книги из ГПНТБ / Каули, Ч. Теория звездных спектров

КВАГІТОВОМЁХАНИЧЕСКОЕ р а с с м о т р е н и е УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 211

6.14. ПРИБЛИЖЕНИЕ «КЛАССИЧЕСКАЯ ТРАЕКТОРИЯ»

При анализе взаимодействия между излучающей и возму­ щающей частицами мы концентрируем внимание на излучателе и рассматриваем возмущающую частицу как внешнее возмуще­ ние. Мы рассматриваем зависящее от времени возмущение 1/(0, которое можно разложить по степеням R(t) расстояния между излучающей и возмущающей частицами. Волновая функ­ ция возмущающей частицы не учитывается, и это значительно упрощает анализ. Упрощающее предположение включает два

в лучшем случае является лишь приближением. Мы не можем одновременно определить и положение, и импульс квантово­ механических частиц. С другой стороны, квантовомеханическая картина классической частицы есть волновой пакет, вне кото­ рого вероятность обнаружения частицы пренебрежимо мала. Если «размер» этого пакета остается малым в течение харак­ терного времени взаимодействия возмущающей и излучающей частиц, то квантовомеханическое рассмотрение должно привести к тому же результату, что и классическое, и приближение «клас­ сической траектории» будет хорошим.

Размер волнового пакета Ах связан с неопределенностью им­

В течение этого времени неопределенность в импульсе приведет к размытию пакета, и его новый «размер» станет Дх -}- Ах', где

Здесь т — масса частицы, а аг — вторая постоянная порядка единицы (рис. 16.4.1).

Положим, что размер излучателя меньше, чем придельный параметр р, и выберем Ах = 0,1р. Тогда квантовомеханические «неопределенности» будут малы по сравнению с другими харак­ терными размерами в задаче. Нужно также потребовать, чтобы и Ах' было мало по сравнению с р. Из (6.14.1) и (6.14.2) сле­ дует, что

протонов мы бы имели даже меньшее значение. Волновой пакет размывается незначительно на отрезке пути, на котором произ­ водится заметный вклад в возмущение. Таким образом, можно ожидать, что классическая траектория является вполне хоро­ шим приближением для большинства условий, представляющих интерес для астрофизики. Этот вывод подтверждается более сложными аргументами [67].

Даже тогда, когда возмущающую частицу можно рассматри­ вать как классическую, нужно изучить вопрос об обратной реак­ ции излучающей частицы на возмущающую. Второе предполо­ жение, которое обычно связывают с приближением классической траектории, состоит в пренебрежении этой обратной реакцией.

Неадиабатическое взаимодействие изменит как энергию, так и момент количества движения излучателя. Эти величины дол­ жны сохраняться в полной системе излучающей и возмущающей частиц, т. е. изменения энергии и момента количества движения излучающей частицы должны компенсироваться равными, но противоположного знака изменениями в состоянии возмущаю­ щей частицы. Изменения траектории возмущающей частицы приписываются «обратной» реакции излучателя. Если справед­ ливо приближение классической траектории, то изменения траек­ тории возмущающей частицы должны быть малыми.

Всегда возможно некоторое число столкновений, нарушаю­ щих приближение классической траектории, но обычно они не дают большого вклада в уширение линии, и поэтому нет необ­ ходимости их рассматривать. Большинство электронов имеет энергию порядка кТ, и обычно можно считать их траекторию классической, если кТ АЕ — изменения энергии за счет не­ адиабатического взаимодействия. Однако исследователь должен убедиться, что используемые приближения удовлетворительны для конкретной линии, профиль которой вычисляется.

П Р И Л О Ж Е Н И Е I

Соотношение Инглиса—Теллера

Инглис и Теллер [85] дали соотношение, при помощи кото­ рого можно оценить электронную концентрацию по номеру по­ следней различимой линии серии Бальмера или Пашена.

Расщепление энергетических уровней атома водорода воз­ растает как квадрат главного квантового числа. Сильный эф­ фект Штарка легко распознается в звездных спектрах по воз­ растающему уширению более высоких членов серий. Когда штарковское расщепление становится равным расстоянию между энергетическими уровнями с разными главными квантовыми числами, спектральная серия должна кончиться. Выше некото­ рого максимального значения, скажем пт, энергетические уровни атома сливаются с континуумом.

Бете и Солпитер [12, р. 231] приводят выражение для макси­ мального разделения штарковских компонент. В системе СГС

трона, а а0— радиус Бора. Приравнивая эту ширину расстоянию

электрического поля. В действительности точность соотношения (I.3) достаточно низка для того, чтобы точное численное значе­ ние 3,7 принимать во внимание. Учитывая трудность оценки пт из наблюдений, можно оценить электронную концентрацию лишь по порядку величины.

где N — 2Ne, и логарифмируя, получим

По-видимому, в большинстве астрофизических ситуаций элек­ троны будут уширять более высокие члены серий квазистати­ чески, так что можно просто сложить их действие с действием ионов.

