книги из ГПНТБ / Каули, Ч. Теория звездных спектров

КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 18)

Здесь функция Н описывает плотность распределения вероятно­ стей электрического поля (разд. 5.7). Полезно переписать это уравнение в форме, которая показывает усредненное со0 = = (Еи — Е1)Ш в функции электрического поля &. Если S Ф О, то соо не является истинным центром линии. Обозначим через со0о истинный центр линии, а через io0 — со0о = А а/— смещение, вы­ званное (%. Тогда можно усреднять по функции распределения Я (Асо') Для Асі/, и (6.3.11) примет вид

6.4. ОЦЕНКА Ф ДЛЯ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ СПЕКТРОВ

Прежде чем оценивать Ф, сделаем несколько замечаний от­ носительно физической картины, принимаемой для усреднения

вуравнении (6.3.4). Для примера рассмотрим усреднение по ан­ самблю совсем простой «системы», которую нужно модифициро­ вать, если рассматривается действительная физическая ситуа­ ция. Однако принимаемая картина исключительно близка к той, на которой часто основаны практические вычисления.

Пусть система состоит из одного атома, подверженного воз­ мущениям одной частицей, и только одно соударение происходит

винтервале времени t = —оо, t — + о о . Такое соударение опи­ сывается на рис. 6.4.1 прямой линией — классической траекто­ рией возмущающей частицы. Ансамбль состоит из всех возмож­ ных систем такого вида.

Будем считать, что нет предпочтительного направления в про­ странстве или предпочтительной ориентации траектории возму­ щающей частицы. Стоит только рассмотреть все возможные столкновения, т. е. выполнить усреднение по ансамблю, как ста­ нет очевидно, что результат должен обладать сферической сим­ метрией. Можно наглядно показать это, детально проводя некоторые этапы усреднения по ансамблю (см., например, [31]). Здесь же мы приведем аргументацию, основанную на физиче­ ских предпосылках, согласно которой все нечетные функции для

возмущающей частицы и атомные координаты обратятся в нуль при усреднении по ансамблю, а все четные функции должны быть сферически симметричными. Таким образом, если х н у — координаты атома, то при усреднении по ансамблю матричные элементы х, у, ху и т. п. обратятся в нуль, а выражения вида х2

КВЛНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 183

Пусть Q — полное поперечное сечение столкновений, которые совершаются через интервалы времени Ат и удовлетворяют ус­ ловиям ударного приближения. Тогда для частоты таких стол­ кновений с возмущающими частицами, имеющими скорости ме­ жду V и V + dv, можно записать

показать усреднение по прицельному параметру р. Пределы ин­ тегрирования по р умышленно опущены (см. ниже). Индекс «ср4» сохраняется в (6.4.2), поскольку усреднение по ансамблю должно также распространяться на ориентацию атома и воз­ мущающей частицы.

Оператор эволюции во времени в картине взаимодействия

Одним из упрощений при рассмотрений водородоподобных спек­ тров является возможность пренебречь экспонентами в (6.4.4) вследствие почти полного вырождения верхнего и нижнего со­ стояний. Это верно только в нашем конкретном приближении, когда верхние и нижние состояния можно считать независимыми. Отметим, что все операторы V в (6.2.9) обозначены индексами и п І я что они действуют только на верхние или нижние состояния

184 ГЛАВА 8

соответственно. Таким образом, матричные элементы ІІи бе­ рутся только по отношению к верхним состояниям и т. д. Если мы выберем обычное диагональное представление для энергии (ср. разд. III. 3), то в матричных элементах все экспоненты исчезнут *).

Вследствие общего допущения о том, что соударения не мо­ гут происходить одновременно, и поскольку возмущения спа­ дают к нулю при больших расстояниях между возмущающей и подверженной возмущению частицами, можно расширить пре­

Первое слагаемое представляет собой взаимодействие атомного дипольного момента с возмущением, а второе — квадрупольное взаимодействие, причем второе слагаемое приводится лишь для дальнейших ссылок, а здесь мы ис-

результаты перемножаются. Все дипольные члены первого по­ рядка обращаются в нуль, когда берется усреднение матричных элементов по всем углам **). Поэтому первыми не обращающи-

*) Такое приближение используется только при вычислениях уширения линии одними электронами. Электрическое поле ионов все же снимает часть вырождения, и экспоненты полностью не исчезают.

