книги из ГПНТБ / Каули, Ч. Теория звездных спектров
.pdf170 |
ГЛАВА 5 |
5.8. РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЙ КОНТУР ПРИ НЕСКОЛЬКИХ МЕХАНИЗМАХ УШИРЕНИЯ ЛИНИЙ
В гл. 1, посвященной элементарной теории уширения линий, был рассмотрен метод нахождения результирующего контура линии, когда допплеровский эффект, затухание вследствие излу чения и столкновения действуют одновременно. Было показано, что контур, образованный совместным действием двух механиз мов, является сверткой двух отдельных контуров.
К этому результату можно прийти, исходя из теории вероят ностей. Мы уже применяли соответствующие теоремы теории ве роятностей при выводе распределения Хольцмарка. Полное сме щение от центра линии можно представить в виде
М = |
(5.8.1) |
|
І |
где величины ДЯ, — уширения |
Допплера, Штарка, ван дер |
Ваальса и т. п. Если эти различные механизмы уширения неза висимы, то применима теорема, приведенная в разд. 5.7, и мы заключаем, что распределение вероятностей ДА, будет получаться обобщенной сверткой отдельных распределений вероятностей ДА* в согласии с полученным выше результатом.
Для большинства линий, представляющих интерес в астро физике, турбулентный контур принимается гауссовым, а про фили, уширенные столкновениями, считаются лоренцевыми. В та ких случаях результирующий контур описывается функцией Фойгта Н(а,ѵ), нормированной к а. Тепловое и турбулентное уширения объединяются в допплеровскую ширину AXD, а все постоянные затухания складываются, т. е.
у (полное) = у (излучения) + у (штарковское) + у (другие) + . . . .
(5.8.2)
Линии водорода и некоторые линии гелия имеют квазистатические контуры, которые сильно отклоняются и от дисперсион ного, и от гауссова контуров, и результирующие контуры не бу дут функцией Фойгта. Несколько наиболее важных контуров было вычислено различными исследователями, и их результаты представлены в табличной форме. Читатель отсылается к по следним работам, так как в настоящее время вычисления кон туров постоянно уточняются. Мы дадим список последних работ в этой области в следующей главе. Эти табулированные контуры учитывают только уширение давлением и тепловое допплеров ское уширение, так что прежде чем применять их к звездам,
ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ЛИНИЙ |
171 |
нужно провести свертку табличного контура с контуром, обус ловленным турбулентностью и, может быть, вращением звезды.
Теоретические эффекты давления обычно приводят к смеще нию линии того же порядка, что и уширение вследствие затуха ния. Однако для большинства атомных линий в спектрах Солнца и звезд наблюдаемая асимметрия не превосходит ошибок по строения обеих половин контура линии, так что можно считать контур затухания несмещенным. Строго говоря, нужно исследо вать смещения линий в звездных спектрах, которые в некоторых случаях могут оказаться измеримыми.
ГЛ А В А 6
Квантовомеханическое рассмотрение уширения давлением
6.1.ВВЕДЕНИЕ
Вгл. 1 мы видели, как можно получить классическое выра жение для контура линии, применяя анализ Фурье к временной зависимости электрического дипольного момента. Частотное
распределение интенсивности излучения давалось квадратом У (со)— преобразования Фурье классического диполя у(і)
(разд. 1.1).
Подобным же образом можно получить частотную зависи мость, или энергетический спектр, для квантовомеханической системы. Классическое выражение для дипольного момента нужно заменить его квантовомеханическим аналогом
{m\?(t)\n) |
(6.1.1) |
для перехода между уровнями т и п . Чтобы получить выраже ние для контура линии, необходимо, как и в классическом слу чае, пользоваться либо приближением квазистатического уши рения, либо приближением уширения вследствие соударений. Случаи, когда ни одно из этих упрощений не применимо, пока еще не изучены в деталях,' и в дальнейшем мы не будем их рас сматривать.
Воздействия столкновений продолжаются неограниченно долго, и, очевидно, они непериодичны. Энергетический спектр, вызванный уширением давлением, должен отыскиваться мето дами обобщенного гармонического анализа, приведенного в при ложении II. Вместо преобразования Фурье дипольного момента следует рассмотреть автокорреляционную функцию
Т - * оо |
772 |
(6.1.2) |
|
J |
(m\P(t)\n)(m\P(t + x)ln)dt, |
||
С (т) = lim |
|
|
|
|
-772 |
|
|
где черта сверху означает комплексную сопряженность. Выра жение для контура линии будет тогда даваться формулой
|
оо |
|
I (ш) |
т^т [ С (т) ехр (гит) dx, |
(6.1.3) |
— оо
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 173
т. е. преобразование Фурье от автокорреляционной функции есть энергетический спектр.
