книги из ГПНТБ / Каули, Ч. Теория звездных спектров

электрических полей <§?(ѵг), колеблющихся с частотами ѵ,, от­ личающимися на 5ѵ. Плотность энергии в единичном интервале частот должна равняться

TS?£ К м Г

і=і

иѵ (1.3.3)

ябѵ

Сохраняя п постоянным, устремим бѵ к бесконечно малой dv. Мы знаем, что излучение абсолютно черного тела непрерывно, поэтому

ких частотах. Правда, на низких частотах закон Рэлея—Джинса согласуется с наблюдениями.

Точное выражение для плотности энергии излучения абсо­ лютно черного тела было выведено Планком в 1900 г. Мы вы­ ведем формулу Планка методом Эйнштейна [48, 49].

где h — постоянная Планка, а %т и %п — энергии возбуждения состояний т и п . Эйнштейн обосновывал это соотношение (1.3.6), исходя из теории Бора [17] для атома водорода и его излучения.

Следуя Эйнштейну, предположим, что если в 1 см3 имеется Nm атомов в состоянии т, то для числа спонтанных переходов в 1 с на нижний уровень можно записать

NmAmn. (1.3.7)

Эйнштейн сравнил свою постулированную вероятность пере­ хода с аналогичной величиной, описывающей радиоактивный распад.

При наличии излучения с частотой ѵ атом может также перейти из состояния п в состояние т с поглощением кванта световой энергии. Если плотность энергии излучения равна иѵ> то число таких переходов вверх за 1 с в 1 см3 составит

стояние т за 1 с в единичном интервале плотности энергии. Эйнштейн отметил, что в случае классического осциллятора взаимодействие поля излучения с осциллятором может приво­ дить не только к поглощению энергии осциллятором, но и к возвращению ее полю. Поэтому был введен третий коэффициент вероятности. Число переходов вниз из т в п в 1 см3 за 1 с, вызванное полем излучения, записывается в виде NmBmnuv. Ве­ личина Втп называется эйнштейновским коэффициентом вероят­ ности вынужденного излучения (или отрицательного поглоще­ ния). В полости, в которой вещество и излучение пришли в равновесие, общее число переходов вниз должно быть равно числу переходов вверх, т. е.

Если бы это соотношение не выполнялось, то можно было бы создать избыток или недостаток излучения на частоте ѵ = = (%т— %n)/h, что противоречило бы эксперименту.

Насколько нам известно, нет строгого доказательства прин­ ципа детального равновесия, который утверждает, что в термо­ динамическом равновесии каждый элементарный процесс точно уравновешен соответствующим обратным процессом. Конечно, можно представить себе вид атомов или сочетания их, в кото­ рых избыток излучения, вызванный отсутствием равновесия из­ лучения для перехода от m к п, компенсируется другим пере­ ходом от т' к п'. Но если заселенности состояний т, п, т' и п' определяются формулой Больцмана, то нужно представить себе очень специальный процесс, скажем столкновения, благодаря ко­ торому заселенности атомных состояний поддерживаются в рав­ новесии. Однако трудно сказать, как такие условия могли бы

22 ГЛАВА I

Уравнение (1.3.9) приводит к выражению

Обычно при выводе соотношений между коэффициентами ве­ роятности Эйнштейна, входящими в уравнение (1.3.10), тре­ буют, чтобы в левой части этого уравнения стояло уже извест­ ное выражение для плотности энергии абсолютно черного тела. Здесь же мы, следуя Эйнштейну, получим одновременно и фор­ мулу Планка, и соотношения между коэффициентами вероятно­ стей, сделав следующие допущения:

1. Выражение для иѵ должно быть лишь функцией темпера­

где gm и gn — статические веса состояний т и п, а k — постоян­ ная Больцмана (гл. 3).

Поскольку формула Планка может считаться квантовоме­ ханической, мы замечаем, что невозможно использовать кванто­ вую механику без обращения к классической механике (Ландау и Лифшиц [102]). И при выводе соотношений для коэффициента Эйнштейна мы также обращаемся к классической механике, де­ лая предположение (3).

Исходя из приведенных выше допущений и уравнения

Стоит отметить, что если в (1.3.9) используется удельная интен­ сивность **) (ср. разд. 2.2), а не плотность энергии (ср. [2]), то получатся другие соотношения между Атп и Втп.

*) Первоначально Эйнштейн обращался к закону смещения Вина. Нам кажется, что закон Рэлея — Джинса имеет определенные преимущества.

