книги из ГПНТБ / Каули, Ч. Теория звездных спектров

которого привязан к гармонически колеблющемуся заряду. По­ перечное возмущение электрического поля, вызванное колеба­ нием заряда, распространяется вдоль силовой линии (рис. 1.1.2). Свет в нашем представлении как раз и есть такое поперечное электрическое (и сопутствующее ему магнитное) поле. На на­ шем простом рисунке рассмотрено распространение света только в направлении, перпендикулярном направлению колебаний. На рис. 1.1.2 мы нарисовали также кривую, показывающую выход­ ную мощность такого гармонического осциллятора как функцию направления — хорошо известную диаграмму для дипольного излучения.

Скорость сбета

Рис. 1.1.2. Электромагнитное излучение колеблющегося заряда. Диаграмма направленности показана штриховыми линиями.

Энергия излучения, испускаемая осциллирующими заря­ дами, черпается из кинетической и потенциальной энергий самих осцилляторов. Но источником энергии осцилляторов яв­ ляется первоначальная падающая электромагнитная волна. Лишь малая доля поглощенной энергии падающей волны воз­ вращается в направлении первоначального светового потока. Конечный результат описанного процесса сводится к тому, что у входящего светового пучка отнимается часть энергии и по­ сылается (или рассеивается) в других направлениях. Следо­ вательно, пропорциональная <%2 интенсивность пучка умень­ шается с ростом аг. Мы говорим, что свет поглощается. Пока оставим без внимания трудный вопрос о многократном рас­ сеянии, т. е. о возможном взаимодействии рассеянного света с другими осцилляторами. Будем считать слой вещества на­ столько тонким, что большая часть однократно рассеянного излучения просто покидает его.

Согласно классической теории излучения, частота поглоще­ ния (и/или излучения) осциллятора точно совпадает с соб­

первый взгляд может показаться, что в падающем пучке будет поглощена только частота, в точности равная <и0, так как ыо— собственная частота колебаний осцилляторов. Однако «свобод­ ные» колебания на собственной частоте соо — лишь одно из трех зависящих от времени явлений, действующих на классические осцилляторы. Другие два процесса следующие:

а. Если падающее излучение непрерывно, т. е. присутствуют все частоты, то осциллятор приводится в колебания любой из частот, на которую он откликается.

б. Колебания осциллятора являются затухающими. Без па­ дающего излучения, возбуждающего его колебания, энергия осциллятора постепенно бы убывала, так как он непрерывно излучает электромагнитные волны.

Ключом к пониманию естественной ширины линии является концепция затухающего гармонического осциллятора, т. е.

осциллятора, гармонические колебания которого экспонен­

Произведение амплитуды смещения электрона относительно протона у на заряд е является дипольным моментом конфигу­ рации (зависящим от времени). Согласно классической теории излучения, ускоренный заряд е излучает при этом энергию, меняющуюся со временем по закону

но так как представление о скорости расхода энергии ускорен­ ным зарядом существенно для понимания нашей задачи, ука­ жем несколько ссылок, где можно найти вывод уравнения [53; 102, § 9.2; 127]. _

Средний квадрат ускорения у2 гармонического осциллятора,

где взято среднее по времени от

cos2 at = [Re (eitöf)]2.

Сумму кинетической и потенциальной энергий осциллятора W также можно выразить через уо. Полная энергия равна кине­ тической энергии осциллятора в точке у = 0, т. е. при соt = л/2.

12 ГЛАВА I

Спросим теперь: какова частотная зависимость осцилля­ тора с резонансной частотой ©о, который теряет энергию со скоростью lF ~ e x p (—-\()? Ответ на этот вопрос содержится в теории анализа Фурье. Мы дадим другой метод получения частотной зависимости в разд. 1.2. Но поскольку анализ Фурье позволяет получить ответ быстрее, начнем с этого метода.