**) Т. е. по всем ориентациям R относительно і\

КВАНТОВОМЕХАНЙЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИр ЕМИЯ ДАВЛЕНИЕМ 185

мися в нуль в результате усреднения членами станут члены вто­ рого порядка и один «перекрестный» член:

Мы опять использовали индексы «и» и «/» в гамильтониане воз­ мущения К, которые вводились отдельно для Vй и U1, чтобы по­ казать, что матричные элементы этих операторов могут браться соответственно только по отношению к верхнему и нижнему со­ стояниям.

Рассмотрим первый член в правой части уравнения (6.4.6).

Мы пишем просто «интеграл» для одного из двойных интегра­ лов, поскольку его коэффициент обратится в нуль при усредне­ нии по ансамблю.

Двойные интегралы можно упростить следующим путем. Ин- . тегралы берутся по полуплоскости, заштрихованной на рис. 6.4.2. Однако подынтегральные выражения инвариантны по отноше­

умножив на У2. Двойные интегралы сводятся к квадратам одно­ кратных интегралов. Третье слагаемое в (6.4.7) содержит инте­ грал нечетной функции от — оо до + оо и потому обращается в нуль. Первый интеграл вычисляется при помощи формул

186 ГЛАВА б

разд. 5.5, и в результате имеем

Перекрестный член первого порядка после усреднения по сфере равен

Таким образом, выражение для Ф можно записать в следующем виде:

Интегралы по p в (6.4.10) логарифмически расходятся по обоим пределам. Эта трудность имеет место всегда, когда необ­ ходимо проводить усреднение по прицельному параметру, и с ней встречаются исследователи звездной динамики. В приведенном виде теория ошибочна и для больших, и для малых р, так что имеет смысл ограничить пределы интегрирования значениями р, начиная с которых теория больше не верна.

а. Для больших р вследствие дебаевских взаимодействий электрическое поле, воспринимаемое излучателем, будет пре­ небрежимо малым. Это дает

Второе соображение заключается в том, что длительность столк­ новения должна быть такой, чтобы оставалась применимой кон­ цепция уширения вследствие соударений в противоположность квазистатическому приближению (ср. разд. 6.7). Таким образом, смещение частоты Дсо линии должно быть меньше частоты со­ ударения, откуда следует

Согласно [63], нужно брать меньшее из значений ртах, даваемых

(6.4.11) и (6.4.12).

б. Для все меньших И Меньших прицельных параметров на­ рушается предположение о том,'что среднее соударение является слабым или что теория возмущений применима. Пусть в урав­

КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ [87

При

(а [ г I а) ~ п2аа= п2Н2/те2

имеем

Сильное столкновение (р < pmin) можно приближенно учесть, вводя простое допущение (см. заключительные замечания в разд. 5.5) о том, что

Знак минус приходится брать для совместимости с уравнением

(6.4.10). С учетом (6.4.14) находим

Эту величину можно ввести как поправку, учитывающую силь­ ные столкновения, к результату интегрирования (6.4.10) от рт!П

ДО Р та х -

Тогда имеем

<D = - f g ^ j V { f(v) ^ { s + [(r“)2- 2 r “ - r 4 ( r ;)2] l n - ^ } ,

При этом нужно подставлять главное квантовое число п верх­ него состояния, поскольку расщепление из-за эффекта Штарка растет пропорционально п2.

Чтобы оценить оператор Ф для ионизованного гелия и дру­ гих водородоподобных атомов, нужно анализировать орбиты заряженных частиц и учитывать отклонение траектории от пря­ молинейной. Мы не будем подробно останавливаться на этом анализе, так как принципы его те же, что и при расчете водо­ рода, а алгебраические выкладки хорошо объясняются в [63].