Вследующих разделах мы будем оценивать корреляционную функцию при различных допущениях относительно природы взаимодействий между возмущающими и излучающими части цами. Помимо приближений квазистатического уширения и уширения вследствие столкновений, будут введены и другие упрощающие предположения. Когда будет необходимо учесть траекторию возмущающей частицы, траектория будет считаться классической. Мы не будем пользоваться представлением о пар циальных волнах. Иногда будет необходимо использовать адиа батическое приближение. При рассмотрении уширения вслед ствие электронных соударений мы будем пользоваться также ударным приближением. К сожалению, смысл этого термина в литературе неоднозначен, и мы попытаемся быть очень точными
вего использовании и определении.
Вконце главы мы остановимся на классической траектории и адиабатическом приближении. Ударное приближение будет рассмотрено на примере теории уширения вследствие столкно вений с электронами.
Полученный в итоге контур, объединяющий все источники уширения, должен быть нормирован таким образом, чтобы ин тегрирование коэффициента поглощения по всем длинам волн приводило к уже известному результату:
оо |
|
1 KidX = ^ - m nfnm. |
(6.1.4) |
— оо
По этой причине мы не будем беспокоиться об учете постоянных множителей, которые появятся в наших уравнениях, а вместо знака равенства часто будет употребляться знак пропорциональ ности.
6.2. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ. РЕДУКЦИЯ
Вообще говоря, спектральная линия состоит из набора зеемановских компонент. Кондон и Шортли [29] приводят следую щее выражение для интенсивности излучения в линии:
I W , $) — N (а) |
Лѵ^ |
| (а IР \Ь) |2. |
(6.2.1) |
|
|
|
а, |
b |
|
S4- и $ есть |
уровни, которые |
составлены из состояний |
а и Ь, |
|
о — волновое |
число, ѵ— частота излученной линии, N ( а ) — за |
|||
селенность состояния а. Р есть оператор электрического диполь ного момента, который в общем случае должен рассматриваться как вектор. Суммирование проводится -по всем состояниям, уча ствующим в образовании линии. Нашей квантовомеханической
174 глава б
«системой» будет отдельный атом, который время от времени
подвергается определенным |
возмущениям. |
Гамильтониан для |
системы будет записываться |
в виде Я0 + |
гДе Но — обыч |
ный, не зависящий от времени гамильтониан, а V(t)— завися щее от времени возмущение.
Множители перед знаком суммы в уравнении (6.2.1) меняются с частотой значительно медленнее, чем контур линии*). Следо вательно, удобно опустить их в выражении для корреляционной функции в расчете на конечную нормировку контура [ср. с урав нением (6.1.4)]. Таким образом, можно записать
Г/2
С (т); : lim • |
J |
P{t)\b){a\P{t-\-x)\b)dt. |
(6.2.2) |
Г-» О |
|
|
|
|
- Г /2 ab |
|
|
Ясно, что автокорреляционная функция С(г) есть среднее по времени от подынтегрального выражения. Удобно заменить усреднение по времени усреднением по ансамблю, используя так называемую эргодическую теорию. Для наших настоящих целей нужно лишь знать, что замена среднего по времени сред ним по ансамблю обоснованна. Блестящее рассмотрение этой теоретической задачи можно найти в монографии Ли [103, ch. 7]. Понятие ансамбля дается во всех книгах по статистической ме ханике.
Большинство специалистов по теории уширения линий (Грим, Баранже, Маргено и др.) выражает С(т) прямо как среднее по ансамблю, вводя квантовомеханический оператор плотности р. Этот оператор рассмотрен в [42, 151] и других монографиях. В данном изложении усреднение с использованием матрицы плотности будет проводиться без введения вспомогательной ве личины р (см. также [30]). Запишем
С (т )= І |
Z (а IP (0 lb) (а IP |
+ г) |ft)l , |
(6.2.3) |
I |
ab |
Jcp |
|
где индекс «cp» будет означать усреднение либо по времени, либо по ансамблю.
