книги из ГПНТБ / Каули, Ч. Теория звездных спектров

150 ГЛАВА 5

можно вывести частотную функцию для ДЯ из частотной функ­ ции Д Л Я X, учтя, что

На рис. 5.2.2 мы начертили схему вращающейся звезды, напра­ вив ось г перпендикулярно плоскости рисунка. Если не учиты­ вать потемнения к краю, то P(x)dx пропорционально площади

Z

заштрихованной полосы. Для учета потемнения к краю мы ис­ пользуем соотношение

(7° постоянно), которое можно получить из приближения Эд­ дингтона (ср. разд. 2.10 или [2]). Вряд ли при современной точ­ ности измерений контуров линий оправданно применение более точных, чем (5.2.8), выражений, хотя в дальнейшие формулы можно легко подставить и более сложные выражения. Ѳ— угол между выходящим лучом и нормалью к поверхности звезды

(рис. 2.2.1), и

Интегрируя и используя (5.2.6) и (5.2.7), получим контур вра­ щения бесконечно узкой (дельта-функция) звездной линии. Если ввести скорость на экваторе V — соR, то

XV sin i {ІНтШ Т'+ІИтШ ІІ

по формуле (5.2,3). Такие свертки, вероятно, лучше всего про­ водить численно. Унзольд [158, § 123[ рассматривает аналитиче­ ские методы вычислений, когда один контур много уже другого.

F(АХ) некоторых звезд не искажены вращением. Эти F(АХ) за­ тем свертываются с контурами вращения для различных V sin і, и вычисленные контуры сравнивают с наблюдениями вращаю­ щихся звезд. Конечно, такой метод требует, чтобы звезды, у ко­ торых были выбраны неискаженные контуры, действительно не вращались, однако маловероятно, чтобы для скоростей, гораздо больших минимального измеряемого значения, получались бы большие ошибки. Многие скорости вращения найдены непосред­ ственно из визуального сравнения спектра исследуемой звезды с набором стандартных спектров, скорости вращения которых были предварительно определены. Вращению звезд посвящено много статей. Полная библиография приводится Хуангом и Струве [82], а более современные теории и ссылки даны Крафтом [97]*).

в. Пульсации. Если звездная атмосфера радиально расши­ ряется, то вклад в контур линии, который создается в центре диска звезды, будет смещен к фиолетовой части, а вклад от лимба звезды не будет смещен. Таким образом, в результате пульсаций контур линий будет слегка асимметричным. Это яв­ ление исследовано для классической цефеиды ц Aqu, и резуль­ таты оказались в согласии с теорией пульсаций [80].

5.3. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ТЕОРИИ УШИРЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ ДАВЛЕНИЕМ

Теория уширения линий давлением — обширная область, хо­ рошо освещенная в литературе. В настоящее время этой темой

*) См. также сборник «Stellar rotation», ed. A. Slettebak, Dorderecht —

.Holland, 197.1. —.Прим.,pet5.

152 ГЛАВА 5

весьма интенсивно занимается большое число исследователей *), поэтому читатель должен иметь в виду, что любые формулы, приводимые здесь для постоянной затухания, связанной с тем или иным процессом, могут подвергнуться изменению уже в ближайшие несколько лет.

Введение в теорию уширения давлением может быть дано на довольно элементарном уровне. Сначала мы приведем такое элементарное изложение, что поможет пониманию последую­ щего более сложного анализа. К сожалению, в ряде случаев по той или иной причине более современный и точный анализ тер­ пит неудачу, и приходится обращаться к элементарной кон­ цепции.

Как при элементарной, так и при современной трактовке уширения давлением можно сделать два упрощающих предпо­ ложения. Во-первых, можно считать возмущающие частицы не­ подвижными по отношению к излучающей частице. Из-за при­ сутствия возмущающей частицы уровни энергии излучателя смещаются, приводя к смещениям в длинах волн спектральной линии. Форма линии получается путем усреднения по различным возможным конфигурациям возмущающих частиц. Уширение в случае, когда возмущающие частицы можно считать фиксиро­ ванными, называется статистическим, или квазистатическим.

Во-вторых, иногда можно представить возмущения как от­ дельные столкновения, каждое из которых вызывает некоторое изменение фазы излучаемого света. Этот тип уширения назы­ вается уширением вследствие соударений.

Вопрос о введении того или иного упрощающего предполо­ жения рассматривается в рамках современных теорий ушире­ ния давлением. Пока мы лишь отметим, что в некоторых слу­ чаях подходит либо первое, либо второе из этих упрощающих предположений, а в других случаях не подходит ни то, ни другое. Возможны также случаи, когда оба приближения при­ годны и должны приводить к одному и тому же результату.

5.4. КВАЗИСТАТИЧЕСКОЕ УШИРЕНИЕ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ

5.4.1.Анализ размерностей. В нулевом приближении задачу

оквазистатическом уширении можно решить из соображений размерности. Попытаемся найти характерную полуширину кон­

тура линии, скажем Асос. Эта величина имеет размерность ча-

*) Все вопросы, рассмотренные дальше в гл. 5 и 6 этой книги, подробно изложены также в книге И. И. Собельмана «Введение в теорию атомных спектров», М., Физматгиз, 1963. — Прим, ред.