Уравнение (1.1.6) показывает, что энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний. Следо­ вательно, эта амплитуда будет спадать как ехр(—уt/2). Рас­

Частотная зависимость для излученной энергии, т. е. выходной мощности Р(©), определяется соотношением

Р (ю )— хорошо известная дисперсионная функция, называе­ мая также профилем или контуром Лоренца. Дисперсионная функция имеет максимум при со — ©о, который уже или шире в зависимости от того, меньше или больше постоянная зату­ хания у. Таким образом, из классической теории излучения следует, что слабое затухание приводит к меньшей ширине

интенсивность излучения пропорциональна (среднему по вре­ мени) квадрату амплитуды электрического и/или магнитного полей, делаем вывод, что наличие мнимой части в комплекс­ ном показателе преломления приводит к спаду интенсивности, пропорциональному ехр[—2п'&х/с]. С точки зрения наблюда­ теля, который может видеть только излучение, идущее в на­

жвхм получить и выражение для коэффи­ циента поглощения х. Коэффициент преломления можно вывести из классической теории электричества и магнетизма.

Запишем уравнения Максвелла в гауссовой системе еди­

(Список обозначений приводится в конце книги.)

Цель большинства вводных курсов электричества и магне­ тизма — показать, что разнообразные электрические явления можно описать как частные случаи этих соотношений. Тогда целесообразно постулировать систему уравнений и выводить их математические следствия.

Кратко рассмотрим одну ситуацию, которая требует введе­ ния вектора электрической индукции D, так как понимание физического смысла этой величины существенно для класси­ ческой теории поглощения. На рис. 1.2.1 мы изобразили заря­ жающийся конденсатор. По обе стороны от него по провод­

нику течет ток плотности J, но ток не может пройти через кон­ денсатор.

Рассмотрим поверхность S, перпендикулярную проводнику и параллельную пластинам конденсатора, и используем инте­ гральную форму уравнения ( 1.2.6, а):

(теорема Стокса), где d\ — элемент длины, а d S — элемент по­ верхности.

Поскольку на этой поверхности J = 0, то при отбрасывании ÖD/dt получим

J В • (/1 = 0.

Существование магнитного поля около заряжающегося конден­ сатора привело Максвелла к введению дополнительного члена. Ток возникает из-за того, что на заряды действует электриче­ ское поле 8. В заряжающемся конденсаторе ток проводимости течь не может, но под действием поля связанные положитель­ ные и отрицательные заряды будут смещены пропорционально Е, поэтому запишем

где коэффициентом пропорциональности является диэлектри­ ческая постоянная е.

Электрическую индукцию D можно также представить суммой электрического вектора Е и члена, содержащего сме­ щенные заряды. Если расстояние между положительными и от­ рицательными зарядами у, то они образуют диполь с электриче­ ским дипольным моментом еу. Если имеется N таких диполей

В рационализированной системе единиц МКС множитель 4л отсутствует.

Для среды без тока проводимости (J = 0) уравнение рас­ пространения электромагнитных волн выводится очень просто. Запишем электрическую индукцию D как произведение ди­ электрической постоянной е на напряженность электрического поля 8 и исключим В из уравнений (1.2.6, а и б). Если в рас­ сматриваемом веществе нет свободных зарядов (наши осцил­ ляторы являются связанными зарядами), то получаем волно­ вое уравнение

Для распространяющейся в направлении х плоскополяризо­ ванной волны с электрическим вектором, направленным по у, этому уравнению удовлетворяет решение

циент преломления равен |/ е , поскольку для большинства ве­ ществ магнитная проницаемость ц —- 1.

Теперь нам нужно найти выражение для диэлектрической постоянной диспергирующей среды. В одномерном случае, со­ гласно (1.2.9),

Наши поиски увели нас от коэффициента преломления к ди­ электрической постоянной, и теперь мы видим, что для оценки е нам нужно уметь выражать смещение у вынужденных за­ тухающих гармонических осцилляторов в функции времени. Такие задачи наиболее удобно рассматривать, если причиной затухания является сила трения, пропорциональная скорости. Попытаемся установить, есть ли какая-нибудь возможность рас­ сматривать потери энергии осцилляторов через излучение как действие такой силы трения.

