книги из ГПНТБ / Каули, Ч. Теория звездных спектров

ный угловой момент электронов /: орбитальный угловой момент плюс спин, а спиновый угловой момент ядра не учитывается. Следовательно, приводимая величина J не есть полный угловой момент, который требуется при вычислении статистических весов.

Если / — спиновый угловой момент ядра, то полный статисти­ ческий вес уровня равен (21 + 1)(2/ + 1) [74, р. 193]. Таким об­ разом, спин ядра вносит постоянный множитель в статистические веса всех энергетических уровней атома. Этот множитель сокра­ щается, когда берутся отношения чисел заселенностей при со­ ставлении уравнения Больцмана или ионизации. По этой при­ чине в астрономии обычно пренебрегают ядерным спином. В не­ которых атомах взаимодействие ядерного спина с электронной структурой достаточно велико, тогда желательно определить за­ селенность энергетического уровня с заданным значением пол­ ного электронного плюс ядерного углового момента F = J + I. Статистический вес такого уровня равен 2 Е + 1 , а уравнение Больцмана для него имеет вид

где aJF означает уровень атома с полным угловым моментом F, с суммой орбитального и спинового угловых моментов электро­ нов /, а а — символ, описывающий электронную конфигурацию. Сумма по состояниям и должна задаваться выражением

Заметим, что энергетические уровни атома по-прежнему обо­ значаются посредством аJ в выражении для суммы по состоя­ ниям. Это соответствует обозначению таблиц [112], которые не учитывают сверхтонкой структуры. Соответствующие обозначе­ ния уровня и его расщепление приходится брать из рассеянных

влитературе ссылок или вычислять из теории. Краткое изложе­ ние вопросов по сверхтонкой структуре и некоторые библиогра­ фические ссылки приводятся в разд. 5.2.

Полное рассмотрение статистических весов и сумм по состоя­ ниям для двухатомных молекул заставило бы нас довольно по; дробно знакомиться со структурой молекул. Мы же приведем элементарное вводное изложение, которое послужит посылкой для многих вычислений. Дальнейшие подробности можно найти

в[132, 144]. При использовании уравнения Больцмана или урав­ нения диссоциации для гетероядерных двухатомных молекул (состоящих из разных атомов) ядерным спином можно прене­ бречь. Поэтому мы пока ограничимся рассмотрением таких моле­ кул, а позднее дадим необходимые уточнения для гомоядерных

двухатомных молекул (состоящих из одинаковых атомов).

Колебательные состояния не вырождены, следовательно, их статистические веса равны единице. Принято включать энергию нулевого колебательного состояния в величину электронного терма. Если ѵ — колебательное квантовое число, то значения терма есть G0(v)= vhvosJc, где vosc— частота колебаний. Отме­ тим, что это соотношение, не учитывающее энергии нулевого колебательного состояния, является просто планковским посту­ латом относительно энергии рассматриваемых им осцилляторов. Величину Vosc можно определить из спектроскопических дан­ ных. Колебательная сумма по состояниям становится равной

Наибольший вклад в полную сумму по состояниям двух­ атомной молекулы дает вращение. В магнитном поле вектор углового момента J может иметь 2/ -К 1 ориентацию, следова­ тельно, статистические веса равны 2 / - f l . Для обычного рота­ тора энергия уровня с квантовым числом углового момента I равна

где / — момент инерции молекулы *), который можно оценить из спектроскопических данных. Для реальных молекул вводится константа вращения Вѵ, определенная таким образом, чтобы

давало наилучшее приближение к истинным значениям вра­ щательных термов колеблющегося ротатора, выраженных в см-1. Тогда

Вернемся теперь к вопросу о двухатомных молекулах, со­ стоящих из одинаковых атомов. У таких систем имеется центр

*) Символ I также используется для обозначения спинового углового момента ядер.

104 ГЛАВА 3

симметрии, налагающий некоторые ограничения чисто квантово­

Полный статистический вес гомоядерной молекулы с учетом ядерного спина можно получить умножением вращательного статистического веса 2/ + 1 на множитель, который, следуя [144], мы назовем «ядерным спиновым статистическим весом».

ляется ли спиновый угловой момент ядра целым или полуцелым. Ядерные спиновые статистические веса представлены в табл. 3.5.1.

Таблица 3.5.1

Ядерные спиновые статистические веса гомоядерных молекул

Для гетероядерных молекул ядерный спиновый статистиче­ ский вес всегда равен (21А + 1)(2Ів -\- 1). Сравнивая это зна­ чение с данными табл. 3.5.1 и учитывая примерно одинаковую встречаемость уровней класса симметрии s и а, получим, что ядерные статистические веса гомоядерных молекул вдвое меньше весов гетероядерных молекул. Таким образом, можно вычислить сумму по состояниям для гомоядерных молекул из соотношения

Если (3.5.14) используется в уравнении диссоциации, то спино­ вый угловой момент ядра нужно также включить в атомную сумму по состояниям. Поэтому часто при вычислении диссоциа­ ции гомоядерных молекул опускают множитель ( 2 /+ 1 ) 2 как

в(3.5.14), так и в атомной сумме по состояниям.