Перепишем выражение для С(т), используя оператор эволю ции системы во времени T(t, t0) и сопряженный оператор T(t, і0), вводя сумму по полному набору состояний се, ce', ß, ß' и
применяя правила обращения с матричными |
элементами (ср. |
||
[42, §8]): |
|
||
С(т) = |
{ |
2 (b\T(t, t0) Iß) (ß IР° Iа) <а IГ (f, *0)|а > Х |
|
|
I |
а б а а ßß |
|
X |
(а IГ (f + т, fо) I а') (а' I Р° I ß') (ß' IГ (/ -}- т, |
Q | Ь) } . (6.2.4) |
|
____________________ |
Jc p |
||
*) Для самых широких спектральных линий нельзя пренебрегать зависи мостью от четвертой степени частоты.
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 175
Здесь Р° — оператор дипольного момента для времени to, кото рое можно выбрать как момент совпадения картин Гейзенберга, Шредингера и картины взаимодействия. Введение в квантово механическую теорию, необходимое для понимании этих опера ций, и дальнейшие ссылки даются в приложении III.
Отметим, что сумма по а и b в уравнении (6.2.1) берется не по полной системе состояний, так как а и b представляют лишь состояния, обусловливающие данную линию. Но можно рассмо треть следующую ситуацию. Пусть атом находится в одном из состояний а или 6 в момент времени t0. Если возмущения, дей ствующие на систему, никогда не приводят к переходу атома с уровня, на котором он находится в момент to, то состояния уровня образуют полный набор состояний для физической си стемы и эту систему можно сделать ортогональной. Будем те перь считать, что все возмущения, приводящие к уширению давлением, таковы, что суммы по а и b берутся по полной орто гональной системе.
Конечно, поле излучения вносит возмущения, которые пере водят атом из состояния а в состояние Ь. Мы пренебрежем та кими возмущениями в выражении для корреляционной функ ции, обусловленной уширением давлением, так как контур за тухания вследствие излучения уже рассматривался. Мы также пренебрежем столкновениями первого и второго рода для пере хода S& —► Пока мы считаем их настолько редкими, что обус ловленный ими контур затухания гораздо уже контура, вызван ного другими эффектами давления.
При |
этих предположениях удается записать уравнение |
(6.2.4) |
в форме, которая содержит лишь интервал времени от t |
до t + т. Свойства Г-операторов позволяют исключить сумми рование по а из (6.2.4):
2<<*| T(t, t0) I а) (а I Т (t + т, t) Т (t, t0) |а') = |
|
а |
|
= < а | Г ( г + т , 0 | а ' ) . |
(6 . 2 . 5 ) |
Используя аналогичный результат для суммирования по Ь, по лучим
С (т )= { 2 |
(ß I Р° Iа) (а' |Е° I ß) (а' | Г(^ + |
т, *)|а )Х |
|
I aa'ßß' |
|
|
|
|
Х ( Р ' І П * + |
Т, о Iß)} . |
(6.2.6) |
|
|
J c p |
|
Здесь введено |
обозначение <а'| Г| а) = (а'| Т\а). Таким |
обра |
|
зом, звездочка над оператором означает, что нужно брать ком плексно-сопряженное матричного элемента, который получается действием оператора без звездочки.
176 ГЛАВА б
Уровни а, a', ß, ß' были введены первоначально как члены полной системы ортогональных состояний. На основе общего
допущения о полноте состояний уровней sé- и |
можно пони |
мать под а и а' только состояния внутри s&, |
а под ß и ß' — |
только состояния внутри 38. По существу, мы разделили наш
атом на две отдельные системы верхнего (b, |
ß, ß', ...) |
и ниж |
|
него (а, а, а', |
...) состояний. Таким образом, |
целесообразно пе |
|
реписать уравнение (6.2.6) в форме |
|
|
|
С ( т )= { 2 |
P l t f W i W v ' l T 1 (t + x,t)Tu{t + r,t)\af>))\ |
. (6.2.7) |
|
I aa'ßß' |
|
J cp |
|
*
Индексы I и u введены для того, чтобы подчеркнуть, что Т дей ствует только на нижние, а Т— только на верхние состояния. Уравнение (6.2.7) — просто новая формулировка уравнения (6.2.6) в других обозначениях. Мы записали матричный эле мент Р с индексами, чтобы избежать длинного выражения, и ис
пользовали тот факт, что элементы P^ß действительны. Двойной угловой скобке можно придать более глубокую интерпретацию, чем просто компактное обозначение, но здесь нам это не нужно (см. [9]). Читателю, который желает познакомиться с развитием этой теории по оригинальным статьям, укажем, что наши обо значения более соответствуют обозначениям Грима [62—68], не жели Баранже [9].