Следует проявлять осторожность при использовании соотно­ шения Инглиса — Теллера, ибо нужна гарантия того, что при­ чина постепенного уменьшения четкости высоких бальмеровских членов действительно связана с эффектом Штарка. Теоретически если последняя наблюдаемая линия «ясно видна», то можно за­ ключить, что следующая линия исчезает из-за эффекта Штарка. Но вследствие других причин последняя наблюдаемая бальмеровская линия может не иметь никакого отношения к эффекту Штарка. Среди этих причин мы отметим бальмеровский декре­ мент, вращение звезд и очень быстрые движения масс газа (тур­ булентность). Эти факторы нужно иметь в виду при использо­ вании соотношения (1.5).

П Р И Л О Ж Е Н И Е II

Обобщенный гармонический анализ. Автокорреляционная функция

и спектральная плотность

Частотная зависимость сигнала, временная зависимость ко­ торого дается соотношением

определяется методами анализа Фурье. Если f(t) — периодиче­ ская функция с периодом Т, то мы находим коэффициент Фурье

п-й гармоники дается произведением F(n)F(n), где черта сверху означает комплексно-сопряженное.

Аналогичным образом можно получить преобразование

непрерывных величин, а не для дискретных, мы говорим о спек­ тральной плотности F(co)F(co) сигнала f(t).

Имеется большой класс функций, не являющихся ни перио­ дическими, ни переходными. Можно привести большое число примеров таких апериодических функций: температура или ба­ рометрическое давление в данной местности как функция вре­ мени, смещение волн на воде как функция времени, интенсив­ ность солнечной грануляции как функция расстояния по диску Солнца. Ни ряд Фурье, ни интеграл Фурье нельзя использовать при анализе этих функций.

Изучив такую функцию на «достаточно» большом интервале независимой переменой, можно убедиться, что дальнейшая поступающая информация не дает ничего нового, и нужно

Функцию Ф(п), которая определена при дискретных значе­ ниях п, нужно заменить соответствующей функцией непрерыв­ ной переменной ш. Поскольку Ф(п) есть мощность в единичном интервале частот, связь между двумя функциями определяется следующим образом:

Можно видеть, что автокорреляционная функция является преобразованием Фурье от спектральной плотности. Из обрат­ ной формулы Фурье следует, что спектральная плотность яв­ ляется преобразованием Фурье от автокорреляционной функции, которая для бесконечной апериодической функции определяется соотношением

Строго говоря, мы должны определить спектральную плотность Ф(со) бесконечной апериодической функции как преобразование Фурье (II. 13). Наш прежний вывод показывает, что Ф(со) яв­ ляется аналогом Ф(п)/Асо периодической функции, период кото­ рой стремится к бесконечности.

Задача отыскания спектральной плотности из автокорреля­ ционной функции — одна из главных задач обобщенного гармо­ нического анализа. Эта задача рассмотрена в учебниках [103, 119]. Классическая работа Винера была переиздана в виде книги [169]. Численные аспекты этой задачи были рассмотрены в [14].

П Р И Л О Ж Е Н И Е III

Символический метод квантовой механики

III.1 ВВЕДЕНИЕ

Это приложение содержит краткое изложение тех аспектов квантовой механики, которые необходимы для понимания со­ временных теорий уширения спектральных линий. Оно предна­ значено как для подготовленного читателя, которому нужно лишь вспомнить некоторые понятия, так и для новичка, который должен овладеть этими понятиями.

Мы начнем с фундаментальных понятий состояния и прин­ ципа суперпозиции состояний. Затем изложим метод, который Дирак назвал символическим. Наиболее четкое описание сим­ волического метода дано самим Дираком. Мы примем его тер­ мины «вектор состояния» и «со-вектор состояния» (или просто «вектор» и «со-вектор») и будем часто ссылаться на его моно­ графию «Принципы квантовой механики» [42].

III. 2. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ И ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ, ВЕКТОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Можно начать изложение символического метода как чисто математической схемы. В такой схеме мы рассматриваем неко­ торые неопределенные абстрактные величины и формулируем правила, согласно которым можно выполнять операции над этими величинами. Тогда задача чистой математики — открыть логически непротиворечивые соотношения (теоремы) между ве­ личинами и операциями. Мы вольны делать столько допущений о правилах и операциях, сколько пожелаем, пока не придем к логическому противоречию.

Мы переходим от чистой математики к физике, когда иден­ тифицируем физические понятия с нашими абстрактными эле­ ментами и операциями. Помимо логической непротиворечивости, физическая теория, выведенная из математической схемы, должна удовлетворять некоторым другим требованиям. Соотно­ шения, которые можно получить для физических величин, и операции, выполняемые над ними, должны находиться в согла­ сии с большим количеством экспериментальных результатов. Ко­ нечно, чтобы теория имела смысл, вовсе не обязательно, чтобы