Представим потери энергии (1.1.4) как произведение силы трения ЗГ на скорость ѵ. В задачах механики, учитывающих

где g — коэффициент трения, который нужно оценить для за­ тухающего гармонического осциллятора. Потери энергии равны

где мы, конечно, должны брать средний по времени квадрат

к решению дифференциального уравнения колебаний гармо­

18 ГЛАВА I

( 1. 1. 12) .

Легко модифицировать выражение (1.2.24) на основе кван­ товой теории (разд. 1.5). Нужно только заменить N на Nnfnm, где /Ѵ„ — число атомов в состоянии п, способных поглотить из­ лучение частоты со при переходе с нижнего состояния п в верх­ нее т. Величина fnm, называемая силой осциллятора, характе­ ризует возможность атома перейти из состояния п в т. Свой­ ства ее мы рассмотрим в разд. 1.4.

1.3.ФОРМУЛЫ Р Э Л Е Я - Д Ж И Н С А И ПЛАНКА

Кконцу XIX в. накопилось большое количество экспери­ ментальных данных о так называемом равновесном тепловом излучении, или излучении абсолютно черного тела. Немецкое слово для такого излучения hohlraumstrahlung означает излу­ чение замкнутого пустого пространства или полости. Идеаль­ ным средством, при помощи которого можно наблюдать такое излучение, является полость, т. е. пространство внутри замкну­ той непрозрачной оболочки, стенки которой поддерживаются при заданной температуре с высокой точностью. В этих условиях нет ни притока, ни оттока энергии из полости, и вещество при­ ходит в равновесие с излучением.

Излучение абсолютно черного тела можно наблюдать через малое отверстие в оболочке. Отверстие делается настолько ма­ леньким, чтобы потерями энергии сквозь него молено было пре­ небречь по сравнению с полной энергией вещества в полости. Тогда равновесие по существу не нарушается.

Результаты экспериментов XIX в. показали, что свойства излучения абсолютно черного тела не зависят от состава из­ лучающего вещества. Спектр излучения представляет собой плавно меняющуюся функцию частоты, зависящую только от температуры тела.

Используя классические представления, попытаемся выве­ сти формулу для частотной зависимости плотности энергии из­ лучения иѵ абсолютно черного тела. Плотность энергии иѵ опре­ делена таким образом, что uvdv есть энергия в единице объема и в интервале частот от ѵ до ѵ + dv. Поскольку плотность энергии Uv не зависит от свойств излучающего вещества, мы вправе полагать, что оно состоит из классических осцилляторов, излучение и поглощение которых мы уже изучили.

мана. Как и в случае молекулярного газа, эту величину можно найти, используя функцию распределения, рассмотренную в разд. 3.3. Однако осциллятор имеет еще и потенциальную энер­ гию, пропорциональную квадрату координаты у, тогда как кинетическая энергия пропорциональна квадрату ру = ту. Вы­ ражение для потенциальной энергии также должно содер­ жать постоянную Больцмана. Координата у рассматривается по­ добно импульсу ру, и средняя потенциальная энергия также

нием ту2 по всем частотам, с которыми колеблется осцилля­ тор. Черта означает усреднение по времени. Используя урав­ нения (1.2.18) и (1.2.19), получим*)

Индекс у показывает, что данный осциллятор подвержен элек­ трическим колебаниям только в направлении у. В формуле (1.3.1) использовано приближение (со2— со2) 4со2 Дш2 и в ка­ честве переменной принято ѵ — со/2я.

Плотность энергии электрического поля равна é?2/8jt. Плот­ ность энергии изотропных электрического и магнитного полей

Здесь множитель 2 учитывает наличие магнитной энергии, рав­

частоты V, тогда как плотность энергии иѵ определена для всех

частот. Нужно от дискретной переменной перейти к непре­ рывной, для чего используем следующий прием. Рассмотрим п

*) Выражение (<Т°у)2 уже содержит дифференциал сіѵ. Сравните с урав­ нением (1.3.4).