**) ^Есть два способа определения коэффициента Эйнштейна 4, исходя из удельной интенсивности, и оба общеупотребительны, так что читателю нужно быть внимательным, чтобы заметить, какое определение использует автор.

24 ГЛАВА I

Входящая в формулу для классической постоянной затухания величина со равна собственной частоте осциллятора соо. Мы не писали ©о в уравнениях (1.1.3) и (1.1.9), так как хотели под­ черкнуть, что колебания осциллятора не происходят точно на

(1.4.3) мы записали Х0 = 2яс/соо.

Формула для интегрального коэффициента поглощения есть

— со

где Л-о берется в сантиметрах. Если вместо длины волны взять частоту V, то получим

+ 0«

—СО

Рассмотрим теперь параллельный пучок света с плотностью энергии иѵ, падающий в направлении х. Поток излучения в

Когда свет проходит расстояние dx в слое вещества с коэффи­ циентом поглощения хѵ, количество энергии, поглощенное за 1 с в элементарном объеме dV = 1 cM2-dx в интервале (v, dv),

равно

сиѵкѵ dv dx.

Полная поглощенная энергия равна интегралу от этого выраже­ ния по всем частотам ѵ. На таком малом интервале частот, как естественная ширина линии поглощения, функция wv практиче­ ски постоянна. Таким образом, полная энергия, поглощенная за 1 с в объеме dV, равна

Она также должнаравняться энергии, поглощенной, согласно теории Эйнштейна, переходами от п к т при наличии излучения с плотностью энергии иѵ. Происходит NnBnmuv переходов в 1 см3 за 1 с, и при каждом переходе поглощается энергия hv. Следо­ вательно, для элементарного объема dV

Из уравнений (1.4.9), (1.3.13) и (1.3.14) сразу получаем искомое

связывающее силы осцилляторов с коэффициентами вероятно­ стей переходов Эйнштейна.

Из уравнений (1.3.13) и (1.4.10) мы видим, что отношение статистических весов входит в соотношения между Впт и Втп и

шем правила сумм для частного случая — дублета 2Руг, —2Дз/г>>/2. Если Іи /2 и /з — интенсивности трех разрешенных переходов, то правила сумм будут следующими:

т. е. отношение суммы интенсивностей всех линий для переходов с исходного уровня А к сумме .интенсивностей для переходов с исходного уровня В равно gA/gB, где gA и gß — статистические веса уровней А и В. Подобное соотношение выполняется и для сумм интенсивностей линий, получающихся при переходах меж­ ду двумя уровнями.

Двух отношений (1.4.11) и (1.4.12) достаточно, чтобы полу­

триплетов и мультиплетов более высокого порядка соотношений, которые можно получить из правил сумм, уже недостаточно, что­ бы, зная одну из интенсивностей, получить все остальные. Общие соотношения для интенсивностей линий внутри любого мультип­ лета определяются из квантовой теории угловых моментов [29].

26 ГЛАВА 1

1.5. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ В ЛИНИИ

До сих пор наше рассмотрение образования спектральных линий основывалось либо на классической теории излучения, либо на той части квантовой теории, предшествующей работам Гейзенберга и Шредингера, которую принято называть «ста­ рой». В этом разделе мы выясним связь между указанными тео­ риями и квантовомеханической теорией атома.

Квантовомеханическая система описывается волновой функ­

ства просто записывать dq. Эта функция удовлетворяет уравне­ нию Шредингера

где Я — квантовомеханический оператор Гамильтона. Предполо­ жим вначале, что Я явно не содержит времени. Путем разде­ ления переменных

можно выделить часть, описывающую пространственные свой­ ства волновой функции, и часть, описывающую временные свой­ ства. Вводя W — постоянную разделения переменных, являю­ щуюся также и полной энергией системы, — можно записать волновую функцию в виде

Анализ уравнения, описывающего пространственные свой­ ства волновой функции (т. е. волнового уравнения Шредингера для стационарных состояний), показывает, что в случае отрица­ тельной полной энергии системы W волновое уравнение имеет решение во всех точкам пространства лишь при определенных дискретных значениях Wn. Величины Wn являются собственны­ ми значениями оператора энергии, а соответствующие им вол­ новые функции tyn(q) называются собственными функциями опе­ ратора энергии.