Приняв, что водородные линии уширяются главным образом линейным эффектом Штарка, обусловленным ионом, положив Ni = Ne и перейдя от Дсо к ДА,, получим

Мы не будем останавливаться на дальнейших применениях простейшего приближения «наиближайшей возмущающей ча­ стицы». На практике используются несколько более точные рас­ пределения электрических полей, которые мы рассмотрим в разд. 5.8.

Закончим этот раздел следующими замечаниями, связываю­ щими пп. 5.4.1 и 5.4.2. Среднее расстояние между частицами можно найти усреднением по распределению вероятностей, за­ данному уравнением (5.4.7):

что Д(о0 является характерной шириной контура уравнения

5.5. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УШИРЕНИЯ ВСЛЕДСТВИЕ СОУДАРЕНИЙ (ТЕОРИЯ ЛОРЕНЦА,

ИЛИ ЛОРЕНЦА-ВЕЙССКОПФА)

Будем считать, что излучение классических осцилляторов состоит из суммы «гармонических» колебаний, излучаемых в течение времени t0. Рассмотрим сначала спектр «одного» ко­

Функцию (5.5.1) легко представить интегралом Фурье. Распре­ деление интенсивности для цуга волн отдельного осциллятора

*) Как обычно в таких задачах, амплитуда колебаний будет найдена позднее из условия нормировки.

156 ГЛАВА 5

равно квадрату амплитуды колебаний:

Чтобы найти распределение интенсивности излучения, ис­ пускаемого набором таких осцилляторов, каждый из которых ха­ рактеризуется собственным временем излучения, нужно усред­ нить (5.5.2) по времени t0 с учетом распределения вероятностей. Это распределение вероятностей определяется почти таким же образом, как распределение вероятностей для расстояний до ближайшей частицы.

Пусть т — среднее время между столкновениями, a P{to) означает вероятность того, что колебания осциллятора были прерваны в пределах интервала времени t,. Обозначим через

откуда легко найти вероятность dP(t0) столкновения в интер­ вале времени {to, dt,)*)

О

в известном смысле несвязанными.

Оценка «оптических» поперечных сечений включает оценку интегралов вида (5.5.9). Пусть возмущающая частица движется по прямой линии, и пусть р —■прицельный параметр, а ѵ — скорость возмущающей частицы (рис. 5.5.1). Если t = 0 соот-

ѵветствует моменту максимального сближения (г = р), то

Интегрирование по времени можно заменить интегрирова­ нием по углу Ѳот —л/2 до л/2 и результат выразить через вспомогательный параметр

Подстановка т] = т]о « 1 в уравнение (5.5.15) дает «крити­ ческий» радиус *) ро, называемый радиусом Вейсскопфа:

В качестве ѵ берется относительная скорость между возму­ щающей и излучающей частицами. Пусть их массы равны т.\ и т2, тогда

При концентрации возмущающих частиц N происходит

столкновений в секунду. Величина (5.5.18) обратно пропорцио­ нальна среднему времени между столкновениями т. Сопоставив

*) Для согласования с установившимися обозначениями иногда будет необходимо использовать различные выражения для ро, такие, как л/3, и т. п.

эти величины, получим следующее выражение для постоянной затухания вследствие столкновений уст:

Таким образом, постоянная затухания для уширения линии вследствие столкновений растет как первая степень плотности числа частиц и в общем лишь слабо зависит от температуры.

Отметим, что результат уст = 2/тст совпадает с результатом, который получился бы из анализа размерностей. уст, по суще­ ству, равняется характерной ширине Дсос уширенного контура. Дсос имеет размерность частоты, так же как и сама частота со­ ударений. Таким образом, можно было бы сразу записать уст=

=1/Тст, и мы ошиблись бы всего в два раза!

5.6.ГРАНИЦА МЕЖДУ ПРИБЛИЖЕНИЯМИ КВАЗИС1АТИЧЕСКОГО УШИРЕНИЯ

ИУШИРЕНИЯ ВСЛЕДСТВИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ

На основании соображений размерности или аналогичных аргументов удается решить, является ли данный сдвиг частоты преимущественно квазистатическим или вызван столкнове­ ниями.

При столкновении атом подвержен возмущению, основная частота которого порядка ѵ/р. Однако характерные частоты за­ висящей от времени части волновой функции для рассматривае­ мого атома и возмущающей частицы могут не располагаться около значения ѵ/р. Согласно предположению, сделанному в разд. 5.4, атом будет реагировать на возмущения с частотами порядка

Дсо (атома) = 2п<&п/рп.

Допустим, что характерные частоты атома значительно боль­ ше, чем частота прохождения ѵ/р. Это значит, что реакция атома много короче, чем время р/ѵ действия возмущения. Следователь­ но, движением возмущающей частицы можно пренебречь для до­ статочно высоких Дсо (атома). Эта зависимость будет получена более строго в гл. 6 [уравнение (6.7.15)].

Таким образом, квазистатическая область — это крылья ли­ ний (большие Дсо), а область уширения столкновениями — это ядра линий (если пренебречь допплеровским уширением).

Можно сформулировать это заключение полуколичественно, вводя *)

*) В общем случае это соотношение неверно.