3.6.УРАВНЕНИЕ ИОНИЗАЦИИ САХА

ИУРАВНЕНИЕ ДИССОЦИАЦИИ

Равновесие между атомом и ионизованным атомом и элек­ троном описывается уравнением (3.4.25). Необходимо только правильно определить сумму по состояниям и поправку нуль-

Здесь уже учтено, что электронная сумма по состояниям равна 2 в соответствии с двумя возможными ориентациями спина и что вместо приведенной массы ц можно использовать массу электрона т. Энергетические уровни иона отсчитываются от его основного состояния, которое выше основного состояния атома на величину %і (эВ). Следовательно, D = %і.

Перейдя от плотностей чисел частиц к парциальным давле­ ниям Рі, Ро и Ре для иона, нейтрального атома и электрона со­ ответственно, получим уравнение Саха, или, как его принято

аппроксимируются формулами (3.5.9) и (3.5.13) соответственно, то уравнение диссоциации молекул приобретает вид

X [1 — exp(— Av0JC/fer)]exp(— D/kT). (3.6.3)

Это соотношение приближенно выполняется для гомоядерных молекул, если Qsym = ѴгДля гетероядерных молекул Qsym — 1.

Построение теории, необходимой для вывода уравнений ионизации и диссоциации, было проведено химиком ван’т Хоф­ фом. Впервые эти идеи были применены к рассмотрению иони­ зации атома не Саха, а Эггертом [47], и в физике плазмы урав­ нение ионизации часто называется уравнением Эггерта — Саха. Интересы Эггерта были сосредоточены на веществе в недрах звезд. Саха [128] применил ионизационное уравнение к звезд­ ным атмосферам и тотчас же установил, что оно дает ключ к пониманию спектральной последовательности звезд. Вероятно, исключительная важность этой работы для астрономии привела к тому, что обычно в астрономической литературе уравнение ионизации и называется уравнением Саха.

3.7. ТЕОРИЯ ДЕБАЯ И ПЛАЗМЕННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Дебай и Хюккель нашли интересное приложение формулы Больцмана к теории ионных взаимодействий. Их работа свя­ зана с подвижностью ионов в электролитических (жидких)

106 ГЛАВА 3

растворах. Было установлено, что скорость дрейфа ионов в рас­ творе по направлению к электродам несколько меньше, чем это следовало из вычислений. Причина такого расхождения объяс­ нена в теории Дебая и Хюккеля.

Согласно теории Дебая — Хюккеля, каждый ион окружен «облаком» противоположно заряженных ионов. Поэтому дрейф иона через раствор происходит несколько медленнее, так как ему приходится тащить за собой свою «свиту»*). Понятия тео­ рии Дебая — Хюккеля широко используются в физике плазмы, где ее называют просто теорией Дебая.

Пусть ф(г) — работа, необходимая для переноса единичного положительного заряда из бесконечности в точку с радиусом-

Z~e\р (г). В этих обозначениях Z+ Z~ и е — положительные числа. Запишем формулу Больцмана в виде

где А — постоянная, которую еще нужно определить, и огра­ ничимся случаем, когда показатель экспоненты (3.7.1) мал. Тогда

Такое приближение должно выполняться в большинстве ситуа­ ций для плазмы. Правда, если средние энергии кулоновского взаимодействия значительно больше тепловых энергий, то мож­ но ожидать и кристаллизацию!

Проинтегрируем (3.7.2) по объему нейтральной плазмы, за­

Интеграл по объему члена в квадратных скобках в (3.7.2) об­ ратился в нуль, поскольку среднее значение ф(г) для нейтраль­ ной плазмы равно нулю. Из (3.7.3) следует, что А = No, где No — средняя плотность числа положительных зарядов.

Те же аргументы можно применить и к N~(r)— плотности

*) Гласстоун [58] применил теорию Дебая — Хюккеля к проводимости электролитов.

преимущественно однократно ионизовано, то N0 + Ni « Nu сочетание уравнений Больцмана и Саха дает соотношение

которое не зависит от суммы по состояниям для Fel.

До сих пор принимались во внимание только известные уров­ ни. Ясно, что важно рассмотреть уровни, которые должны суще­ ствовать, на пока еще не известны. Для изолированного атома число теоретических энергетических уровней бесконечно. Для водорода и ионизованного гелия теория Бора предсказывает

для всех значений я. Здесь Ry — постоянная Ридберга, a Z — за­ ряд ядра, воздействующий на электрон. Можно ожидать, что для других атомов и ионов справедлива та же самая формула с заменой я на «эффективное» квантовое число *)

и с учетом мультиплетности (2S1 + 1) (2L1 + 1) исходного терма.

Теперь сумма по состояниям должна включать высоколежащие уровни и, следовательно, иметь слагаемые вида

(2S' + 1) (2U + 1 ) ^ 2 (л*)2ехр{ - [и, - д ^ г ] Д Д , (3.8.4)

где знак штрих при суммировании показывает, что в этой фор­ муле учитываются только высоколежащие водородоподобные со­ стояния.

При любой заданной температуре ряд в формуле (3.8.4) при я * —►оо не будет сходиться, так как множитель Больцмана при­

ближается к постоянной величине ехр(—%0/kT). Ясно, что здесь что-то неверно, так как если, например, суммы по состояниям расходятся, то отношения

должны стремиться к нулю, и мы не сможем наблюдать никаких спектральных линий! Нетрудно видеть, в чем источник затруд­ нений: атомный радиус возрастает пропорционально я2, таким образом, если сумма по состояниям неограниченно растет, то и размеры атома также должны расти неограниченно.

*) Если исходный терм не является основным состоянием следующей стадии ионизации, то %о не будет обычным потенциалом ионизации [164].