Оператор эволюции во времени U в картине взаимодействия
определен таким образом [см. уравнение (III. 4.7)], что |
||||||
|
Т (t + |
т, t) = exp (— iH0r/h) U (t + |
т, |
t), |
(6.2.8) |
|
где |
Н0— оператор |
Гамильтона |
невозмущенной |
системы. Если |
||
это |
соотношение используется |
в уравнении |
(6.2.7) |
и если мы |
||
рассматриваем |
представление с диагональным оператором Га |
||
мильтона (разд. III. 3), то |
|||
С (т )= |
2 |
|
PaßPa'ß'eXp(— ш0т) X |
|
aa'ßß' |
|
|
|
X |
{«Ot'ß' I u l (t + T, t) Uu(t + T, t) I aß»)cp. (6.2.9) |
|
Здесь постоянные операторы дипольного момента и экспонента вынесены за скобки, в которых производится усреднение по вре мени, а о)0 — частота центра линии. Пренебрегая временно по лями ионов (разд. 6.5), получаем
Щ = (Еѵ — Е а)ІП. |
(6.2. 10) |
Величины Е являются собственными значениями энергии опе ратора Но.
В самом простом случае имеется единственное нижнее со стояние. Если также пренебречь возмущениями в результате
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 177
столкновений, то оператор эволюции в картине взаимодействия становится единичным оператором, а выражение в двойных уг ловых скобках в уравнении (6.2.9) становится равным единице
и
С (т) ос ехр(— ш0т). |
(6.2.11) |
Используя преобразование Фурье, находим, что распределение интенсивности / (со) определяется соотношением
/ (со) ос б (ю— ©0). |
(6.2.12) |
Таким образом, при отсутствии уширения давлением и других механизмов уширения контур линии описывается дельта-функ цией с частотой в центре ©о-
6.3. УШИРЕНИЕ ЛИНИЙ ВСЛЕДСТВИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ. УДАРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В этом разделе мы получим в явном виде выражение для ве личины
{«<z'ß'|C/“ (/ + T, t)Ul {t + x, 9 Ісф »ер. |
(6.3.1) |
Для этого потребуется сделать ряд допущений, совокупность которых мы будем называть ударным приближением. Хотя ре зультаты будут справедливы для нескольких типов взаимодей ствий, мы будем иметь в виду главным образом уширение вслед ствие столкновений с электронами.
Ударное приближение было введено для того, чтобы решить две задачи, возникающие при рассмотрении водородных линий. До работы Кольба (см. [96]) уширение линий водорода обычно целиком относилось на счет квазистатических полей ионов, а электронные столкновения пренебрегались. Работа Кольба по казала, что электроны вызывают неадиабатические эффекты, ко торые могут дать существенный вклад в ширину линии. Кроме того, стало понятно, что необходимо рассматривать ядра водо родных линий как сумму перекрывающихся штарковских ком понент. Последовательное решение задачи «накладывающихся линий» и неадиабатических взаимодействий было одновременно выполнено Баранже [9] и Кольбом и Гримом [96].
Выведем дифференциальное уравнение для (6.3.1). Для удоб ства будем использовать операторы, а не матрицы, хотя послед
ние также можно использовать |
(разд. III. 3). |
Рассмотрим малое |
|
приращение |
(6.3.1) |
|
|
Л [Ua(t + |
т, t)Ul {t + x, 0}ср = |
|
|
= {[£/“ (t -j- т + Ат, t + т) и 1 {t + т + Ат, t -f т) — 1] X |
|||
X [£/“(f + T, t)Ul (t + x, |
0]]Ср. |
(6.3.2) |
|
178 ГЛАВА 6
При выводе (6.3.2) использовалось одно из свойств операторов эволюции во времени.
