,

3)fi — контур Лоренца, а f2— контур Гаусса.

Для двух первых случаев результаты можно получить при помощи теоремы о свертке, которую мы сейчас докажем.

Рис. 1.8.1. Свертка двух контуров.

Рассмотрим преобразование Фурье для функции f3(x), кото­ рая является сверткой функций fi(x) и f2(x):

со

Предположим, что интеграл (1.8.3) существует и что существуют преобразования Фурье для fu f2, f3, которые обозначим через

Fi(k), F2(k), F3(k). Тогда

оо оо

\

Итак, свертка двух контуров Лоренца является контуром Ло­ ренца, ширина которого равна сумме ширин контуров свертки.

Легко теперь скомбинировать гауссовы контуры теплового и

выражением (1.4.3), с тем лишь исключением, что теперь мы понимаем под у сумму у от естественного уширения и разных типов уширений давлением. Вспомним, что интеграл контура поглощения не зависит от ширины. Функция хл(ДА) (1.4.3) нор­ мирована таким образом, чтобы дать результат (1.4.4), поэтому нам нужно выбрать такой нормирующий множитель CD, чтобы контур Допплера был нормирован к единице. Физически это означает, что полное или интегральное поглощение в элементар­ ном объеме не меняется с шириной профиля коэффициента по­ глощения.

Теперь мы в состоянии выразить коэффициент поглощения для затухания совместно с допплеровским уши'рением как сверт­ ку двух эффектов, действующих независимо. Найдем свертку коэффициента поглощения, выраженного как функция разности

есть постоянная затухания в сантиметрах.