Выводом формулы (6.4.17) мы закончили теоретический рас­ чет штарковского контура для водорода. Чтобы получить чис­ ленный результат, фактически нужно произвести вычисления матричных элементов Ф, которые включают отыскание матрич­ ных элементов г и г2. Для системы с одним электроном опубли­ кованы аналитические выражения (см., например, [12]). Окон­ чательные матричные элементы объединяются затем с «триви­ альными» матричными элементами і (со — соо), и полная матрица

должна обращаться методом, рассмотренным в разд. 6.3. Нако­ нец, контур линии вычисляется по уравнению (6.3.12). Ряд таких контуров опубликован (см. разд. 6.6). Детальные вычисления приводят к необходимости получения приближенной формулы для крыльев линии, которая рассматривается в следующем раз­ деле.

6.5. МОДИФИЦИРОВАННОЕ УДАРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРЫЛЬЕВ ЛИНИЙ

Пусть ос (ДА)— зависящий от длины волны коэффициент по­ глощения, обусловленный действием электронов и ионов, а ссДДА)— аналогичный коэффициент, обусловленный действием одних только ионов (ср. разд. 6.7). В ударном приближении отношение а (Да)/а; (ДА,) является простой функцией длины волны, температуры Т и электронной концентрации N. Тогда можно записать [68]

Функция R(N, Т) затабулирована в [62, 68] для нескольких во­ дородных линий и двух линий Hell.

Формула (6.5.1) содержит два члена. Первый пропорциона­ лен (ДА)~5А, т. е. имеет зависимость квазистатического уширения, вызванного ионами, а второй имеет зависимость (ДА)'2, характерную для уширения вследствие столкновений. Рассмо­ трим более подробно второй член.

Из общего рассмотрения гл. 5 следует, что в далекой обла­ сти крыльев электроны будут уширять квазистатически. Дей­ ствительно, в разд. 5.6 мы оценили расстояние Дсоь в крыльях линий, за которым целесообразно применение квазистатической теории.

В разд. 5.6 Дсог, было выражено через постоянную взаимо­ действия ^ „ и параметр цп{Ці = я). ^2 можно найти приравни­ ванием изменения энергии АЕ атома в электрическом поле & величине йДсо, где

Выражение для ДЕ выведено во многих книгах по спектроско­ пии и атомной физике, довольно полное рассмотрение его приво­ дится в [12]. Если электрическое поле записать как е/г2, то

где пк — разность между квантовыми числами верхнего и ниж­ него состояний, ответственных за k-ю штарковскую компоненту.

КВАН ТО ВО М ЕХА Н И Ч ЕС К О Е РАССМ ОТРЕН ИЕ У Ш И РЕН И Я Д А ВЛ Е Н И Е М 189

Следуя Унзольду [158, § 82], определим среднее значение nh по­ средством соотношения

где /ft — интенсивность k-й штарковской компоненты. Таким об­ разом, можно записать среднее

Подстановка в (5.6.4) дает критическую границу для круговой частоты:

ветствие с аналогичным выражением, данным в [63]. Установле­ но, что для оценки (6.5.4) с точностью до множителя 2, а обычно

Это выражение можно согласовать с аналогичным выражением,

нельзя оценить (6.5.7) точнее чем до порядка величины. Мы не можем точно сказать, нужно ли выбирать г)о таким, чтобы вы­ ражение в круглых скобках равнялось единице, или я, или, мо­ жет быть, 1/я! Экспериментальные работы заставляют считать, что в некоторых интересных для астрофизики случаях АХь лежит достаточно близко к ядру линии, так что при низкой электрон­ ной концентрации можно считать электронное и ионное уширения линии полностью квазистатическими. Читателя, желающего подробнее познакомиться с этим вопросом, отсылаем к статье [46] и приведенной в ней библиографии. См. также [64].

Кроме границы АХъ или Аюь, нужно также рассматривать границу АХр, которая появляется из-за нарушения столкновительного приближения вследствие плазменных взаимодействий при значениях р, превышающих дебаевский радиус. Важно под­ черкнуть, что многократные соударения (рассматриваемые так, как если бы они происходили по одному во времени) при боль­ ших р вызывают большее уширение, чем столкновение с бли­ жайшей частицей. Это происходит потому, что для линейного эффекта Штарка сдвиг фазы г) уменьшается как р_І, в то время как число возмущающих частиц растет как р3. Таким образом, дальние столкновения более эффективны, чем ближние, и если бы не плазменные взаимодействия, то имелась бы расходимость.