Пусть можно найти такое Дт, чтобы выполнялись следующие условия:
1) два множителя в правой части (6.3.2) статистически не зависимы, и, следовательно, среднее произведение равно произ ведению средних;
2)Дт достаточно мало, чтобы можно было перейти от раз ностного уравнения (6.3.2) к соответствующему дифференциаль ному уравнению;
3)столкновения происходят последовательно во времени и независимо одно от другого.
Под ударным приближением мы и будем понимать выполне ние этих трех условий.
Третье условие в действительности не является независимым от двух других. Оно предполагает использование первого неис чезающего члена в теории возмущений. В общем случае, если две возмущающие частицы действуют одновременно на излу чающий атом, результат не сведется к сумме воздействий каж дой частицы в отдельности. Другими словами, в общем случае возмущения нелинейны. Мы принимаем, что таких нелинейных взаимодействий не происходит. Иногда возмущения, вызванные одной возмущающей частицей, столь велики, что нельзя учесть действие второй частицы без введения нелинейности. Но можно приближенно учесть такие сильные возмущения, принимая, что они происходят неодновременно и независимо от более слабых возмущений.
Можно подразделить все столкновения на две категории: слабые и сильные. Пусть имело место столкновение в интервале времени между t\ и t2, и пусть в момент t\ атом находился в со стоянии а. Рассмотрим величину
А = \{a\T(t2, * ,) - 1 |<х>|, |
(6.3.3) |
где T(t2, /]) — оператор эволюции во времени *). Если А <С 1, то назовем столкновение слабым, в противоположном случае — сильным. Из того что столкновение приводит к переходу из со стояния а, еще не следует, что столкновение сильное. Если бы, например, столкновение вызвало изменение фазы (волновой функции, зависящей от времени) на я/2, то мы имели бы
А = У 2. Не существует четкой границы между слабыми и силь ными столкновениями, что вызывает некоторые трудности. Од нако это прочно установившаяся и полезная терминология.
*) Поскольку берется абсолютная величина, в (6.3.3) можно использорать символы U или Т,
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНИЯ ДАВЛЕНИЕМ 179
Согласно Баранже [9], сущность ударного приближения со стоит в том, что в среднем столкновения являются слабыми, фактически в этом утверждении уже содержится три указанных выше допущения, и полезным упражнением (которое мы остав ляем читателю) будет проанализировать, почему это так.
Положим
{Vй (t + |
т + Дт, t + т) LJ1 (t + т + Ат, t + т) — 1 }ср = |
= |
ехр [г (#о — Но) т/й] ф ехР [— і (Но — Но) т/й] • Ат. (6.3.4) |
Поскольку |
усреднение ведется по всему |
интервалу времени и |
по всем ансамблям, очевидно, что определенный выше оператор |
||
ф зависит |
от интервала Ат и не зависит |
ни от какого данного |
момента времени |
/ +. т. |
Дифференциальным уравнением для |
||
(6.3.1) будет |
|
|
|
|
4 f { U a(t + т, |
/) Ul (t + т, |
/))ср = |
|
|
= ехр [і (Яо — Яо) т/й]ф ехр [— і (Яо — Но) т/й] X |
|
|||
X I U“(t + T,t)Ul (t + |
%, t)}cp |
(6.3.5) |
||
с решением |
|
|
|
|
{Ua(t + x, t)Ul (t + x, |
Olcp = |
|
|
|
= ехр {/(Яо — Яо) т/й} ехр {— г(я “ — Яо) т/Й + Фт]. |
(6.3.6) |
|||
Следовательно, корреляционная функция в операторных обозна чениях принимает вид
С (т) ос ехр {(— гсоо/Й + Ф) т}. |
(6.3.7) |
Поскольку в (6.3.7) входит множитель ехр(Фт), не сразу оче видно, что С (т )= С(—т), как это должно выполняться для кор реляционной функции. Чтобы разрешить это кажущееся проти воречие, нужно вернуться к уравнению (6.3.2) и, заменив т на
—т, повторить вывод. Тогда получим, что Ф имеет противопо ложный знак. В общем случае Ф будет комплексным операто ром, и мы будем считать, что его действительная часть отрица тельна, чтобы обеспечить спад С(т). Мнимая часть Ф дает сме щение линии, а действительная часть — ее ширину.
Контур линии пропорционален преобразованию Фурье от
(6.3.7): |
|
/ ( 0) — ш0) ос Re{ . ( ш_ ^ ) + ф-} . |
(6.3.8) |