Одно из фундаментальных свойств собственных волновых функций фи заключается в том, что они образуют полную орто­ гональную систему функций. В этом можно убедиться, обратив­ шись к учебникам по квантовой механике, а здесь мы только отметим, что ортогональность волновых функций, если принять, что они нормированы, означает, что

где ф* комплексно-сопряженная фга, а областью интегрирова­

ния, совпадающей с областью задания волновых функций, яв­ ляется все конфигурационное пространство. Полнота системы означает, что любую функцию ф, удовлетворяющую тем же гра­ ничным условиям, что и собственные функции ф„, можно пред­ ставить в виде ряда из этих собственных функций:

оо

(1.5.5)

п—О

Исходя из ортогональности функций фи, мы можем определить коэффициенты ап. Для этого умножим уравнение (1.5.5) на ф^

и проинтегрируем по всему пространству. В результате получим

(1.5.6)

Коэффициенты разложения ат имеют очень важный физический смысл. Рассмотрим гипотетическую задачу измерения энергии атома. Если мы предварительно не примем, что атом находится в определенном состоянии, которое, скажем, описывается соб­ ственной функцией ф„, то мы не можем быть уверены, что результатом измерений будет Wn. С некоторой вероятностью ре­ зультатом измерений будет любое из всех значений Wn. В соот­ ветствии с этим удобно представить, что перед измерением энер­ гии атом находился в произвольном состоянии ф(д), которое яв­ ляется суперпозицией всех состояний с собственными функциями ф„. Функция ф(д), описывающая произвольное состояние, может быть представлена в виде ряда (1.5.5).

Умножим выражение (1.5.5) на его комплексно-сопряженное и проинтегрируем по всему конфигурационному пространству. Тогда с помощью (1.5.4) получим

Левая часть этого уравнения, конечно, равна единице, согласно интерпретации ф*ф как плотности вероятности. Если теперь мы возьмем ф(д), равное фь, то, как видно из (1.5.4) и (1.5.6), все произведения правой части (1.5.7), кроме а\ак, обратятся в нуль.

Таким образом, можно интерпретировать произведение a*kak как вероятность того, что измерение энергии системы даст собствен­ ное значение оператора энергии Wh.

Теперь рассмотрим теорию возмущений, зависящих от вре­ мени. В каждый момент времени атомную систему, находящую­ ся в произвольном состоянии, можно описывать рядом (1.5.5).

Следовательно, зависящую от времени волновую функцию си­ стемы 'Ч’ (q, t) можно разложить в такой ряд, но теперь нужно считать коэффициенты ап функциями времени.

Если система атомов, находящаяся в собственном состоянии п, подвергнута возмущению, то она может перестраиваться та­ ким образом, что при измерении энергии будет возрастать ве­ роятность получения величины Wm, а не Wn. Другими словами, произведение атат будет расти со временем, тогда как произве­

дение апап— падать. Если возмущением служит электромаг­ нитное излучение с частотой

то вероятность (атат^^ перехода п~*т в единицу времени бу­

дет пропорциональна коэффициенту Эйнштейна Впт , причем КО-

эффициент пропорциональности равен плотности энергии ы(ѵпт). Обратимся к оценке коэффициента an(t) для случая, когда

оператор Гамильтона уравнения (1.5.1) записывается в виде

Здесь #° — оператор Гамильтона для невозмущенного состояния с собственной функцией оператора энергии

а H'(t)— зависящее от времени возмущение. В результате воз­ мущения наша система переходит в произвольное состояние, ко­ торое описывается суперпозицией состояний Чг°п, т. е.

со

Эта функция должна удовлетворять уравнению Шредингера (1.5.1), и если подставить (1.5.11) в (1.5.1) и учесть, что, со­ гласно определению,

Умножая это уравнение на W%dq и интегрируя по конфигу­ рационному пространству, найдем окончательно

Уравнение (1.5.14) является дифференциальным уравнением для коэффициента ат, который нам нужен для получения коэф­ фициента Эйнштейна В. Чтобы упростить решение уравнения, предположим, что в начале возмущения атом был в состоянии п, так что ап(0) = 1, а все другие ak(0) = 0. Тогда имеем

Возмущение Н' равно энергии взаимодействия зарядов в атоме с электрическим полем возмущающего излучения. Предполо­ жим, что излучение плоскополяризовано и электрическое поле направлено вдоль х. Тогда

называется матричным элементом х-компоненты электрического

второе слагаемое в фигурных скобках во много раз меньше первого, и мы пренебрежем им в наших дальнейших вычисле­ ниях. Умножая am(t) на ее комплексно-сопряженное значение, получим